リウヴィル数

数論において、リウヴィル数は、任意 の正の 整数に対して、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

この不等式は、リウヴィル数が有理数近似の優れた列を持っていることを意味している。1844年、ジョセフ・リウヴィルは、代数数を有理数で近似できる範囲には限界があることを示す境界を証明し、この境界で許される範囲よりも優れた有理数近似を持つようにリウヴィル数を具体的に定義した。リウヴィルはまた、リウヴィル数の例を示し^[1]、それによって初めて超越数の存在を確立した。 ^[2] これらの例の1つは、リウヴィル定数である。

${\displaystyle L=0.1100010000000000000000001\ldots ,}$

ここで、小数点以下のn番目の桁は、が正の整数の階乗の場合は1、そうでない場合は0です。πとeは超越数ではありますが、リウヴィル数ではないことが知られています。[ 3 ^]${\displaystyle n}$

リウヴィル数は明示的な構成によって存在することが示されます。

任意の整数および任意の整数列であって、すべての に対して であり、無限に多い に対して であるものについて、数を定義する。 ${\displaystyle b\geq 2}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )}$${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k}\neq 0}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

の特別な場合、およびすべての に対して、結果として得られる数はリウヴィルの定数と呼ばれます。 ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle a_{k}=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}000000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

の定義から、その基底表現は ${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}000000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

ここで、番目の項は 番目の場所にあります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$

この基数表現は重複しないため、 は有理数ではありません。したがって、任意の有理数 に対して、 です。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle |xp/q|>0}$

ここで、任意の整数 に対して、は次のように定義できます。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$

それから、

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

したがって、そのようなものはすべてリウヴィル数です。 ${\displaystyle x}$

1. 不等式は、すべてのkについてa _k  ∈ {0, 1, 2, ..., b −1}であるため、最大でa _k  = b −1 となるため成り立ちます。可能な最大和は、整数列 ( a ₁、a ₂、 ...) が ( b −1、b −1、 ...) の場合、つまりすべてのkについてa _k  = b −1 の場合に発生します。したがって、この可能な最大和以下になります。${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$
2. 強い不等式は、級数を公式がわかっている級数に簡約することによって級数を消去するという動機から生じます。これまでの証明では、#1 で不等式を導入する目的は、 (幾何級数公式) という直感から来ています。したがって、分子に ( b −1)を含む級数を導入する不等式が から見つかり、分母項が から にさらに簡約され、級数のインデックスが 0 から にシフトされる場合、級数と ( b −1) 項の両方が消去され、証明の最終目標である形式 の分数に近づきます。この動機は、ここで和から部分和を選択することで高まります。 の任意の項について、b ≥ 2 であるため、すべてのkについて ( n =1の場合を除く) となることに注意してください。したがって、 ( n =1の場合でも、後続の項はすべて小さくなるため) となります。k が0 から始まるようにインデックスを操作するには、内部から部分和を選択します(これは、すべての項が正である級数の部分和であるため、合計値よりも小さくなります)。k = ( n +1)!から開始して形成される部分和を選択します。これは、 k = 0で新しい級数を記述する動機、つまり であることに気付くことから得られます。${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$${\displaystyle b^{k!}}$${\displaystyle b^{k}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$${\displaystyle {\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}}$${\displaystyle b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}}$
3. 最後の不等式 については、という形式に操作したいという理由で、この特定の不等式が選択されました ( b ≥ 2 であるため真であり、等式はn =1の場合にのみ成り立ちます) 。この特定の不等式により、 ( n +1 )! - n ! = ( n !) nという特性を使用して、 ( n +1 ) ! と分子を消去できるため、分母が置換 に対して理想的な形式になります。${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$${\displaystyle q_{n}=b^{n!}}$

ここでの証明は、cとdが整数である数が、リウヴィル数を定義する不等式を満たすことができないことを示します。すべての有理数はそのように表すことができるため、この証明は、リウヴィル数が有理数になることはできないことを示します。 ${\displaystyle ~x=c/d~,}$${\displaystyle ~d>0~,}$${\displaystyle ~c/d~,}$

より具体的には、この証明は、十分に大きい任意の正の整数nに対して[同様に、任意の正の整数)]、括弧内の不等式のペアを同時に満たす整数のペアは存在しないことを示している。 ${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

主張が真実であれば、望ましい結論が導かれます。

pとqを任意の整数とすると、 ${\displaystyle ~q>1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

もしそうなら ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

つまり、このような整数のペアは、nの選択に関係なく、リウヴィル数の定義における最初の不等式に違反することになります 。 ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

一方、 が 整数であるとき、より鋭い不等式を主張することができる。この ことから、 ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~,}$${\displaystyle c\,q-d\,p}$${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

さて、任意の整数に対して、上記の最後の不等式は ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

したがって、このような整数のペアは、ある正の整数nに対して、リウヴィル数の定義における2 番目の不等式に違反することになります。 ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

したがって、結論として、そのような数をリウヴィル数として 適格とする整数のペアは存在しません。${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$${\displaystyle ~q>1~,}$${\displaystyle ~x=c/d~,}$

したがって、リウヴィル数は有理数ではありません。

リウヴィル数は代数的ではない。この主張の証明は、まず無理 代数的数の特性を確立することから始まる。この特性は本質的に、無理代数的数は有理数で十分に近似できないということであり、ここで「十分に近似できる」という条件は分母が大きいほど厳しくなる。リウヴィル数は無理数だがこの特性を持たないため、代数的ではなく超越数でなければならない。次の補題は通常、リウヴィルの定理（ディオファントス近似について）として知られており、リウヴィルの定理として知られる結果がいくつかある。

補題:が整数係数の次数 の既約多項式の無理数根である場合、 のすべての整数に対してとなる実数が存在する。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle A>0}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

補題の証明:となる整数係数の最小多項式をとします。 ${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$${\displaystyle f(\alpha )=0}$

代数の基本定理により、は最大で個の異なる根を持ちます。したがって、すべてに対して となるような が 存在し、 が得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$
${\displaystyle \delta _{1}>0}$${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$

はの最小多項式なのでが得られ、 も連続です。 したがって、極値定理によりおよび が存在し、すべて に対して が得られる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$${\displaystyle f'}$
${\displaystyle \delta _{2}>0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$

両方の条件が満たされます。 ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$

ここでを有理数とする。一般性を失うことなく と仮定できる。平均値定理により、 が存在する。 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

およびなので、その等式の両辺はゼロではありません。特に、 および は次のように変形できます。 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}$

主張の証明:この補題の結果として、x をリウヴィル数とします。記事本文で述べたように、xは無理数です。xが代数的である場合、補題により、任意のp、qに対して、ある整数nとある正の実数Aが存在し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

r を1/(2 ^r ) ≤ A を満たす正の整数とし、m = r + n と定義する。 xはリウヴィル数なので、b > 1 を満たす 整数a , bが存在し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},}$

これは補題に矛盾する。したがって、リウヴィル数は代数的ではないため、超越数でなければならない。

与えられた数がリウヴィル数であると証明することは、それが超越数であることを証明します。しかし、すべての超越数がリウヴィル数であるわけではありません。すべてのリウヴィル数の連分数展開の項は無限です。したがって、計数論的議論を使用すると、リウヴィル数ではない超越数が無数に存在するはずであることを示すことができます。e の明示的な連分数展開を使用すると、 e がリウヴィル数ではない超越数の例であることを示すことができます。マーラーは1953 年にπ がそのような別の例であることを証明しました。^[4]

数を考えてみましょう

3.1400010000000000000000050000....

3.14(ゼロ3個)1(ゼロ17個)5(ゼロ95個)9(ゼロ599個​​)2(ゼロ4319個)6...

ここで、桁はn番目の位置を除いてゼロです。n 番目の位置の桁は、πの 10 進展開における小数点に続く n番目の桁に等しくなります。

リウヴィル数の存在に関するセクションで示したように、この数、および同様の位置にある非ゼロの桁を持つ他の非終端小数は、リウヴィル数の定義を満たします。非ヌルの桁のすべてのシーケンスの集合は連続体の濃度を持つため、すべてのリウヴィル数の集合についても同じことが言えます。

さらに、リウヴィル数は実数の集合の 稠密な部分集合を形成します。

測度論の観点からは、リウヴィル数全体^の集合は小さい。より正確には、そのルベーグ測度、はゼロである。証明はジョン・C・オクストビー^[5]のアイデアに従っている。8${\displaystyle L}$${\displaystyle \lambda (L)}$

正の整数の場合、次のように設定します。 ${\displaystyle n>2}$${\displaystyle q\geq 2}$

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

それから

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

それぞれの正の整数およびに対して、 ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

以来

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

その後​ ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

今

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

したがって、各正の整数 に対して、のルベーグ測度は 0 になります。したがって、 も になります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle L\cap (-m,m)}$${\displaystyle L}$

対照的に、すべての実超越数の集合のルベーグ測度は無限大です（代数的数の集合は空集合であるため）。

さらに、リウヴィル数の集合はハウスドルフ次元0 を持つ (ルベーグ測度 0 を持つことよりも厳密に強い特性) ことを示すこともできます。

それぞれの正の整数nに対して、

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

したがって、リウヴィル数全体の集合は次のように書ける。

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

それぞれは開集合であり、その閉包にはすべての有理数 (各穴の開いた区間からの ) が含まれるため、実数の稠密な部分集合でもあります。これは可算な数のこのような稠密な開集合の共通部分であるため、Lは に等しく、つまり稠密なG _δ集合です。 ${\displaystyle ~U_{n}~}$${\displaystyle ~p/q~}$

実数のリウヴィル・ロス無理数度（無理数指数、 近似指数、またはリウヴィル・ロス定数）は、その実数が有理数によってどれだけ「近く」近似できるかを示す尺度です。これは、リウヴィル数の定義を応用して定義されます。つまり、それぞれに対して不等式が成り立つようなペアの列（必然的に無限個の異なるペアを含む列）の存在を要求する代わりに、無理数指数は、そのような無限列が存在する の集合の上限として定義されます。つまり、となる無限個の整数ペアによって が満たされるようなの集合です。^{[6] ：246} 任意の値 に対して、上記の不等式を満たすすべての有理数の無限集合は、の良い近似値を生成します。逆に、 の場合、不等式を満たす の数はせいぜい有限個です。 がリウヴィル数の場合、 となります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle n\leq \mu (x)}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>\mu (x)}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

• ブルジュノ数
• マルコフ定数
• ディオファントス近似

• 超越数の始まり