意味 u のヒルベルト変換は、u ( t ) と関数h ( t ) = 1 / π t （コーシー核 として知られる） 畳み込み と考えることができます。1 / tは t = 0 で積分 できないため、畳み込みを定義する積分は必ずしも収束しません。代わりに、ヒルベルト変換はコーシー主値（ここでは pv と表記）を使用して定義されます。具体的には、関数（または信号） u ( t ) のヒルベルト変換は次のように与えられます。
H （ u ） （ t ） = 1 π p 。 v 。 ∫ − ∞ + ∞ u （ τ ） t − τ d τ 、 {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {pv} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}
この積分が主値として存在する場合、これはまさにuと 緩増加分布 p.v. 1 / π t の畳み込みである。[ 1 ] [ 2 ]
H （ u ） （ t ） = 2 π リム ε → 0 ∫ ε ∞ u （ t − τ ） − u （ t + τ ） 2 τ d τ 。 {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}
関数u にヒルベルト変換を 2 回連続して適用すると、結果は次のようになります。
H （ H （ u ） ） （ t ） = − u （ t ） 、 {\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}
ただし、両方の反復を定義する積分が適切な意味で収束するものとします。特に、逆変換は − H {\displaystyle -\operatorname {H} } この事実は、 u ( t ) のフーリエ変換 に対するヒルベルト変換の影響を考察することで最も容易に理解できます（下記の§ フーリエ変換との関係を 参照）。
上半平面 における解析関数 に対して、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部の関係を表します。つまり、f ( z ) が複素平面{ z : Im{ z } > 0} で解析関数であり、u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} である場合、このヒルベルト変換が存在する限り、 Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) は加法定数を除いて成り立ちます。
表記法 信号処理 において、u ( t )u ^ （ t ） \displaystyle {\hat {u}}(t)} [ 3 ] u ( t )[ 4 ] u ～ （ t ） \displaystyle {\tilde {u}}(t)} [ 5 ]
ヒルベルト変換は乗算演算子で ある。[ 14 ] H の乗算演算子はσ H ( ω ) = − i sgn( ω )sgnは 符号関数 である。したがって、次のようになる。
F （ H （ u ） ） （ ω ） = − 私 サイン （ ω ） ⋅ F （ u ） （ ω ） 、 {\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}
どこF \displaystyle {\mathcal {F}}} はフーリエ変換 を表す。sgn ( x ) = sgn(2 π x ) であることから、この結果は の 3 つの一般的な定義に適用されることがわかる。F \displaystyle {\mathcal {F}}}
オイラーの公式 によれば、 σ H （ ω ） = { 私 = e + 私 π / 2 もし ω < 0 0 もし ω = 0 − 私 = e − 私 π / 2 もし ω > 0 {\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2}&{\text{if }}\omega <0\\~~0&{\text{if }}\omega =0\\-i=e^{-i\pi /2}&{\text{if }}\omega >0\end{cases}}}
したがって、H( u )( t ) は u ( t ) の負の周波数 成分の位相を+90° ( π ⁄ 2 i ·H( u )( t ) は正の周波数成分を復元しつつ、負の周波数成分をさらに +90° だけシフトして、それらの負の値 (つまり −1 倍) をもたらす効果があります。
ヒルベルト変換を2回適用すると、 u ( t )H(H( u )) = -u となります。
（ σ H （ ω ） ） 2 = e ± 私 π = − 1 のために ω ≠ 0. {\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}
以下の表では、周波数 パラメータω {\displaystyle \omega }
注記
↑ 一部の著者（例えば、Bracewell）は、順変換の定義として我々の−H を使用しています。その結果、この表の右列が反転されます。 1 2 sin 関数と cos 関数のヒルベルト変換は、積分の主値を無限大で取ることによって定義できます。この定義は、ヒルベルト変換を分布的に定義した結果と一致します。 ヒルベルト変換の詳細な表が利用可能です。 定数のヒルベルト変換はゼロであることに注意してください。
定義領域 ヒルベルト変換がそもそも適切に 定義されていることは決して自明ではない。なぜなら、それを定義する広義積分は適切な意味で収束しなければならないからである。しかし、ヒルベルト変換は、以下の関数の広いクラスに対して適切に定義されている。L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} 1 < p < ∞ の場合。
より正確には、u がL p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} 1 < p < ∞ の場合、広義積分を定義する極限は次のようになる。
H （ u ） （ t ） = 2 π リム ε → 0 ∫ ε ∞ u （ t − τ ） − u （ t + τ ） 2 τ d τ {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }
ほぼすべての t に対して存在します。極限関数もL p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}
2 π ∫ ε ∞ u （ t − τ ） − u （ t + τ ） 2 τ d τ → H （ u ） （ t ） {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}
ε → 0L p ノルムにおいて、またティッチマーシュの定理 によりほとんど至るところで点ごとに、 となる。
p = 1L 1関数のヒルベルト変換は L 1 L 1から L 1,w L 2 マルチンキェヴィッチ補間と双対性議論により、 Hが L p
物件
境界性 1 < p < ∞ の場合、ヒルベルト変換はL p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} は有界線形作用素 であり、すなわち、ある定数C pが存在して、
‖ H u ‖ p ≤ C p ‖ u ‖ p {\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}
すべての人々のためにu ∈ L p （ R ） {\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )} 19 ]
最良の定数C p {\displaystyle C_{p}} [ 20 ] C p = { タン π 2 p もし 1 < p ≤ 2 ベビーベッド π 2 p もし 2 < p < ∞ {\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~1<p\leq 2\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~2<p<\infty \end{cases}}}
最高のものを見つける簡単な方法C p {\displaystyle C_{p}} p {\displaystyle p} （ H f ） 2 = f 2 + 2 H （ f H f ） {\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)} f に対して、同じ最適定数が周期ヒルベルト変換にも適用されます。
ヒルベルト変換の有界性は、L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} S R f = ∫ − R R f ^ （ ξ ） e 2 π 私 x ξ d ξ {\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }
に L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} 21 ]
反自己随伴性 ヒルベルト変換は、双対ペアリングに関して反自己共役演算子である。 L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} L q （ R ） {\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )} 、 p とqは ヘルダー共役で あり、1 < p , q < ∞で ある。記号的には、
⟨ H u 、 v ⟩ = ⟨ u 、 − H v ⟩ {\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }
のためにu ∈ L p （ R ） {\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )} v ∈ L q （ R ） {\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}
ヒルベルト変換は反対合である 、つまり
H （ H （ u ） ） = − u {\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}
各変換が明確に定義されている限り、H は 空間を保存する。L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} 、ヒルベルト変換が可逆であることを意味する。 L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} 、
H − 1 = − H {\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }
分化 厳密に言えば、ヒルベルト変換の導関数は導関数のヒルベルト変換であり、つまりこれら2つの線形演算子は可換である。
H （ d u d t ） = d d t H （ u ） {\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}
この同一性を反復すると、
H （ d k u d t k ） = d k d t k H （ u ） {\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}
これは、u とその最初のk 階微分が以下に属する場合に厳密に真である。L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} [ 24 ] ます 。
畳み込み ヒルベルト変換は、形式的には緩増加分布 との畳み込み として実現できる
h （ t ） = p 。 v 。 1 π t {\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}
したがって正式には、
H （ u ） = h * u {\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}
しかし、これは先験的に コンパクトサポート の分布u に対してのみ定義できる。コンパクトサポート関数 (当然ながら 分布である) はL p 稠密であるため、これに対してある程度厳密に作業することが可能である。あるいは、 h ( t ) が関数log| t |/ π の分布微分 であるという事実を利用することもできる。すなわち、
H （ u ） （ t ） = d d t （ 1 π （ u * ログ | ⋅ | ） （ t ） ） {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}
ほとんどの運用上の目的においては、ヒルベルト変換は畳み込みとして扱うことができます。例えば、形式的には、畳み込みのヒルベルト変換は、ヒルベルト変換をいずれかの因子にのみ適用した畳み込みです。
H （ u * v ） = H （ u ） * v = u * H （ v ） {\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}
これは、 u とvが コンパクトサポート分布である場合に厳密に真である。なぜなら、その場合、
h * （ u * v ） = （ h * u ） * v = u * （ h * v ） {\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}
適切な極限を取ることにより、u ∈ L p v ∈ L q
1 < 1 p + 1 q {\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}
ティッチマーシュによる定理から。
定義の範囲を拡張する
さらに、ヒルベルト変換を特定の分布 空間に拡張することも可能です（ Pandey 1996 、第3章） 。ヒルベルト変換は微分と可換であり、 L p 上の有界作用素であるため、Hを制限すると、 ソボレフ空間 の逆極限 で連続変換が得られます。
D L p = リム ⟵ n → ∞ W n 、 p （ R ） {\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}
ヒルベルト変換は、双対空間上で定義できる。D L p {\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}} D L p ′ {\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'} L p 分布から構成される。これは双対ペアリングによって実現される 。u ∈ D L p ′ {\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}
H （ u ） ∈ D L p ′ = ⟨ H u 、 v ⟩ ≜ ⟨ u 、 − H v ⟩ 、 すべての人々のために v ∈ D L p 。 {\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}
ゲルファントとシロフによるアプローチ[ 29 ] によって、緩増加分布 の空間上でヒルベルト変換を定義することも可能だが、積分に特異点があるため、より注意が必要である。
ヒルベルト変換は、以下の関数に対して定義できる。L ∞ （ R ） {\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )} L ∞ （ R ） {\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )} 有界平均振動 （BMO）クラスのバナッハ空間 へ。
素朴に解釈すると、有界関数のヒルベルト変換は明らかに定義不良である。例えば、u = sgn( x )の場合、 H( u ) を定義する積分はほとんど至るところで±∞に発散する。このような困難を軽減するために、 L ∞ 正則化された形式で定義される。
H （ u ） （ t ） = p 。 v 。 ∫ − ∞ ∞ u （ τ ） { h （ t − τ ） − h 0 （ − τ ） } d τ {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }
ここで、上記のようにh ( x ) = 1 / πx で 、
h 0 （ x ） = { 0 もし | x | < 1 1 π x もし | x | ≥ 1 {\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{if}}~|x|\geq 1\end{cases}}}
修正された変換H は、Calderón と Zygmund による一般的な結果から、コンパクト サポートの関数については、加法定数を除いて元の変換と一致します。[ 30 ]
フェファーマンの研究[ 31 ] な成果は 、関数が有界平均振動を持つのは、ある関数がf + H( g )の形である場合に限るということである。 f 、 g ∈ L ∞ （ R ） {\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}
共役関数 ヒルベルト変換は、関数f ( x )g ( x )F （ x ） = f （ x ） + 私 g （ x ） {\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)} 正則関数 F ( z )f とg が 十分に積分可能であれば、一方が他方のヒルベルト変換となります。
仮にf ∈ L p （ R ） 。 {\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).} すると、ポアソン積分 の理論により、f は 上半平面への一意の調和拡張を許容し、この拡張は次のように与えられる。
u （ x + 私 y ） = u （ x 、 y ） = 1 π ∫ − ∞ ∞ f （ s ） y （ x − s ） 2 + y 2 d s {\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}
これは、 f とポアソンカーネル の畳み込みである。
P （ x 、 y ） = y π （ x 2 + y 2 ） {\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}
さらに、上半平面で定義された一意の調和関数v が存在し、 F ( z ) = u ( z ) + iv ( z )リム y → ∞ v （ x + 私 y ） = 0 {\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}
この調和関数は、 fを 共役ポアソンカーネル と畳み込むことによって得られる。
Q （ x 、 y ） = x π （ x 2 + y 2 ） 。 {\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}
したがって v （ x 、 y ） = 1 π ∫ − ∞ ∞ f （ s ） x − s （ x − s ） 2 + y 2 d s 。 {\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}
実際、コーシー核の実部と虚部は 私 π z = P （ x 、 y ） + 私 Q （ x 、 y ） {\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}
コーシーの積分公式 により、F = u + iv は
このようにしてu から得られる関数v は、 u の調和共役と呼ばれます。 y → 0 のときのv ( x , y ) の (非接線方向の) 境界極限は、f のヒルベルト変換です。 したがって、簡潔に言うと、 H （ f ） = リム y → 0 Q （ − 、 y ） ⋆ f {\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}
ティッチマーシュの定理（1937年の著作にこの定理を含めたECティッチマーシュにちなんで名付けられた）は、上半平面における正則関数の境界値とヒルベルト変換の関係を厳密に定義する。 この定理は、実数直線上の複素数値の二乗可積分 関数F ( x )が、 上半平面U における正則関数のハーディ空間 H2 ( U ) の関数の境界値となるための必要十分条件を与える。
この定理は、複素数値の二乗可積分関数に対して以下の条件が成り立つことを述べている。F : R → C {\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
F ( x )F ( z )の z → x ∫ − ∞ ∞ | F （ x + 私 y ） | 2 d x < K {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K} F ( x )フーリエ変換 F （ F ） （ x ） {\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)} x < 0 p > 1 の場合、クラスL p 具体的には、 F ( z ) が正則関数である場合、
∫ − ∞ ∞ | F （ x + 私 y ） | p d x < K {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}
すべてのy に対して、複素数値関数F ( x )L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} y → 0のとき、 L p F ( x + iy ) → F ( x )ほとんど至るところで 点ごとに成り立つ）。さらに、
F （ x ） = f （ x ） + 私 g （ x ） {\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}
ここで、f は実数値関数であり、L p （ R ） {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} は f のヒルベルト変換 (クラスL p )です。
これはp = 1 のL 1 f のヒルベルト変換は、平均的には別のL 1 f のヒルベルト変換は、ほとんど至るところで有限関数g に収束し、
∫ − ∞ ∞ | g （ x ） | p 1 + x 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }
この結果は、アンドレイ・コルモゴロフ による円盤内のハーディ関数に関する結果と直接類似している。 通常はティッチマーシュの定理と呼ばれているが、この結果はハーディ、ペイリー、ウィーナー（ペイリー・ウィーナーの定理を 参照）を含む他の多くの研究、およびリース、ヒル、タマルキンの研究を統合したものである。[ 37 ]
リーマン・ヒルベルト問題 の1つの形式は、上 正則で あり、下半平面で正則であるような関数 F + と F − と する で 、 実 x に対して、 F + （ x ） − F − （ x ） = f （ x ） {\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}
ここで、f ( x )x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } F ± の 超関数 分布として理解できます。この形式の2つの関数は、リーマン・ヒルベルト問題の解です。
形式的には、F ± が f （ x ） = F + （ x ） − F − （ x ） {\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}
すると、 f ( x )[ 38 ] H （ f ） （ x ） = − 私 （ F + （ x ） + F − （ x ） ） 。 {\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}
周期関数 f に対して、円形ヒルベルト変換は次のように定義される。
f ～ （ x ） ≜ 1 2 π p 。 v 。 ∫ 0 2 π f （ t ） ベビーベッド （ x − t 2 ） d t {\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}
円形ヒルベルト変換は、ハーディ空間の特徴付けやフーリエ級数 における共役関数の研究に用いられる。核は、 ベビーベッド （ x − t 2 ） {\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)} ヒルベルト核 として知られています。
ヒルベルト核（円形ヒルベルト変換の場合）は、コーシー核1 ⁄ x を x ≠ 0の場合、
1 2 ベビーベッド （ x 2 ） = 1 x + ∑ n = 1 ∞ （ 1 x + 2 n π + 1 x − 2 n π ） {\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}
この対応関係から得られるヒルベルト変換に関する結果から、円形ヒルベルト変換に関する多くの結果を導き出すことができる。
もう一つのより直接的なつながりは、ケイリー変換 C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i )単位円盤 に写像する。これはユニタリ写像を誘導する。
U f （ x ） = 1 （ x + 私 ） π f （ C （ x ） ） {\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}
L 2 ( T ) を L 2 （ R ） 。 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).} U はハーディ空間H 2 ( T )H 2 （ R ） {\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}
ベドロシアンの定理 によれば、スペクトルが重ならないローパス信号とハイパス信号の積のヒルベルト変換は、ローパス信号とハイパス信号のヒルベルト変換の積で与えられる。
H （ f LP （ t ） ⋅ f HP （ t ） ） = f LP （ t ） ⋅ H （ f HP （ t ） ） 、 {\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}
ここで、f LP f HP は 狭帯域信号モデルと呼ばれる。 そのカテゴリの1つは、高周波正弦波「搬送波」の振幅変調である。
u （ t ） = u m （ t ） ⋅ コス （ ω t + φ ） 、 {\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}
ここで、u m t )
H （ u ） （ t ） = { + u m （ t ） ⋅ 罪 （ ω t + φ ） もし ω > 0 − u m （ t ） ⋅ 罪 （ ω t + φ ） もし ω < 0 {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )&{\text{if }}\omega >0\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )&{\text{if }}\omega <0\end{cases}}}
解析的表現 共役関数 の特定の種類は次のとおりです。
u 1 （ t ） ≜ u （ t ） + 私 ⋅ H （ u ） （ t ） 、 {\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}
解析的表現 として知られるu （ t ） 。 {\displaystyle u(t).} その名前は、主にオイラーの公式 による数学的な扱いやすさを反映している。狭帯域モデルにベドロシアンの定理を適用すると、解析的表現は次のようになる。 [ 42 ]
フーリエ変換の性質から、この複素ヘテロダイン演算によって、 u m t ) Hz より上にシフトできることが分かります。この場合、結果の虚部は実部のヒルベルト変換となります。これは、ヒルベルト変換を生成する間接的な方法です。
形式: [ 43 ]
u （ t ） = A ⋅ コス （ ω t + φ m （ t ） ） {\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}
は角度変調 と呼ばれ、位相変調 と周波数変調の 両方を含みます。瞬時周波数 は ω + φ m ′ （ t ） 。 {\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).} ω が十分に大きい場合、φ m ′ {\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}
H （ u ） （ t ） ≈ A ⋅ 罪 （ ω t + φ m （ t ） ） {\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))} u 1 （ t ） ≈ A ⋅ e 私 （ ω t + φ m （ t ） ） 。 {\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}
式1 u m t )
u m （ t ） = m （ t ） + 私 ⋅ m ^ （ t ） {\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}
その結果、単側波帯 変調となる。
u 1 （ t ） = （ m （ t ） + 私 ⋅ m ^ （ t ） ） ⋅ e 私 （ ω t + φ ） {\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}
送信成分は次のとおりです。[ 44 ] [ 45 ]
u （ t ） = 再 { u 1 （ t ） } = m （ t ） ⋅ コス （ ω t + φ ） − m ^ （ t ） ⋅ 罪 （ ω t + φ ） {\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}
因果関係 機能h （ t ） = 1 / （ π t ） {\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}
図 1 ：周波数応答がナイキスト周波数の約95%に帯域制限されたフィルタ図 2 ：ハイパス周波数応答を持つヒルベルト変換フィルタ図 3 。図 4。cos ( ωt ) のヒルベルト変換はsin( ωt ) です。この図は、sin(ωt) と、MATLABライブラリ関数hilbert()によって計算された2つの近似ヒルベルト変換を示しています。 図 5． 区分的畳み込みを用いたコサイン関数の離散ヒルベルト変換離散関数の場合、u [ n ] 、 {\displaystyle u[n],} 離散時間フーリエ変換 （DTFT）を用いて、U （ ω ） {\displaystyle U(\omega )} ヒルベルト変換 u ^ [ n ] 、 {\displaystyle {\widehat {u}}[n],} u ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {u}}[n]} − π < ω < π の領域では、次のように与えられます。
DTFT （ u ^ ） = U （ ω ） ⋅ （ − 私 ⋅ サイン （ ω ） ） 。 {\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).} 畳み込み定理 を用いた逆DTFTは次のようになります。 [ 46 ] [ 47 ]
u ^ [ n ] = D T F T − 1 （ U （ ω ） ） * D T F T − 1 （ − 私 ⋅ サイン （ ω ） ） = u [ n ] * 1 2 π ∫ − π π （ − 私 ⋅ サイン （ ω ） ） ⋅ e 私 ω n d ω = u [ n ] * 1 2 π [ ∫ − π 0 私 ⋅ e 私 ω n d ω − ∫ 0 π 私 ⋅ e 私 ω n d ω ] ⏟ h [ n ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}} どこ
h [ n ] ≜ { 0 、 もし n 平 2 π n もし n 奇数 {\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{if }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{if }}n{\text{ odd}}\end{cases}}} これは無限インパルス応答（IIR）です。
実務上の考慮事項 [ 48 ]
方法1： ストリーミングの直接畳み込みu [ n ] {\displaystyle u[n]} h [ n ] 、 {\displaystyle h[n],} h ～ [ n ] 。 {\displaystyle {\tilde {h}}[n].} h [ n ] {\displaystyle h[n]} 図1は 反対称係数の数が奇数で、タイプ IIIと呼ばれます。[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] IV設計（反対称係数の数が偶数）を図2 に示します。[ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] 。
典型的な（つまり、適切にフィルタリングされ、サンプリングされた）u [ n ] {\displaystyle u[n]} タイプ IVのインパルス応答には1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} h [ n ] {\displaystyle h[n]} これにより、図 2 に示すように、ゼロ値の係数がゼロ以外の値になります。したがって、タイプ III設計はタイプIV設計の2倍の効率を持つ可能性があります 。 タイプ III 設計の群遅延 はサンプルの整数値であり、これによりアライメントが容易になります。u ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {u}}[n]} u [ n ] {\displaystyle u[n]} 解析信号を 生成するため。タイプIVの群遅延は 、2つのサンプルの中間値です。 突然の中断h [ n ] {\displaystyle h[n]} h ～ [ n ] {\displaystyle {\tilde {h}}[n]} [ 57 ]
方法 2: 区分的畳み込み。直接畳み込みは、畳み込み定理を介して高速フーリエ変換の効率性にアクセスできるオーバーラップセーブ [ 58 ] 離散フーリエ変換(DFT) は、 u [ n ] {\displaystyle u[n]} h ～ [ n ] {\displaystyle {\tilde {h}}[n]} N {\displaystyle N} 。
h ～ N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ h ～ [ n − m N ] 。 {\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].} 非ゼロ値の継続時間がh ～ [ n ] {\displaystyle {\tilde {h}}[n]} M < N 、 {\displaystyle M<N,} N − M + 1 {\displaystyle N-M+1} u ^ 。 {\displaystyle {\widehat {u}}.} M − 1 {\displaystyle M-1} N 、 {\displaystyle N,}
方法3： 方法2と同じだが、DFTはh ～ [ n ] {\displaystyle {\tilde {h}}[n]} − 私 サイン （ ω ） {\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )} 0 {\displaystyle 0} ± 1. {\displaystyle \pm 1.} u [ n ] {\displaystyle u[n]} 周期的な総和 を伴う： [ A ]
h N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m N ] 、 {\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],} [ B ] [ C ] 任意のパラメータに対して、N 。 {\displaystyle N.} h [ n ] {\displaystyle h[n]}
図3は、 方法2と方法3の違いを示しています。反対称インパルス応答の半分のみが表示され、非ゼロ係数のみが表示されています。青色のグラフは方法2に対応しており、h [ n ] {\displaystyle h[n]} hilb(65) によって生成されます。その過渡的な影響は正確にわかっており、容易に無視できます。関数引数によって決定される周波数応答は、アプリケーションに依存する唯一の設計上の問題です。
赤いグラフはh 512 [ n ] 、 {\displaystyle h_{512}[n],} − 私 サイン （ ω ） {\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )} u [ n ] {\displaystyle u[n]} MATLAB 関数hilbert(u,512) によって。[ 61 ] 解析的表現 である。u [ n ] 。 {\displaystyle u[n].}
入力が純粋なコサインのセグメントである場合、2つの異なる値に対する結果の畳み込みはN {\displaystyle N} 図4 （赤と青のプロット）に示されている。エッジ効果により、結果は純粋な正弦関数（緑のプロット）にはならない。h N [ n ] {\displaystyle h_{N}[n]} N {\displaystyle N} h [ n ] {\displaystyle h[n]}
図5は 、方法2（青）と方法3（赤点）の両方を使用した区分的畳み込みの例です。正弦関数は、4つの重なり合うセグメントで処理され、再び結合されたコサイン関数の離散ヒルベルト変換を計算することによって作成されます。FIRの結果（青）が示すように、IIRの結果（赤）に現れる歪みは、h [ n ] {\displaystyle h[n]} h N [ n ] {\displaystyle h_{N}[n]} （図3 の緑と赤）。h N [ n ] {\displaystyle h_{N}[n]} 窓状 ）になっていることは、この文脈では実際には役立ちます。本当の問題は、窓状になっていないことです。実際には、M = N 、 {\displaystyle M=N,} M < N 。 {\displaystyle M<N.}
数論的ヒルベルト変換は、離散ヒルベルト変換を適切な素数を法とする整数に拡張したものです 。この点において、離散フーリエ変換の 数論的変換への一般化に従います。数論的ヒルベルト変換は、直交離散シーケンスの集合を生成するために使用できます
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外部リンク ヒルベルト変換の有界性の導出 Mathworldのヒルベルト変換— 変換表が含まれています ワイススタイン、エリック・W. 「ティッチマーシュの定理」 . MathWorld 「GS256 講義3：ヒルベルト変換」（PDF） 。 2012年2月27日にオリジナル（PDF） からアーカイブされました。 
![{\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~1<p\leq 2\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{if}}~2<p<\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb45bbc8cd2c662ae758157e851e51ad4956e336)
![{\displaystyle u[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db24ca554e6645bd66aa851b6dbc45543a906f0c)
![{\displaystyle {\widehat {u}}[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd26325fa2b94b7a2c516a3e7fde42358afdf65f)
![{\displaystyle {\widehat {u}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f129b7f5e5604414d420530f4c21ff85e12b048)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn} (\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn} (\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a97421da309483892476b40bbb4b15b32529f4)
![{\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{if }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{if }}n{\text{ odd}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf55fd5cc637ae7ce545ea6b25f2e36604271951)
![{\displaystyle u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f1362207606428a09d907db25527859eab6ac3)
![{\displaystyle h[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95e01506ee85989abead7eebfa72ae91f5e61e6)
![\displaystyle {\tilde {h}}[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ae9f3a539927c0061d42e9c0e6cb4a8a71ec40)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![\displaystyle {\tilde {h}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0a3a5c199d8c1d0527bf16b60cf63058b6e119)
![{\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b18bc36f1a8ea3d2128983fe3ec612f0397eb2a)
![{\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ea51245b09d43228ee9716345668896281eb9)
![{\displaystyle h_{512}[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20069582b4464459fe7b201137bc1043d33aaa2e)
![{\displaystyle u[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be50440a68c6ac4c03c9be7a44dc1d6bab05193)
![{\displaystyle h_{N}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1006999f66b88dd911d718afd2403c146532dbe4)
![{\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{nが奇数の場合}},\\0&{\text{nが偶数の場合}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558adeb8d5bb8948e3e5ea0271f7b876d03f100d)
![{\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23f7f5f8ba7f224ad9f5e459ad82813629cd57f)
