一様化定理

数学において、一様化定理とは、すべての単連結リーマン面は、開単位円盤、複素平面、またはリーマン球面のいずれかと等角写像的に同値であるという定理である。この定理は、平面の単連結開部分集合から任意の単連結リーマン面へのリーマン写像定理の一般化である。

すべてのリーマン面は単連結リーマン面である普遍被覆を持つため、一様化定理によりリーマン面は、普遍被覆としてリーマン球面を持つもの（「楕円型」）、普遍被覆として平面を持つもの（「放物型」）、普遍被覆として単位円盤を持つもの（「双曲型」）の3種類に分類されます。さらに、すべてのリーマン面は一定曲率のリーマン計量を持つことが導かれ、曲率は楕円型の場合は1、放物型の場合は0、双曲型の場合は-1とすることができます。

一様化定理は、閉じた向き付け可能なリーマン2次元多様体を楕円型、放物型、双曲型の3つのケースに分類する同様の分類ももたらす。このような多様体はそれぞれ、曲率が一定の共形的に等価なリーマン計量を持つ。ここで、曲率は楕円型では1、放物型では0、双曲型では-1とすることができる。

歴史

フェリックス・クライン（1883年）とアンリ・ポアンカレ（1882年）は、代数曲線（のリーマン面）の一様化定理を予想した。アンリ・ポアンカレ（1883年）はこれを任意の多価解析関数に拡張し、その正当性を示す非形式的な議論を与えた。一般の一様化定理の最初の厳密な証明は、ポアンカレ（1907年）とポール・ケーベ（1907a 、1907b 、1907c ）によって与えられた。ポール・ケーベは後にさらにいくつかの証明と一般化を与えた。その歴史はグレイ（1994年）に記述されている。 1907年のKoebeとPoincaréの論文までの均一化に関する完全な説明は、de Saint-Gervais (2016)（この出版物を共同で作成した15人の数学者グループのBourbaki型のペンネーム）に詳細な証明とともに記載されている。

連結リーマン面の分類

すべてのリーマン面は、離散群の自由かつ適切な正則作用をその普遍被覆に作用させた商であり、この普遍被覆は単連結リーマン面であるため、以下のいずれかと正則的に同型（「等角的に同値」または「双正則」とも言う）である。

リーマン球面
複素平面
複素平面上の単位円盤。

コンパクトリーマン面の場合、単位円盤を普遍的に覆うものは、種数が 1 より大きい双曲面であり、すべて非可換基本群を持ちます。複素平面を普遍的に覆うものは、種数 1 のリーマン面、すなわち基本群 $Z$ $2$ を持つ複素トーラスまたは楕円曲線であり、リーマン球面を普遍的に覆うものは、種数 0 のリーマン面、すなわち自明な基本群を持つリーマン球面そのものです。

閉じた向き付けられたリーマン2次元多様体の分類

向き付けられた2次元多様体上では、リーマン計量は等温座標への移行を利用して複雑な構造を誘導する。リーマン計量が局所的に次のように与えられる場合

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},

すると複素座標z = x + i yでは次の形になる。

ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},

どこ

\lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),

λとμは滑らかで、λ > 0かつ|μ| < 1である。等温座標( u, v)では、計量は次の形式をとるべきである。

ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})

ρ > 0は滑らかである。複素座標w = u + i v は以下を満たす。

\rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},

ベルトラミ方程式が成り立つ場合、座標( u , v )は局所的に等温となる。

{\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}

局所的に微分同相な解、すなわちヤコビ行列がゼロでない解を持つ。

これらの条件は、外微分とホッジスター演算子 $*$ に関して同等に表現できます。^{[ 1 ]} $*$ $du$ $=$ $dv$ の場合、 $u$ と $v は$ 等温座標になります。ここで、 $*$ は微分上で $*($ $p$ $dx$ $+$ $q$ $dy$ $) = -$ $q$ $dx$ $+$ $p$ $dy$ によって定義されます。 $∆ = *$ $d$ $*$ $d を$ ラプラス・ベルトラミ演算子とします。標準的な楕円理論により、 $u は$ 与えられた点の近くで調和的、つまり $Δ$ $u$ $= 0$ となるように選択でき、 $du は$ ゼロになりません。ポアンカレの補題により、 $dv$ $= *$ $du は$ $d$ $(*$ $du$ $) = 0$ のときにのみ局所解 $v$ を持ちます。この条件は $Δ$ $u$ $= 0$ と同等なので、常に局所的に解くことができます。 $du$ はゼロではなく、1形式のホッジスター演算子の二乗は-1であるため、duと $dv$ は $線形$ 独立でなければならず、 $u$ と $vは$ 局所等温座標を与える。

等温座標の存在は、例えばAhlfors (2006)のようにベルトラミ方程式の一般理論を用いる方法や、 Chern (1955)やJost (2006)のように直接的な初等的方法を用いる方法など、他の方法で証明することができる。

コンパクトリーマン面とのこの対応関係から、閉じた向き付け可能なリーマン2次元多様体の分類が導かれる。そのような多様体はそれぞれ、等曲率を持つ唯一の閉じた2次元多様体と共形的に同値であり、等長変換群の離散部分群の自由作用による以下のいずれかの商多様体である。

球体（曲率+1）
ユークリッド平面（曲率0）
双曲平面（曲率－1）。

属 0
属1
属2
属3

最初のケースは、定常正曲率を持つ唯一の2次元多様体である2次元球面を表し、したがってオイラー標数は正（2に等しい）です。2番目のケースは、オイラー標数が0であるすべての平坦な2次元多様体、すなわちトーラスを表します。3番目のケースは、定常負曲率を持つすべての2次元多様体、すなわちオイラー標数が負である双曲2次元多様体を表します。この分類は、定常曲率を持つ閉曲面の場合、その曲率の符号がオイラー標数の符号と一致しなければならないことを意味するガウス・ボンネの定理と一致しています。オイラー標数は2 – 2 gに等しく、gは2次元多様体の種数、すなわち「穴」の数です。

証明方法

一様化定理の多くの古典的な証明は、単連結リーマン面上に実数値調和関数を構成することに基づいており、その関数は1つまたは2つの点で特異点を持つ場合があり、多くの場合、グリーン関数の形式に対応します。調和関数を構成する4つの方法が広く用いられています。ペロン法、シュワルツ交代法、ディリクレの原理、ワイルの直交射影法です。閉じたリーマン2次元多様体の文脈では、いくつかの現代的な証明は、共形的に等価な計量の空間上の非線形微分方程式を呼び出します。これらには、タイヒミュラー理論のベルトラミ方程式と調和写像による等価な定式化、ポアンカレによって既に研究されたリウヴィル方程式、リッチフロー、およびその他の非線形フローが含まれます。

ラドの定理は、すべてのリーマン面が自動的に第二可算であることを示している。ラドの定理は一様化定理の証明でよく用いられるが、ラドの定理が結果として導かれるような証明も存在する。コンパクトリーマン面の場合、第二可算性は自動的に成り立つ。

ヒルベルト空間法

1913 年、ヘルマン・ワイルは、1911 年から 1912 年にかけてのゲッティンゲンでの講義に基づいて、古典的な教科書「リーマン面の概念」を出版しました。これは、リーマン面の理論を現代的な設定で提示した最初の本であり、3 版を経ても影響力を持ち続けています。フェリックス・クラインに捧げられた初版には、ヒルベルト空間の手法を用いたディリクレ問題のヒルベルトによる扱い、トポロジーへのブロウワーの貢献、一様化定理の証明とその後の改良が組み込まれています。ずっと後になって、ワイル (1940 年) は、ヒルベルト空間に基づいてディリクレ問題への合理化されたアプローチを与える直交射影法を開発しました。楕円正則性に関するワイルの補題を含むこの理論は、ホッジの調和積分理論に関連しています。そして、両方の理論は楕円型作用素と $L$ $2$ ソボレフ空間の現代理論に包含された。 1955 年の著書の第 3 版 ( Weyl (1964)で英語に翻訳) では、Weyl は三角分割よりも微分多様体の現代的な定義を採用したが、直交射影法は使用しないことにした。Springer (1957) はWeyl の一様化定理の説明に従ったが、ディリクレ問題を扱うために直交射影法を使用した。Kodaira (2007) はWeyl の著書のアプローチと、直交射影法を使用してそれを短縮する方法を説明した。関連する説明はDonaldson (2011)で見つけることができる。

非線形流れ

リチャード・S・ハミルトンは、閉曲面上の正規化されたリッチフローが計量を一様化すること（すなわち、フローが一定曲率計量に収束すること）を示した。しかし、彼の証明は一様化定理に依存していた。欠けていたステップは2次元球面上のリッチフローに関するもので、一様化定理（種数0の場合）への訴えを回避する方法は、Chen、Lu 、 Tian（2006）によって提供された。^{[ 2 ]} 2次元球面上のリッチフローに関する簡潔で自己完結的な説明は、 Andrews & Bryan（2010）で与えられた。

一般化

コーベは、リーマン面が複素球面の開集合と同相である場合（あるいは同等に、すべてのジョルダン曲線がそれを分離する場合）、そのリーマン面は複素球面の開集合と等角的に同相であるという一般一様化定理を証明した。

3次元空間には、8つの幾何学が存在し、これらは8つのサーストン幾何学と呼ばれています。すべての3次元多様体が幾何学を持つわけではありませんが、グリゴリー・ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何学化予想によれば、すべての3次元多様体は幾何学化可能な断片に分割できるとされています。

リップマン・バースの同時一様化定理は、同じ種数 >1 の 2 つのコンパクトリーマン面を同じ準フックス群で同時に一様化できることを示しています。

可測リーマン写像定理は、より一般的に、一様化定理における複素球面の開部分集合への写像は、任意の有界可測ベルトラミ係数を持つ準等角写像として選択できることを示している。

参考文献

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