積分変換

数学において、積分変換とは、関数を元の関数空間から別の関数空間へ積分によって写像する変換の一種である。この写像によって、元の関数の性質の一部が、元の関数空間よりも容易に特徴づけられ、操作されるようになる。変換された関数は、一般的に逆変換を用いて元の関数空間に写像し直すことができる。

積分変換とは、あらゆる変換のことである。${\displaystyle T}$以下の形式：

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

この変換の入力は関数です${\displaystyle f}$出力は別の関数です${\displaystyle Tf}$積分変換は、数学演算子の一種です。

有用な積分変換は数多く存在する。それぞれは関数の選択によって指定される。${\displaystyle K}$2 つの変数からなる変換の核または核と呼ばれる部分。

一部のカーネルには、関連する逆カーネルが存在する。${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$これは（大まかに言えば）逆変換となる。

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

対称カーネルとは、2つの変数を入れ替えても変化しないカーネルのことです。これはカーネル関数です。${\displaystyle K}$そのため${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$積分方程式の理論では、対称核は自己共役演算子に対応する。^{[ 1 ]}

元の表現では解くのが難しい、あるいは少なくとも代数的に扱いにくい問題が数多く存在する。積分変換は、方程式を元の「領域」から別の領域へと「写像」する。この別の領域では、方程式の操作や解法が元の領域よりもはるかに容易になる場合がある。そして、積分変換の逆変換を用いることで、解を元の領域へと復元することができる。

確率には、積分変換に依存する多くの応用例があります。例えば、「価格カーネル」や確率的割引係数、あるいはロバスト統計から得られたデータの平滑化などです。カーネル（統計）を参照してください。

フーリエ変換の先駆けは、関数を有限区間で表現するためのフーリエ級数であった。その後、有限区間という制約をなくすためにフーリエ変換が開発された。

フーリエ級数を用いると、時間に関するほぼすべての実用的な関数（例えば、電子機器の端子間の電圧）を、それぞれ適切なスケール（定数倍）、シフト（時間的に進めたり遅らせたり）、そして「圧縮」または「伸長」（周波数を増減）した正弦関数と余弦関数の和として表すことができます。フーリエ級数における正弦関数と余弦関数は、正規直交基底の一例です。

積分変換の応用例として、ラプラス変換を考えてみましょう。これは、「時間」領域の微分方程式または積分微分方程式を、 「複素周波数」領域と呼ばれる領域の多項式方程式に写像する手法です。（複素周波数は実際の物理的な周波数に似ていますが、より一般的です。具体的には、複素周波数s = − σ + iωの虚数成分ωは、通常の周波数の概念、すなわち正弦波が周期する速度に対応し、複素周波数の実数成分σは、「減衰」の度合い、つまり振幅の指数関数的な減少に対応します。）複素周波数で表された方程式は、複素周波数領域で容易に解くことができ（複素周波数領域の多項式方程式の根は、時間領域の固有値に対応します）、周波数領域で定式化された「解」が得られます。逆変換、つまり元のラプラス変換の逆手順を用いることで、時間領域の解が得られます。この例では、複素周波数領域における多項式（通常は分母に現れる）は時間領域におけるべき級数に対応し、複素周波数領域における軸方向のシフトは時間領域における減衰指数関数による減衰に対応する。

ラプラス変換は物理学、特に電気工学において幅広く応用されており、複素周波数領域における電気回路の挙動を記述する特性方程式は、時間領域における指数関数的にスケーリングされ、時間シフトされた減衰正弦波の線形結合に対応する。その他の積分変換は、他の科学および数学分野において特別な応用が見出される。

別の使用例としては、経路積分におけるカーネルが挙げられます。

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

これは、総振幅が${\displaystyle \psi (x,t)}$到着する${\displaystyle (x,t)}$は、すべての可能な値にわたる合計（積分）です。${\displaystyle x'}$全振幅の${\displaystyle \psi (x',t')}$その地点に到達する${\displaystyle (x',t')}$振幅を掛けて${\displaystyle x'}$に${\displaystyle x}$[つまり]${\displaystyle K(x,t;x',t')}$]。^{[ 2 ]}これは、特定のシステムのプロパゲーター と呼ばれることが多い。この（物理）カーネルは、積分変換のカーネルである。ただし、各量子システムには異なるカーネルが存在する。^{[ 3 ]}

逆変換の積分範囲において、cは変換関数の性質に依存する定数である。例えば、片側および両側ラプラス変換の場合、cは変換関数の零点の最大の実部よりも大きくなければならない。

フーリエ変換には、別の表記法や慣例が存在することに注意してください。

ここでは実数上の関数に対して積分変換を定義しているが、より一般的には群上の関数に対しても定義することができる。

• 代わりに円上の関数（周期関数）を使用すると、積分カーネルは二重周期関数になります。円上の関数による畳み込みは、円形畳み込みになります。
• n位数の巡回群( C _nまたはZ / n Z )上の関数を使用すると、積分核としてn × n行列が得られます。畳み込みは巡回行列に対応します。

積分変換の性質は多岐にわたるが、共通する性質もいくつかある。例えば、積分は線形演算子であるため、すべての積分変換は線形演算子である。実際、核が一般化された関数であっても構わないならば、すべての線形演算子は積分変換となる（この主張を適切に定式化したものがシュワルツ核定理である）。

このような積分方程式の一般理論はフレドホルム理論として知られています。この理論では、核は関数のバナッハ空間に作用するコンパクト作用素として理解されます。状況に応じて、核はフレドホルム作用素、核作用素、またはフレドホルム核などと呼ばれます。

• AD ポリャニン、AV マンジロフ著、『積分方程式ハンドブック』、CRC Press、ボカラトン、1998年。ISBN 0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam、『拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション』、マグロウヒル、ニューヨーク、2011年。ISBN 978-0-07-175184-1
• 「積分変換」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld（数学方程式の世界）にある積分変換表。