関数方程式

数学において、関数方程式とは、最も広い意味では、 1つまたは複数の関数が未知数として現れる方程式のことである。^{[ 1 ] [ 2 ]}したがって、微分方程式と積分方程式は関数方程式である。しかし、より限定的な意味で、関数方程式とは、同じ関数の複数の値を関連付ける方程式を指す場合が多い。例えば、対数関数は本質的に対数関数方程式によって特徴づけられる。${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$⁠ .

未知関数の定義域が自然数であると仮定すると、その関数は一般に数列とみなされ、この場合、関数方程式（狭義）は漸化式と呼ばれます。したがって、関数方程式という用語は主に実関数と複素関数に用いられます。さらに、解には滑らかさの条件がしばしば仮定されます。なぜなら、そのような条件がない場合、ほとんどの関数方程式は非常に不規則な解を持つからです。例えば、 ガンマ関数は、関数方程式 を満たす関数です。${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$そして初期値${\displaystyle f(1)=1.}$これらの条件を満たす関数は多数存在するが、複素平面全体で有理型であり、実数かつ正のxに対して対数凸である関数はガンマ関数のみである（ボーア・モレラップの定理）。

• 漸化式は、整数または自然数上の関数における関数方程式と見なすことができ、項のインデックスの差はシフト演算子の適用と見なすことができます。たとえば、フィボナッチ数を定義する漸化式は、${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$、 どこ${\displaystyle F_{0}=0}$そして${\displaystyle F_{1}=1}$
• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$周期関数を特徴づける
• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$偶関数を特徴づけるものであり、同様に${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$これは奇関数の特徴である
• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$これは、関数の関数的な平方根を特徴づけるものです。${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$（コーシーの関数方程式）は、線形写像によって満たされる。選択公理によっては、この方程式は他の病的な非線形解を持つ場合もあり、その存在は実数に対するハーメル基底を用いて証明できる。
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}$すべての指数関数で満たされる。コーシーの加法関数方程式と同様に、これも病的な不連続解を持つ可能性がある。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$、すべての対数関数および互いに素な整数引数に対する加法関数によって満たされる。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$、すべてのべき関数および互いに素な整数引数に対する乗法関数によって満たされる。
• ${\displaystyle f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]}$（二次方程式または平行四辺形の法則）
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2}$（ジェンセンの関数方程式）
• ${\displaystyle g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]}$（ダランベールの関数方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$（アーベル方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$（シュレーダー方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}}$（ベッチャー方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)}$（ジュリアの方程式）
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)}$（レヴィ＝チヴィタ）
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)}$（正弦加算公式と双曲線正弦加算公式）
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)}$（コサイン加算式）
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)}$（双曲線余弦の加算公式）
• 交換法則と結合法則は関数方程式です。結合法則は、よく知られている形式では、二項演算を中置記法で記述することによって表されます。$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$しかし、 a ○ bの代わりにf ( a , b )と書くと、結合法則は従来の関数方程式のように見える。$${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).}$$
• 関数方程式$${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$はリーマンゼータ関数^{[ a ]}によって満たされる。大文字のΓはガンマ関数を表す。
• ガンマ関数は、次の3つの方程式からなる連立方程式の唯一の解である。
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          （オイラーの反射公式）
• 関数方程式$${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$ここで、 a、b、c、dは、を満たす整数である。${\displaystyle ad-bc=1}$つまり${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$= 1 は、f を次数kのモジュラー形式と定義します。

上記の例すべてに共通する特徴は、いずれの場合も、解くべき未知の関数の引数の中に、2つ以上の既知の関数（定数による乗算、2つの変数の加算、恒等関数など）が含まれていることです。

すべての解を求める場合、数学解析の条件を適用する必要があるかもしれません。例えば、前述のコーシー方程式の場合、連続関数である解が「妥当な」解であり、実用的ではない他の解も構築できます（実数を有理数上のベクトル空間としてハメル基底を用いることで）。ボーア・モレラップの定理も、よく知られた例です。

動的計画法では、ベルマンの関数方程式を解くために、固定点反復に基づく方法を含むさまざまな逐次近似法^{[ 4 ] [ 5 ]}が使用されています。

• 関数方程式（L関数）
• ベルマン方程式
• 動的計画法
• 暗黙関数
• 関数微分方程式

• ヤーノシュ・アツェル著、『関数方程式とその応用に関する講義』、アカデミック・プレス、1966年、ドーバー出版より復刻、ISBN 0486445232。
• ヤーノシュ・アツェル、J. ドンブレス著『多変数関数方程式』ケンブリッジ大学出版局、1989年。
• C. エフティミウ著『関数方程式入門』、AMS、2011年、ISBN 978-0-8218-5314-6 ;オンライン。
• Pl. Kannappan、『関数方程式と不等式とその応用』、Springer、2009年。
• Marek Kuczma、『関数方程式と不等式の理論入門』、第2版、Birkhäuser、2009年。
• ヘンリック・ステトカー著、『群上の関数方程式』、初版、ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、2013年。
• クリストファー・G・スモール（2007年4月3日）。関数方程式とその解法。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-0-387-48901-8。

• 関数方程式： EqWorld（数学方程式の世界）における厳密解。
• 関数方程式： EqWorld（数学方程式の世界）の索引。
• IMO問題集（アーカイブ）に掲載されている、問題解決における関数方程式に関するテキスト。