ランダム変数

ランダム変数（ランダム量、偶然変数、確率変数とも呼ばれる）は、ランダムなイベントに依存する量またはオブジェクトの数学 的形式化です。^[1]数学的な定義における「ランダム変数」という用語は、ランダム性や変動性を指すものではなく、 ^[2]代わりに、

• ドメインは、標本空間における可能な結果の集合（例えば、コインを投げた結果として表 または裏になる可能性のある上面の集合）である。${\displaystyle \{H,T\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$
• 値域は測定可能な空間です（例えば、上記のドメインに対応して、表が-1 にマッピングされ、 表が1 にマッピングされる場合、値域は集合になる可能性があります）。通常、ランダム変数の値域は実数の集合です。${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

非公式には、ランダム性は、サイコロを振るなどの偶然の基本的な要素を表すのが一般的ですが、測定誤差などの不確実性を表すこともあります。^[1]しかし、確率の解釈は哲学的に複雑であり、特定のケースでも必ずしも簡単ではありません。ランダム変数の純粋に数学的な分析は、そのような解釈の難しさとは無関係であり、厳密な公理的な設定に基づくことができます。

測度論という正式な数学言語では、ランダム変数は、確率測度空間（標本空間と呼ばれる）から測定可能空間への測定可能な関数として定義されます。これにより、ランダム変数の分布と呼ばれるプッシュフォワード測度を考慮することができます。したがって、分布は、ランダム変数のすべての可能な値の集合上の確率測度です。2 つのランダム変数が同一の分布を持ちながらも、重要な点で異なる可能性があります。たとえば、それらは独立している可能性があります。

離散ランダム変数と絶対連続ランダム変数の特殊なケースを考慮することは一般的であり、これはランダム変数が可算なサブセットで値を取るか、実数の区間で値を取るかに対応します。特に確率過程の理論では、ランダムなシーケンスまたはランダム関数を考慮するのが自然であるなど、他の重要な可能性もあります。ランダム変数は自動的に実数で値を取ると見なされる場合があり、より一般的なランダム量はランダム要素と呼ばれます。

ジョージ・マッキーによれば、パフヌティ・チェビシェフは「ランダム変数について体系的に考えた」最初の人物であった。^[3]

ランダム変数 は、可能な結果の集合としての標本空間から測定可能な空間への測定可能な関数です。技術的な公理的定義では、標本空間は確率の3倍の標本空間である必要があります（測度論的定義を参照）。ランダム変数は、などの大文字のローマ字で表記されることが多いです。^[4]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle X,Y,Z,T}$

測定可能な集合において値がとられる確率は次のように表される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq E}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}$。

多くの場合、は実数値、つまり です。文脈によっては、ランダム要素(拡張を参照)という用語は、この形式ではないランダム変数を表すために使用されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

の像（または範囲）が有限または無限に可算な場合、ランダム変数は離散ランダム変数と呼ばれます^{[5] : 399}そしてその分布は離散確率分布、つまり の像の各値に確率を割り当てる確率質量関数によって記述できます。 像が非可算無限である場合（通常は区間）、 は連続ランダム変数と呼ばれます。^{[6] [7]が}絶対連続である特別な場合、その分布は区間に確率を割り当てる確率密度関数によって記述できます。特に、絶対連続ランダム変数の場合、個々の点の確率は必ず 0 でなければなりません。 すべての連続ランダム変数が絶対連続であるわけではありません。^[8]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

任意のランダム変数は累積分布関数によって記述できます。累積分布関数は、ランダム変数が特定の値以下になる確率を表します。

統計学における「ランダム変数」という用語は、伝統的に実数値の場合（）に限定されています。この場合、実数の構造により、ランダム変数の期待値と分散、その累積分布関数、およびその分布のモーメントなどの量を定義することができます。 ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

ただし、上記の定義は、任意の測定可能な値空間 に対して有効です。したがって、ランダムブール値、カテゴリ値、複素数、ベクトル、行列、シーケンス、ツリー、セット、シェイプ、多様体、関数など、他のセットのランダム要素を考慮することができます。その場合、具体的には、タイプのランダム変数、または値のランダム変数を参照できます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

このより一般的なランダム要素の概念は、グラフ理論、機械学習、自然言語処理、離散数学やコンピュータサイエンスのその他の分野などの分野で特に役立ちます。これらの分野では、非数値データ構造のランダムな変化をモデル化することに関心があることがよくあります。それでも、 の各要素を1 つ以上の実数を使用して表すと便利な場合があります。この場合、ランダム要素は、オプションで実数値のランダム変数のベクトルとして表すことができます(これらはすべて、同じ基礎となる確率空間 上で定義され、異なるランダム変数が を共変できるようにします)。たとえば、次のようになります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \オメガ}$

• ランダムな単語は、可能性のある単語の語彙のインデックスとして機能するランダムな整数として表すことができます。または、長さが語彙のサイズに等しいランダムな指標ベクトルとして表すこともできます。この場合、正の確率の値は、、のみであり、1 の位置は単語を示します。${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$
• 与えられた長さのランダムな文は、ランダムな単語のベクトルとして表すことができます。${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$
• 与えられた頂点上のランダム グラフは、ランダム変数の行列として表すことができ、その値はランダム グラフの隣接行列を指定します。${\displaystyle N}$${\displaystyle N\times N}$
• ランダム関数は、 ランダム変数 の集合として表すことができ、関数の定義域内のさまざまな点における関数の値を与えます。は、関数が実数値である場合、通常の実数値ランダム変数です。たとえば、確率過程は時間のランダム関数であり、ランダムベクトルは などのインデックスセットのランダム関数であり、ランダムフィールドは任意のセット（通常は時間、空間、または離散セット）上のランダム関数です。${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$

確率空間上で定義されたランダム変数が与えられている場合、「 の値が 2 に等しい可能性はどれくらいですか?」などの質問をすることができます。これは、または略して と表記されることが多いイベントの確率と同じです。 ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}$${\displaystyle P(X=2)\,\!}$${\displaystyle p_{X}(2)}$

ランダム変数の出力のこれらの確率をすべて記録すると、の確率分布が得られます。確率分布は、 を定義するために使用された特定の確率空間を「忘れて」、 のさまざまな出力値の確率のみを記録します。このような確率分布は、 が実数値である場合、常にその累積分布関数によって捉えることができます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

また、確率密度関数、 を使用することもあります。測度論の用語では、ランダム変数を使用して、上の測度を 上の測度に「押し進める」ことになります。この測度は、「 の (確率) 分布」または「 の法則」と呼ばれます。 ^[9]密度、つまり上の何らかの参照測度に関する のラドン・ニコディム導関数(多くの場合、この参照測度は、連続ランダム変数の場合はルベーグ測度、離散ランダム変数の場合は計数測度です)。基礎となる確率空間は、ランダム変数の存在を保証し、場合によってはランダム変数を構築し、同じ確率空間上の 2 つ以上のランダム変数の結合分布に基づいて相関や依存性または独立性などの概念を定義するために使用される技術的なデバイスです。実際には、多くの場合、空間を完全に処分し、測度 1 を実数線全体に割り当てる測度を 上に配置し、ランダム変数の代わりに確率分布を使用します。より完全な展開については、分位関数に関する記事を参照してください。 ${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}=dp_{X}/d\mu }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ランダムに人物を選ぶ実験を考えてみましょう。ランダム変数の例としては、人物の身長が挙げられます。数学的には、ランダム変数は人物を身長にマッピングする関数として解釈されます。ランダム変数に関連付けられているのは確率分布で、身長が可能な値のサブセットに含まれる確率を計算できます。たとえば、身長が 180 ～ 190 cm である確率や、身長が 150 cm 未満または 200 cm を超える確率などです。

もう 1 つのランダム変数は、その人の子供の数です。これは、負でない整数値を持つ離散ランダム変数です。これにより、個々の整数値 (確率質量関数 (PMF)) または無限セットを含む値のセットの確率を計算できます。たとえば、関心のあるイベントは「子供が偶数」である可能性があります。有限イベント セットと無限イベント セットの両方について、その確率は要素の PMF を加算することで求められます。つまり、子供が偶数である確率は無限和です。 ${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$

このような例では、標本空間は数学的に記述するのが難しいため、しばしば抑制され、ランダム変数の可能な値は標本空間として扱われます。しかし、身長と子供の数が同じランダムな人物から計算されるなど、2 つのランダム変数が同じ結果の標本空間で測定される場合、身長と子供の数の両方が同じランダムな人物から得られることが認識されれば、それらの関係を追跡するのがより簡単になり、そのようなランダム変数が相関しているかどうかという疑問を提起できるようになります。

が実数の可算集合で の場合、は離散分布関数です。ここでに対して、に対して です。たとえば、すべての有理数の列挙を とすると、必ずしもステップ関数（区分定数）ではない離散関数が得られます。 ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$${\textstyle b_{n}>0}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$${\displaystyle x<t}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$${\displaystyle x\geq t}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

1 回のコイン投げで起こり得る結果は、標本空間 によって記述できます。次のように、表が出る賭けに成功した場合の 1 ドルの配当をモデル化する実数値のランダム変数を導入できます。 ${\displaystyle \Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if }}\omega ={\text{heads}},\\[6pt]0,&{\text{if }}\omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}$$

コインが公正なコインである場合、Y の確率質量関数 は次のように表されます。 ${\displaystyle f_{Y}}$$${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0,\end{cases}}}$$

ランダム変数は、サイコロを振るプロセスと起こり得る結果を記述するためにも使用できます。サイコロが 2 つの場合の最も明白な表現は、 {1、2、3、4、5、6} (2 つのサイコロの目を表す) からn ₁とn ₂のペアの集合をサンプル空間として取ることです。振られた合計数 (各ペアの数の合計) は、ペアを合計にマップする関数によって与えられる ランダム変数Xです。 また、(サイコロが公平である場合) には、次のように与えられる 確率質量関数f _{Xがあります。}$${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$$${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

正式には、連続ランダム変数とは、累積分布関数がどこでも連続しているランダム変数のことです。 ^{[10]有限の確率で}発生する数に対応する「ギャップ」は存在しません。その代わりに、連続ランダム変数は、厳密に規定された値c (正式には) を取ることはほとんどありませんが、その値が、任意に小さい特定の区間に収まる確率が正にあります。連続ランダム変数は通常、確率密度関数(PDF) を受け入れます。これは、その CDF と確率測度を特徴付けます。このような分布は絶対連続とも呼ばれますが、一部の連続分布は特異、つまり絶対連続部分と特異部分が混在しています。 ${\textstyle \forall c\in \mathbb {R} :\;\Pr(X=c)=0}$

連続ランダム変数の例としては、水平方向を選択できるスピナーに基づくものが挙げられます。この場合、ランダム変数が取る値は方向です。これらの方向は、北、西、東、南、南東などで表すことができます。ただし、通常は、サンプル空間を実数の値を取るランダム変数にマッピングする方が便利です。これは、たとえば、方向を北から時計回りの度数の方位にマッピングすることで実行できます。ランダム変数は、範囲 [0, 360) から実数の値を取り、その範囲のすべての部分が「等しくあり得る」ものになります。この場合、X = 回転する角度です。実数が選択される確率は 0 ですが、任意の値の範囲に正の確率を割り当てることができます。たとえば、[0, 180] の数字を選択する確率は1 ⁄ 2です。確率質量関数と言う代わりに、 Xの確率密度は1/360 であると言います。 [0, 360) のサブセットの確率は、セットの測度に 1/360 を掛けて計算できます。一般に、特定の連続ランダム変数のセットの確率は、特定のセットの密度を積分することで計算できます。

より正式には、任意の区間 が与えられた場合、ランダム変数がサブ区間内の値を取る確率がサブ区間の長さのみに依存する場合、そのランダム変数は「連続一様ランダム変数」（CURV）と呼ばれます。これは、任意のサブ区間に入る確率がサブ区間の長さに比例することを意味します。つまり、a ≤ c ≤ d ≤ bの場合、 ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$${\displaystyle X_{I}}$${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$

$${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}}$$

ここで、最後の等式は確率のユニタリー性公理から生じます。CURVの確率密度関数は、そのサポート区間の指示関数を区間の長さで正規化して与えられます。特に興味深いのは、単位区間上の均一分布です。任意の確率分布のサンプルは、単位区間 上に均一に分布するランダムに生成された数値上の の分位関数を計算することで生成できます。これは、すべてのランダム変数の統一フレームワークである 累積分布関数 の特性を活用します。${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {D} }$${\displaystyle \operatorname {D} }$

混合ランダム変数は、累積分布関数が離散的でもどこでも連続的でもないランダム変数です。^[10]離散ランダム変数と連続ランダム変数の混合として実現することができ、その場合、CDFは構成変数のCDFの加重平均になります。^[10]

混合型のランダム変数の例としては、コインを投げて表が出たときのみスピナーを回すという実験が挙げられます。結果が裏の場合はX = −1、それ以外の場合は前の例と同様にX = スピナーの値です。このランダム変数の値が −1 になる確率は1 ⁄ 2です。その他の値の範囲では、最後の例の半分の確率になります。

最も一般的には、実数直線上のすべての確率分布は、離散部分、特異部分、および絶対連続部分の混合です。ルベーグの分解定理 § 改良を参照してください。離散部分は可算集合に集中していますが、この集合は稠密である可能性があります (すべての有理数の集合のように)。

ランダム変数の最も形式的かつ公理的な定義は測度論を伴う。連続ランダム変数は、数値の集合と、そのような集合を確率にマッピングする関数によって定義される。そのような集合が十分に制約されていない場合に生じるさまざまな困難（例えば、バナッハ・タルスキーのパラドックス）のため、確率を定義できる可能性のある集合を制約するためにシグマ代数と呼ばれるものを導入する必要がある。通常、そのようなシグマ代数としてボレルσ代数が使用され、これにより、数値の連続区間から直接導出されるか、そのような区間の有限または可算無限個の和集合および/または積集合によって導出される任意の集合に対して確率を定義できる。^[11]

測度論的な定義は次のとおりです。

を確率空間、を測定可能空間とする。このとき、値を持つランダム変数は測定可能な関数であり、これはすべての部分集合 に対して、その原像が-測定可能であり、となることを意味する。^[12]この定義により、対象空間の任意の部分集合をその原像を見ることで測定できるようになり、その原像は仮定により測定可能となる。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$

より直感的に言えば、 のメンバーは起こり得る結果であり、 のメンバーは起こり得る結果の測定可能なサブセットであり、関数はそのような測定可能なサブセットのそれぞれの確率を与え、ランダム変数が取り得る値のセット (実数のセットなど) を表し、 のメンバーは(確率を決定できる) の「行儀の良い」(測定可能な) サブセットです。ランダム変数は、ランダム変数の量の任意の有用なサブセットにつながる結果が明確に定義された確率を持つような、任意の結果から量への関数です。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E}$

が位相空間のとき、 σ-代数の最も一般的な選択はボレルσ-代数であり、これは 内のすべての開集合の集合によって生成されるσ-代数です。このような場合、 -値ランダム変数は-値ランダム変数と呼ばれます。さらに、空間 が実数直線 のとき、このような実数値ランダム変数は単にランダム変数と呼ばれます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この場合、観測空間は実数の集合です。は 確率空間であることを思い出してください。実観測空間の場合、関数は実数値のランダム変数です。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

この定義は上記の特別なケースです。なぜなら、この集合は実数の集合上のボレルσ-代数を生成し、任意の生成集合上での測定可能性をチェックするのに十分だからです。ここでは、 という事実を使用して、この生成集合上での測定可能性を証明できます。 ${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$

ランダム変数の確率分布は、多くの場合、実用的な解釈も可能な少数のパラメータによって特徴付けられます。たとえば、その「平均値」がわかれば十分な場合がよくあります。これは、ランダム変数の期待値という数学的概念によって表され、 と表記され、第 1モーメントとも呼ばれます。一般に、は と等しくありません。「平均値」がわかれば、 の値が通常この平均値からどのくらい離れているかを尋ねることができます。この質問の答えは、ランダム変数の分散と標準偏差によって得られます。は、 の特定の評価であるメンバーを含む無限の母集団から得られる平均として直感的に考えることができます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]}$${\displaystyle f(\operatorname {E} [X])}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X}$

数学的には、これは（一般化）モーメント問題として知られています。つまり、与えられたランダム変数のクラスに対して、期待値がランダム変数の分布を完全に特徴付けるような関数の集合を見つけます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle \operatorname {E} [f_{i}(X)]}$${\displaystyle X}$

モーメントは、ランダム変数（または複素数値など）の実数値関数に対してのみ定義できます。ランダム変数自体が実数値である場合、変数自体のモーメントを取ることができ、これはランダム変数の恒等関数のモーメントに相当します。ただし、実数値でないランダム変数の場合でも、それらの変数の実数値関数のモーメントを取ることができます。たとえば、名目値「赤」、「青」、「緑」を取ることができるカテゴリランダム変数Xの場合、実数値関数を構築できます。これは、アイバーソン括弧 を使用し、値が「緑」の場合は値 1、それ以外の場合は 0 になります。次に、この関数の期待値とその他のモーメントを決定できます。 ${\displaystyle f(X)=X}$${\displaystyle [X={\text{green}}]}$${\displaystyle X}$

実数値ランダム変数の結果に実ボレル測定関数を適用することで、新しいランダム変数Yを定義できます。つまり、の累積分布関数は次のようになります。 ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=g(X)}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).}$

関数が可逆（つまり、関数の逆関数 が存在する）であり、 が増加または減少する場合、前の関係式を拡張して、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle h=g^{-1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq h(y))=F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ increasing}},\\\\\operatorname {P} (X\geq h(y))=1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ decreasing}}.\end{cases}}}$

の逆関数に関する同じ仮定のもと、微分可能性も仮定すると、確率密度関数の関係は、上式の両辺をについて微分することによって見つけられ、次式が得られる^[10]。${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\left|{\frac {dh(y)}{dy}}\right|.}$

の逆関数は存在しないが、それぞれが最大で可算個の根（つまり、 となる有限個、または可算無限個の ）を許容する場合、確率密度関数間の前述の関係は次のように一般化できる。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y=g(x_{i})}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}$

ここで、逆関数定理によれば、密度の公式は増加を要求しません。 ${\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)}$${\displaystyle g}$

確率に対する測度論的、公理的なアプローチでは、上の確率変数とボレル可測関数の場合、も 上の確率変数です。これは、可測関数の合成も 可測であるためです。(ただし、がルベーグ可測の場合は必ずしもそうではありません。^[要出典] ) 確率空間から に進むことを可能にした同じ手順を使用して、 の分布を取得できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=g(X)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\Omega ,P)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})}$${\displaystyle Y}$

を実数値の連続ランダム変数とし、 とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=X^{2}}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

もしならばなので ${\displaystyle y<0}$${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

もし、 ${\displaystyle y\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

それで

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

累積分布を持つランダム変数であると 仮定する${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

ここで、は固定パラメータです。ランダム変数を考えてみましょう。すると、 ${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

最後の式は累積分布で計算できるので、 ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{aligned}}}$

これは指数分布の累積分布関数(CDF)です。

が標準正規分布に従う確率変数で、その密度が ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

ランダム変数を考えてみましょう。変数の変更に対する上記の式を使用して密度を見つけることができます。 ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

この場合、のあらゆる値には の対応する値（正と負）が 2 つあるため、変化は単調ではありません。ただし、対称性のため、両方の半分は同じように変換されます。つまり、 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

逆変換は

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

そしてその導関数は

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

それから、

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

これは自由度が1 のカイ 2 乗分布です。

が正規分布に従う確率変数で、その密度が ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

ランダム変数を考えてみましょう。変数の変更に対する上記の式を使用して密度を見つけることができます。 ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

この場合、のすべての値には の対応する値（正と負）が 2 つあるため、変化は単調ではありません。ただし、前の例とは異なり、この場合は対称性がなく、2 つの異なる項を計算する必要があります。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

逆変換は

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

そしてその導関数は

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

それから、

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

これは自由度が1 の非心カイ 2 乗分布です。

• 2 つの独立したランダム変数の合計の確率分布は、それぞれの分布の畳み込みです。
• 確率分布はベクトル空間ではありません。線形結合では非負性や全積分 1 が保存されないため、確率分布は閉じていません。しかし、凸結合では閉じているため、関数 (または測度) の空間の凸部分集合を形成します。

ランダム変数が同等であるとみなされるには、いくつかの異なる意味があります。2 つのランダム変数は、等しい、ほぼ確実に等しい、または分布が等しい場合があります。

同等性の概念の正確な定義は、強さの順に以下に記載されています。

標本空間が実数直線のサブセットである場合、確率変数XとY は同じ分布関数を持つ場合、 分布が等しくなります( と表記)。${\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

分布が等しくなるために、ランダム変数は同じ確率空間で定義される必要はありません。等しいモーメント生成関数を持つ 2 つのランダム変数は、同じ分布を持ちます。これは、たとえば、独立した同一分布 (IID) ランダム変数の特定の関数の等価性をチェックする便利な方法を提供します。ただし、モーメント生成関数は、定義されたラプラス変換を持つ分布に対してのみ存在します。

2つのランダム変数XとYは、それらが異なる確率がゼロである場合にのみ、ほぼ確実に等しい（と表記される） 。 ${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

確率論のあらゆる実用的な目的において、この同等性の概念は実際の平等と同じくらい強力です。これは次の距離に関連付けられます。

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

ここで「ess sup」は測度論の意味での本質的上限を表します。

最後に、2 つのランダム変数XとY は、測定可能な空間上の関数として等しい場合に 等しくなります。

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

この概念は、通常、確率論において最も役に立たないものです。なぜなら、実践においても理論においても、実験の基礎となる測定空間が明示的に特徴付けられることはほとんどなく、特徴付けることすらできないからです。

数理統計学における重要なテーマは、特定の確率変数のシーケンスに対する収束結果を得ることです。たとえば、大数の法則や中心極限定理などです。

一連のランダム変数がランダム変数に収束する方法にはさまざまなものがあります。これらについては、ランダム変数の収束に関する記事で説明されています。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$

• 「ランダム変数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ズーカーマン、モシェ (2014)、「待ち行列理論と確率的テレトラフィックモデル入門」(PDF)、arXiv : 1307.2968
• ズーカーマン、モシェ (2014)、確率の基礎トピック(PDF)