ラティス（グループ）

幾何学と群論において、実座標空間の格子とは、この空間内の点の無限集合であり、格子内の2点を座標ごとに加算または減算すると別の格子点が生成され、格子点はすべてある最小距離で分離され、空間内のすべての点は格子点からある最大距離内にあるという特性を持つ。加法と減法に対する閉包とは、格子が空間内の点の加法群の部分群でなければならないことを意味し、最小距離と最大距離の要件は、格子がデローネ集合であると言うことでまとめることができます。より抽象的に、格子は、ベクトル空間 に張られる 次元の自由アーベル群として記述できます。の任意の基底について、基底ベクトルの整数係数を持つすべての線形結合の部分群は格子を形成し、すべての格子はこのように基底から形成できます。格子は、プリミティブ セルによる空間の規則的なタイリングとして考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

格子は純粋数学、特にリー代数、数論、群論との関連で多くの重要な応用がある。また、応用数学では符号理論との関連で、小規模相互作用から生じる接続性を研究するためのパーコレーション理論で、いくつかの格子問題の計算困難性推測による暗号学で登場し、物理科学ではさまざまな方法で使用されている。たとえば、材料科学や固体物理学では、格子は結晶構造のフレームワーク、つまり特別な場合には結晶内の原子または分子の位置と一致する、規則的に間隔を空けた点の3次元配列と同義である。より一般的には、格子モデルは物理学で、多くの場合計算物理学の手法によって研究されている。

格子は、n方向の離散的な並進対称性の対称群です。この並進対称性の格子を持つパターンは、格子自体よりも多くの対称性を持つことはできませんが、より少ない対称性を持つことはできます。^{[1]格子は、群として（幾何学的構造を捨てて）}有限生成自由アーベル群であり、したがって と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

例えば結晶内の原子や分子の位置、またはより一般的には並進対称性のもとでの群作用の軌道と一致する、規則的に間隔をあけた点の 3次元配列という意味での格子は、並進格子の並進、つまり剰余類であり、原点を含む必要はなく、したがって、以前の意味での格子である必要はありません。

における格子の簡単な例としては、部分群 がある。より複雑な例としては、における格子であるE8 格子や、におけるリーチ格子 がある。における周期格子は、19 世紀の数学で開発された楕円関数の研究の中心であり、アーベル関数の理論において高次元に一般化されている。ルート格子と呼ばれる格子は、単純なリー代数の理論において重要である。たとえば、E8 格子は、同じ名前のリー代数と関連している。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

格子は次の形をとる。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},}$

ここで、{ v ₁ , ..., v _n } は の基底です。異なる基底でも同じ格子が生成されますが、ベクトルv _iの行列式の絶対値はによって一意に決まり、d( ) で表されます。 格子を の全体を等しい多面体(格子の基本領域として知られるn次元平行六面体のコピー) に分割するものと考えると、d( ) はこの多面体のn次元体積に等しくなります。このため、d( ) は格子の共体積と呼ばれることもあります。これが 1 に等しい場合、格子はユニモジュラと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$

ミンコフスキーの定理は、対称凸集合Sの体積と数 d( ) を、Sに含まれる格子点の数に関連付けます。すべての頂点が格子の要素である多面体に含まれる格子点の数は、多面体のエールハルト多項式によって記述されます。この多項式の係数の一部の式にも d( ) が含まれます。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$

計算格子問題は、コンピュータサイエンスにおいて多くの応用があります。例えば、レンストラ・レンストラ・ロヴァース格子基底縮約アルゴリズム（LLL）は、多くの公開鍵暗号方式の暗号解読に使用されており、^[2]多くの格子ベースの暗号方式は、特定の格子問題が計算上困難であるという仮定の下で安全であることが知られています。^[3]

結晶学的制限定理によって与えられる 5 つの 2D 格子タイプがあります。以下に、格子の壁紙群がIUCr 表記、Orbifold 表記、およびCoxeter 表記で示され、対称性ドメインを示す壁紙図も示されています。この並進対称性の格子を持つパターンは、格子自体よりも多くの対称性を持つことはできませんが、より少ない対称性を持つことはできます。サブグループの完全なリストが利用可能です。たとえば、以下には、完全な 6 倍の反射対称性と 3 倍の半分の反射対称性を持つ六角形/三角形の格子が 2 回示されています。パターンの対称群にn倍の回転が含まれている場合、格子はn が偶数の場合はn倍の対称性を持ち、 nが奇数の場合は2 n倍の対称性を持ちます。

与えられた格子の分類では、まず 1 つの点から始めて、最も近い 2 番目の点を選択します。同じ線上にない 3 番目の点については、両方の点までの距離を考慮します。これらの 2 つの距離のうち小さい方が最小である点の中から、大きい方が最小である点を選択します。(論理的には同等ではありませんが、同じ結果になる格子の場合は、単に「2 つの距離のうち大きい方が最小である点を選択する」だけです。)

5 つのケースは、正三角形、直角二等辺三角形、直角三角形、二等辺三角形、不等辺三角形に対応します。菱形格子では、最短距離は対角線または菱形の辺のいずれかになります。つまり、最初の 2 点を結ぶ線分は、二等辺三角形の等しい辺の 1 つである場合とそうでない場合があります。これは、菱形の小さい方の角度が 60° 未満であるか、60° から 90° の間であるかによって決まります。

一般的なケースは周期格子として知られています。ベクトルpとq が格子を生成する場合、 pとq の代わりに、pとp - qなども使用できます。一般に 2D では、ad-bcが 1 または -1となる整数a、b、c、dに対して、 a p + b qおよびc p + d qを使用できます。これにより、pとq自体が他の 2 つのベクトルの整数線形結合であることが保証されます。各ペアp、q は平行四辺形を定義し、すべて同じ面積、つまり外積の大きさを持ちます。1 つの平行四辺形は、オブジェクト全体を完全に定義します。これ以上の対称性がなければ、この平行四辺形は基本的な平行四辺形です。

ベクトルpとq は複素数で表すことができます。サイズと方向を除けば、ペアはその商で表すことができます。幾何学的に表現すると、2 つの格子点が 0 と 1 の場合、3 番目の格子点の位置を考慮します。同じ格子を生成するという意味での同値性は、モジュラー グループで表されます。は、同じグリッド内の異なる 3 番目の点を選択することを表し、三角形の異なる辺を基準辺 0–1 として選択することを表します。これは一般に、格子のスケーリングを変更し、格子を回転させることを意味します。画像内の各「曲線三角形」には、2D 格子形状ごとに 1 つの複素数が含まれます。灰色の領域は、上記の分類に対応する標準表現で、0 と 1 は互いに最も近い 2 つの格子点です。境界の半分だけを含めることで重複を回避しています。菱形格子は境界上の点で表され、六角形格子は頂点、正方格子はiで表されます。長方形格子は虚軸上にあり、残りの領域は平行四辺形格子を表し、平行四辺形の鏡像は虚軸の鏡像で表されます。 ${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$

3D の 14 種類の格子はブラベー格子と呼ばれます。これらは空間群によって特徴付けられます。特定の種類の並進対称性を持つ 3D パターンは、格子自体よりも対称性が高くなることはありませんが、対称性が低くなることはあります。

内の格子は、実ベクトル空間として張られる離散部分群です。実ベクトル空間としての の次元はに等しいため、 内の格子は階数 の自由アーベル群になります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 2n}$

たとえば、ガウス整数は 内の格子を形成し、 は上のの基底です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle (1,i)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

より一般的には、リー群Gの格子Γ は離散部分群であり、その商G /Γ は有限測度である。これは、その上の測度がG上のハール測度から継承されるからである(左不変、または右不変、定義はその選択に依存しない)。これはG /Γ がコンパクトの場合には確かに当てはまるが、その十分条件は必ずしも必要ではない。これは、格子ではあるが商がコンパクトではない (尖点を持つ) SL ₂ ( R )のモジュラー群の場合に示されている。リー群に格子が存在することを示す一般的な結果がある。

G /Γ がコンパクトな場合、格子は均一またはココンパクトであると言われます。そうでない場合、格子は非均一であると呼ばれます。

通常、 では格子を考えますが、この概念は任意の体上の任意の有限次元ベクトル空間に一般化できます。これは次のように行うことができます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Kを体、Vをn次元Kベクトル空間、 VのK 基底、 R を K に含まれる環とします。このとき、Bによって生成されるVのR格子は次のように表されます。 ${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.}$

一般に、異なる基底B は異なる格子を生成します。ただし、基底間の遷移行列 T がRの一般線型群に含まれる場合(簡単に言えば、Tのすべての要素がRに含まれ、 のすべての要素がRに含まれることを意味します。これは、 Tの行列式がRの乗法逆元を持つ要素の単位群に含まれると言っているのと同じです)、 Tは2 つの格子間の同型性を誘導する ため、これらの基底によって生成される格子は同型になります。${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle R^{*}}$

このような格子の重要な例は、 Kがp進体でR がp進整数である整数論で発生します。

内積空間でもあるベクトル空間に対して、双対格子は集合

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

または同等に

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

• 格子の原始要素とは、格子内の別の要素の正の整数倍ではない要素のことである。 ^[要出典]

• ジョン・ホートン・コンウェイ; Sloane、Neil JA (1999)、Sphere Packings, Lattices and Groups、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 290 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98585-5、MR  0920369

• 格子カタログ（Nebe と Sloane 著）