弦の振動

弦の振動は波動です。弦をはじいたり叩いたりするなどの初期の擾乱によって、振動する弦は一定の周波数、つまり一定のピッチの音を発します。この周波数選択プロセスの性質は、有限の長さを持つ張られた弦で発生するため、この弦では特定の周波数しか存在できません。弦の長さ、張力、線密度（例えば、太さや材質の選択）が正しく指定されていれば、生成される音は音楽的な音色になります。振動する弦は、ギター、チェロ、ピアノなどの弦楽器の基礎となっています。均質な弦の場合、その運動は波動方程式で表されます。

弦における波の伝播速度（${\displaystyle v}$）は弦の張力の平方根に比例する（${\displaystyle T}$線密度の平方根に反比例する（${\displaystyle \mu }$文字列の )

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

この関係性は、16世紀後半にヴィンチェンツォ・ガリレイによって発見された。

導出

出典：^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \Delta x}$紐の長さに相当する。${\displaystyle m}$その質量、そして${\displaystyle \mu }$その線密度。角度が${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$が小さい場合、両側の張力の水平成分は両方とも定数で近似できます${\displaystyle T}$、この場合、正味の水平力はゼロとなる。したがって、小角近似を用いると、弦の両側に作用する水平張力は次のように与えられる。

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

ニュートンの第二法則の垂直成分から、この物体の質量（線密度と長さの積）に加速度を掛けると、${\displaystyle a}$は、部品にかかる正味の力と等しくなります。

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

この式をで割ると${\displaystyle T}$そして、最初の式と2番目の式を代入すると、(最初の式または2番目の式のどちらかを選択できます)${\displaystyle T}$そのため、それぞれに合う角度のものを簡単に選択できます${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \alpha }$）

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

小角近似によれば、弦片の両端の角度の正接は、定義によりマイナス符号が加わった両端の傾きに等しくなります。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$この事実を利用して式を整理すると、

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

極限では${\displaystyle \Delta x}$がゼロに近づくとき、左辺は の 2 階微分の定義である${\displaystyle y}$、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

この方程式は波動方程式として知られており、2階時間微分項の係数は${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$; したがって

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

どこ${\displaystyle v}$は弦内の波の伝播速度です。ただし、この導出は振幅の小さい振動にのみ有効です。振幅の大きい振動の場合、${\displaystyle \Delta x}$は弦の長さの適切な近似値ではなく、張力の水平成分は必ずしも一定ではありません。水平張力は、${\displaystyle T}$。

伝播速度が分かれば、弦から発せられる音の周波数を計算できる。波の伝播速度は波長に等しい。${\displaystyle \lambda }$期間で割った値$\displaystyle \tau }$または周波数を掛けた値${\displaystyle f}$:

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

弦の長さが${\displaystyle L}$基本倍音は、弦の両端が節となる振動によって生成される倍音なので、${\displaystyle L}$これは基本高調波の波長の半分である。したがって、メルセンヌの法則が得られる。

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

どこ${\displaystyle T}$張力（ニュートン単位）は、${\displaystyle \mu }$は線密度（つまり単位長さあたりの質量）であり、${\displaystyle L}$は弦の振動部分の長さです。したがって、

• 弦が短いほど、基本周波数は高くなる。
• 張力が高いほど、基本周波数は高くなる。
• 弦が軽いほど、基本周波数は高くなる。

さらに、n次高調波の波長を次のように表すとします。${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$すると、n次高調波の周波数を表す式が容易に得られる。

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

そして、張力Tの線密度を持つ弦の場合${\displaystyle \mu }$、 それから

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

振動する弦の周波数が十分に低く、その弦をテレビやコンピューターなどのCRTスクリーン（アナログオシロスコープではない）の前にかざすと、弦の波形を見ることができます。この現象はストロボ効果と呼ばれ、弦が振動しているように見える速度は、弦の周波数とスクリーンのリフレッシュレートの差に等しくなります。蛍光灯でも同様の現象が起こり、その速度は弦の周波数と交流の周波数の差に等しくなります。（スクリーンのリフレッシュレートが弦の周波数またはその整数倍に等しい場合、弦は静止しているように見えますが、歪んで見えます。）日光やその他の非振動光源では、この現象は起こらず、残像効果により、弦は静止しているように見えますが、太く、明るく、またはぼやけて見えます。

ストロボスコープを使えば、同様の効果をより制御しやすく得ることができます。この装置では、キセノンフラッシュランプの周波数を弦の振動周波数に合わせることができます。暗い部屋では、波形がはっきりと見えます。あるいは、弦を曲げたり、あるいはもっと簡単に、マシンヘッドを調整して交流周波数と同じか、その倍数にすることで、同じ効果を得ることができます。例えば、ギターの場合、6弦（最も低い音）を3フレットで押さえると、97.999  HzでGの音が出ます。少し調整するだけで、これを100 Hzに変更できます。これは、 ヨーロッパやアフリカ、アジアのほとんどの国で使用されている交流周波数50  Hzよりちょうど1オクターブ高い値です。交流周波数が60 Hzであるアメリカ大陸のほとんどの国では、 5弦の1フレットのA#を116.54 Hzから120 Hzに 変更すると、同様の効果が得られます。  

• フレット楽器
• 音楽音響学
• 円形ドラムの振動
• メルデの実験
• 3番目のブリッジ（均等な弦分割に基づく倍音共鳴）
• 弦の共鳴
• 反射位相変化
• ヒルベルト空間

• Molteno, TCA; NB Tufillaro (2004 年 9 月)「弦のダイナミクスに関する実験的調査」American Journal of Physics . 72 (9): 1157–1169 . Bibcode : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119/1.1764557 .
• Tufillaro, NB (1989). "非線形およびカオス的な弦の振動". American Journal of Physics . 57 (5): 408. Bibcode : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119/1.16011 .

特定の

• アラン・ゴリエリーとマーク・ロバートソン＝テッシによる「振動する弦」 、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。