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幾何学[ a ] [ 1 ]は、距離、形状、大きさ、図形の相対位置などの空間の性質を扱う数学の一分野です。 [ 2 ]幾何学は、算術とともに、数学の最も古い分野の一つです。幾何学の分野で研究する数学者は、幾何学者と呼ばれます。19世紀まで、幾何学はほぼ完全にユークリッド幾何学[ b ]に専念しており、点、線、平面、距離、角度、面、曲線の概念を基本概念として含んでいます。[ 3 ]
もともと物理世界をモデル化するために開発された幾何学は、ほぼすべての科学分野、そして芸術、建築、その他グラフィックスに関連する活動にも応用されています。[ 4 ]幾何学は、一見無関係に見える数学の分野にも応用されています。例えば、代数幾何学の手法は、初等算術の観点から述べられ、数世紀にわたって未解決のままだったフェルマーの最終定理のワイルズによる証明の基礎となっています。
19世紀には、いくつかの発見によって幾何学の範囲が劇的に拡大しました。そのような発見の中で最も古いものの一つが、カール・フリードリヒ・ガウスの「驚異の定理」（Theorema Egregium ）です。これは、曲面のガウス曲率がユークリッド空間への特定の埋め込みに依存しないことを概ね主張するものです。これは、曲面を本質的に、つまり独立した空間として研究できることを意味し、多様体理論やリーマン幾何学へと発展しました。19世紀後半には、平行線公準を持たない幾何学（非ユークリッド幾何学）が矛盾なく展開できることが明らかになりました。一般相対性理論の基礎となる幾何学は、非ユークリッド幾何学の有名な応用例です。
19 世紀後半以降、幾何学の範囲は大きく拡大し、基礎となる方法に依存する多くの下位分野（微分幾何学、代数幾何学、計算幾何学、代数トポロジー、離散幾何学（組み合わせ幾何学とも呼ばれる）など）や、無視されるユークリッド空間の性質（点の整列のみを考慮し、距離と平行性を考慮しない射影幾何学、角度と距離の概念を省略するアフィン幾何学、連続性を省略する有限幾何学など）に分かれてきました。この幾何学の範囲の拡大により、「空間」という言葉の意味も変化しました。元々は物理世界の3 次元空間と、ユークリッド幾何学によって提供されるそのモデルを指していましたが、現在では、幾何学的空間、あるいは単に空間とは、何らかの幾何学が定義される数学的構造を指します。
幾何学の最も古い記録は、紀元前 2 千年紀の古代メソポタミアとエジプトに遡ることができます。 [ 5 ] [ 6 ]初期の幾何学は、測量、建設、天文学、さまざまな工芸における実用的なニーズを満たすために開発された、長さ、角度、面積、体積に関する経験的に発見された原理の集合体でした。幾何学に関する最も古い既知のテキストは、エジプトのリンド パピルス(紀元前 2000 ～ 1800 年) とモスクワ パピルス(紀元前1890 年頃)、およびバビロニアの粘土板、例えばプリムプトン 322 (紀元前 1900 年) です。たとえば、モスクワ パピルスには、切頭ピラミッド、または円錐台の体積を計算する公式が示されています。[ 7 ]後世の粘土板（紀元前 350 ～ 50 年）は、バビロニアの天文学者が時間速度空間における木星の位置と運動を計算するために台形法を採用していたことを示している。これらの幾何学的手法は、平均速度定理を含むオックスフォード計算機を14 世紀も前に先取りしていた。[ 8 ]エジプトの南では、古代ヌビア人が太陽時計の初期バージョンを含む幾何学体系を確立した。[ 9 ] [ 10 ]
紀元前7世紀、ギリシャの数学者ミレトスのタレスは、ピラミッドの高さや船と海岸との距離の計算などの問題を解決するために幾何学を使用しました。彼は、タレスの定理の4つの系を導き出すことで、幾何学に演繹的推論を適用した最初の人物として知られています。 [ 11 ]ピタゴラスはピタゴラス学派を設立し、ピタゴラスの定理の最初の証明を行ったとされていますが、[ 12 ]定理の記述自体は長い歴史を持っています。[ 13 ] [ 14 ]エウドクソス（紀元前408年頃～紀元前355年頃）は、曲線図形の面積と体積の計算を可能にする除去法を開発し、[ 15 ]また、比較不可能な量の問題を回避する比率の理論を開発し、後世の幾何学者が大きな進歩を遂げることを可能にしました。紀元前 300 年頃、ユークリッドによって幾何学は革命的になりました。彼の『原論』は、史上最も成功し影響力のある教科書として広く認められており[ 16 ] 、公理的方法によって数学的厳密性を導入し、定義、公理、定理、証明という、今日でも数学で使用されている形式の最も初期の例となっています。 『原論』の内容のほとんどはすでに知られていましたが、ユークリッドはそれらを単一の首尾一貫した論理的枠組みにまとめました。[ 17 ]『原論』は20 世紀半ばまで西洋のすべての教養人に知られており、その内容は今日でも幾何学の授業で教えられています。[ 18 ]イタリアのシラクサ出身のアルキメデス(紀元前287 年頃 - 212 年)は、無限級数の和で放物線の弧の下の面積を計算するために、除去法を使用し、円周率の驚くほど正確な近似値を与えました。[ 19 ]彼はまた、自分の名前を冠した螺旋を研究し、回転面の体積の公式を得た。
インドの数学者たちは幾何学においても多くの重要な貢献をした。紀元前3世紀の『シャタパタ・ブラーフマナ』には、『シュルバ・スートラ』に類似した儀式的な幾何学的作図の規則が記されている。[ 20 ]林（2005 、p.363 ）によれば、シュルバ・スートラには「古代バビロニア人には既に知られていたものの、世界で現存する最古のピタゴラスの定理の口頭表現」が含まれている。ピタゴラスの三つ組のリストが含まれており、[ c ]これはディオファントス方程式の特殊なケースである。[ 21 ]バクシャリ写本 には、幾何学の問題（不規則な立体の体積に関する問題を含む）がいくつかある。バクシャリ写本はまた、「ゼロを表すドットを用いた十進位取り記数法を採用している」。[ 22 ]アーリヤバタのアーリヤバティーヤ（499）には、面積と体積の計算が含まれている。 ブラフマグプタは628年に天文学書『ブラフマスプタシッダーンタ』を著した。第12章には66のサンスクリット語の詩は、「基本演算」（立方根、分数、比率と比例、物々交換を含む）と「実用的な数学」（混合、数学的級数、平面図形、レンガの積み重ね、木材の切断、穀物の積み上げを含む）の2つのセクションに分かれていました。[ 23 ]後者のセクションでは、円に内接する四角形の対角線に関する彼の有名な定理を述べています。第12章には、円に内接する四角形の面積の公式（ヘロンの公式の一般化）と、有理三角形（つまり、有理辺と有理面積を持つ三角形）の完全な説明も含まれています。 [ 23 ]
中世において、中世イスラムの数学は幾何学、特に代数幾何学の発展に貢献した。[ 24 ] [ 25 ]アル・マハニ（853年生まれ）は、立方体の複製などの幾何学的問題を代数の問題に還元するというアイデアを考案した。[ 26 ]サービト・イブン・クッラ（ラテン語ではテビットとして知られる）（836年～901年）は、幾何学的量の比率に適用される算術演算を扱い、解析幾何学の発展に貢献した。[ 27 ]オマル・ハイヤーム（1048年～1131年）は、三次方程式の幾何学的解法を発見した。[ 28 ]ランベルト四角形やサッケリ四角形を含む、イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）、オマル・ハイヤーム、ナスィール・アル＝ディン・アル＝トゥースィーの四角形に関する定理は、ヴィテッロ（1230年頃- 1314年頃）、ゲルソニデス（1288 年 - 1344 年）、アルフォンソ、ジョン・ウォリス、ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリなど、後のヨーロッパの幾何学者によって引き継がれた平行線公準の研究の流れの一部であり、19 世紀までに双曲幾何学の発見につながった。[ 29 ]
17世紀初頭には、幾何学において2つの重要な発展があった。1つ目は、ルネ・デカルト（1596-1650）とピエール・ド・フェルマー（1601-1665）による解析幾何学、すなわち座標と方程式を用いた幾何学の創始である。 [ 30 ]これは、微積分学と物理学の精密な定量的科学の発展に不可欠な前段階であった。[ 31 ]この時期の2つ目の幾何学的発展は、ジラール・デザルグ（1591-1661）による射影幾何学の体系的な研究である。 [ 32 ]射影幾何学は、投影や断面の下で変化しない形状の性質、特に芸術的な遠近法に関連する性質を研究する。[ 33 ]
19世紀の幾何学における2つの発展は、それまでの幾何学の研究方法を変えた。[ 34 ]これらは、ニコライ・イヴァノヴィチ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによる非ユークリッド幾何学の発見と、フェリックス・クラインのエアランゲン計画における中心的考察としての対称性の定式化（ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を一般化したもの）である。当時の2人の巨匠幾何学者は、主に数学解析のツールを用いてリーマン面を導入したベルンハルト・リーマン（1826-1866）と、代数トポロジーと力学系の幾何学理論の創始者であるアンリ・ポアンカレであった。幾何学の概念におけるこれらの大きな変化の結果として、「空間」の概念は豊かで多様なものとなり、複素解析や古典力学といった異なる理論の自然な背景となった。[ 35 ]
以下は、幾何学における最も重要な概念の一部です。[ 3 ] [ 36 ]
ユークリッドは、史上最も影響力のある書籍の1つである『原論』[ 37 ]において、幾何学に抽象的なアプローチを採用した。 [ 38 ]ユークリッドは、点、線、平面の基本的または自明な性質を表すいくつかの公理、または公準を導入した。 [ 39 ]彼は、数学的推論によって他の性質を厳密に演繹した。ユークリッドの幾何学へのアプローチの特徴は厳密さであり、それは公理的幾何学または総合幾何学として知られるようになった。[ 40 ] 19 世紀初頭、ニコライ・イヴァノヴィチ・ロバチェフスキー(1792–1856)、ヤーノシュ・ボヤイ(1802–1860)、カール・フリードリヒ・ガウス(1777–1855)らによる非ユークリッド幾何学の発見[ 41 ]により、この分野への関心が再び高まり、20 世紀には、ダフィット・ヒルベルト(1862–1943) が公理的推論を用いて幾何学の現代的な基礎を提供しようと試みた。[ 42 ]
点は一般的に、幾何学を構築するための基本的な対象と考えられています。ユークリッドの定義のように「部分を持たないもの」[ 43 ]として、あるいは総合幾何学のように、点が持つべき性質によって定義されることがあります。現代数学では、点は通常、空間と呼ばれる集合の要素として定義され、空間自体が公理的に定義されます。
こうした現代的な定義では、あらゆる幾何学的形状は点の集合として定義されます。しかし、総合幾何学ではそうではありません。総合幾何学では、直線はもう一つの基本的な対象であり、直線が通過する点の集合として捉えられることはありません。
しかし、点が原始的な対象ではない、あるいは点さえ存在しない現代幾何学も存在する。[ 44 ] [ 45 ]そのような幾何学の中で最も古いものの1つは、1919年から1920年にかけてアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって定式化されたホワイトヘッドの点のない幾何学である。
ユークリッドは直線を「幅のない長さ」であり、「それ自身の上の点に対して等しく存在する」と表現した。[ 43 ]現代数学では、幾何学の多様性を考慮すると、直線の概念は幾何学の記述方法と密接に結びついている。例えば、解析幾何学では、平面上の直線は、与えられた線形方程式を満たす座標を持つ点の集合として定義されることが多いが、[ 46 ]より抽象的な設定、例えば接続幾何学では、直線は、その上にある点の集合とは区別される独立した対象である場合がある。[ 47 ]微分幾何学では、測地線は直線の概念を曲がった空間に一般化したものである。[ 48 ]
ユークリッド幾何学では、平面は無限に広がる平らな2次元表面です。[ 43 ]他の種類の幾何学の定義は、その一般化です。平面は、幾何学の多くの分野で使用されています。たとえば、平面は距離や角度を参照せずに位相面として研究できます。 [ 49 ]共線性や比率は研究できますが距離は研究できないアフィン空間として研究できます。 [ 50 ]複素解析の手法を使用して複素平面として研究できます。[ 51 ]など。
曲線は直線（線など）である場合もそうでない場合もある1次元の物体です。2次元空間の曲線は平面曲線と呼ばれ、3次元空間の曲線は空間曲線と呼ばれます。[ 52 ]
位相幾何学では、曲線は実数の区間から別の空間への関数によって定義されます。[ 49 ]微分幾何学では、同じ定義が使用されますが、定義関数は微分可能である必要があります。[ 53 ]代数幾何学では、次元が1 の代数多様体として定義される代数曲線が研究されます。[ 54 ]
曲面とは、球や放物面のような2次元の物体である。[ 55 ]微分幾何学[ 53 ]や位相幾何学[ 49 ]では、曲面はそれぞれ微分同相写像または同相写像によって組み立てられた2次元の「パッチ」（または近傍）によって記述される。代数幾何学では、曲面は多項式方程式によって記述される。[ 54 ]
多様体は、曲線と曲面の概念を一般化したものです。位相幾何学では、多様体は、すべての点がユークリッド空間と同相な近傍を持つ位相空間です。 [ 49 ]微分幾何学では、微分可能な多様体は、各近傍がユークリッド空間と微分同相な空間です。[ 53 ]
多様体は、一般相対性理論や弦理論など、物理学において広く用いられている。[ 56 ]
ユークリッドは平面角を、平面上で交わり、互いに直線ではない2本の直線の、平面上での互いに対する傾きと定義している。[ 43 ]現代の用語では、角は、角の辺と呼ばれる2本の半直線が、角の頂点と呼ばれる共通の端点を共有することによって形成される図形である。 [ 57 ]角の大きさは、角度尺度 として形式化される。
ユークリッド幾何学では、角度は多角形や三角形を研究するために用いられるだけでなく、それ自体が研究対象にもなります。[ 43 ]三角形の角度や単位円の角度の研究は、三角法の基礎を形成します。[ 58 ]
微分幾何学と微積分学では、平面曲線または空間曲線または曲面間の角度は、導関数を使用して計算できます。[ 59 ] [ 60 ]
長さ、面積、体積は、それぞれ1次元、2次元、3次元における物体の大きさや広がりを表す。
ユークリッド幾何学や解析幾何学では、線分の長さはピタゴラスの定理によって計算できることが多い。[ 61 ]
面積と体積は、長さとは別の基本的な量として定義することも、平面または3次元空間の長さで記述および計算することもできます。数学者は、さまざまな幾何学的オブジェクトの面積と体積の多くの明示的な公式を発見しました。微積分では、面積と体積は、リーマン積分[ 62 ]やルベーグ積分[ 63 ]などの積分で定義できます。
その他の幾何学的尺度としては、曲率やコンパクト性などがある。
長さや距離の概念は一般化することができ、計量の概念につながります。[ 64 ]例えば、ユークリッド計量はユークリッド平面上の点間の距離を測定し、双曲計量は双曲平面上の距離を測定します。計量のその他の重要な例としては、特殊相対性理論のローレンツ計量と一般相対性理論の半リーマン計量があります。[ 65 ]
別の方向性として、長さ、面積、体積の概念は測度論によって拡張され、測度論は集合に大きさや尺度を割り当てる方法を研究し、その尺度は古典的な面積や体積の尺度と同様の規則に従います。[ 66 ]
合同と類似性は、2 つの図形が類似した特性を持っている場合を表す概念です。[ 67 ]ユークリッド幾何学では、類似性は同じ形状を持つオブジェクトを表すのに使用され、合同は大きさも形状も同じオブジェクトを表すのに使用されます。[ 68 ]ヒルベルトは、幾何学のより厳密な基礎を作るための研究において、合同を、その性質が公理によって定義される未定義の用語として扱いました。
合同と相似は変換幾何学において一般化され、変換幾何学はさまざまな種類の変換によって保存される幾何学的オブジェクトの性質を研究する。[ 69 ]
古典幾何学者は、他の方法で記述された幾何学的対象を作図することに特に注意を払いました。古典的には、ほとんどの幾何学的作図で使用される唯一の道具はコンパスと定規です。[ d ]また、すべての作図は有限のステップで完了する必要がありました。しかし、これらの手段だけでは解決が困難または不可能な問題がいくつか見つかり、ネウシス、放物線、その他の曲線、または機械装置を使用した独創的な作図法が発見されました。
回転と向きという幾何学的概念は、平面または空間に埋め込まれた物体の配置の一部を定義する。
従来の幾何学では、次元は 1 (線または曲線)、2 (平面または表面)、3 ( 3 次元空間として考えられている私たちの周囲の世界) でした。さらに、数学者や物理学者は2 世紀近くにわたって高次元を使用してきました。 [ 70 ]高次元の数学的な使用例の 1 つは、物理システムの構成空間であり、その次元はシステムの自由度に等しくなります。たとえば、ねじの構成は 5 つの座標で記述できます。[ 71 ]
一般位相幾何学では、次元の概念は自然数から無限次元（例えばヒルベルト空間）や正の実数（フラクタル幾何学）へと拡張されてきた。[ 72 ]代数幾何学では、代数多様体の次元は一見異なる定義がいくつか与えられてきたが、最も一般的なケースではすべて同等である。[ 73 ]
幾何学における対称性のテーマは、幾何学という学問そのものと同じくらい古いものです。[ 74 ]円、正多角形、プラトン立体などの対称的な形状は、多くの古代の哲学者にとって深い意味を持ち[ 75 ]、ユークリッドの時代以前に詳細に研究されていました。[ 39 ]対称的なパターンは自然界に現れ、レオナルド・ダ・ヴィンチ、M.C.エッシャーなどのグラフィックを含む、さまざまな形で芸術的に表現されました。 [ 76 ] 19世紀後半には、対称性と幾何学の関係が徹底的に精査されました。フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムは、変換群の概念によって表現される対称性が、幾何学とは何かを非常に厳密に決定すると宣言しました。[ 77 ]古典的なユークリッド幾何学における対称性は合同と剛体運動によって表されるが、射影幾何学では直線を直線に変換する幾何学的変換である共線変換が同様の役割を果たす。[ 78 ]しかし、クラインの「対称群によって幾何学を定義する」という考えは、ボヤイとロバチェフスキー、リーマン、クリフォードとクライン、そしてソフス・リーの新しい幾何学から着想を得た。[ 79 ]離散対称性と連続対称性の両方が幾何学において重要な役割を果たしており、前者は位相幾何学と幾何学的群論で、[ 80 ] [ 81 ]後者はリー理論とリーマン幾何学で重要な役割を果たしている。[ 82 ] [ 83 ]
別の種類の対称性として、射影幾何学をはじめとする分野における双対性の原理がある。このメタ現象は、おおまかに次のように説明できる。任意の定理において、点 を平面と交換し、と を結び、が に含まれ、が を含むとすると、結果は同様に正しい定理となる。[ 84 ]同様の、密接に関連した双対性の形式は、ベクトル空間とその双対空間の間にも存在する。[ 85 ]
ユークリッド幾何学は、古典的な意味での幾何学です。[ 86 ]物理世界の空間をモデル化するため、力学、天文学、結晶学などの多くの科学分野、 [ 87 ]および工学、[ 88 ]建築、[ 89 ]測地学、[ 90 ]空気力学、[ 91 ]および航海[ 92 ]などの多くの技術分野で使用されています。大多数の国の義務教育カリキュラムには、点、線、平面、角度、三角形、合同、相似、立体図形、円、解析幾何学などのユークリッド概念の研究が含まれています。[ 93 ]
微分幾何学は、微積分と線形代数の手法を用いて幾何学の問題を研究します。[ 94 ]物理学[ 95 ] 、計量経済学[ 96 ]、バイオインフォマティクス[ 97 ]などに応用されています。
特に、微分幾何学は、宇宙が曲がっているというアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の仮説により、数理物理学において重要である。[ 98 ]微分幾何学は、内在的（考慮される空間が滑らかな多様体であり、その幾何学的構造がリーマン計量によって支配され、各点の近くでの距離の測定方法を決定する）か外在的（研究対象が周囲の平坦なユークリッド空間の一部である）かのいずれかである。[ 99 ]
非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学を規定する公理と密接に関連する公理に基づく2つの幾何学から構成される。ユークリッド幾何学は計量幾何学とアフィン幾何学の交点に位置するため、非ユークリッド幾何学は、平行公準を別の公準に置き換えるか、計量幾何学に関連付けられた確定二次形式以外の二次形式を考慮することによって生じる。前者の場合、双曲幾何学と楕円幾何学、すなわち伝統的な非ユークリッド幾何学が得られる。等方的な二次形式が認められる場合、平面代数に関連付けられたアフィン平面が存在し、これによって運動学的幾何学が生じるが、これも非ユークリッド幾何学と呼ばれている。
トポロジーは連続写像の性質を扱う分野であり、[ 100 ]ユークリッド幾何学の一般化と考えることができる。[ 101 ]実際には、トポロジーは連結性やコンパクト性などの空間の大規模な性質を扱うことを意味することが多い。[ 49 ]
20世紀に大きく発展したトポロジーの分野は、技術的には変換幾何学の一種であり、変換は同相写像である。[ 102 ]これはしばしば「トポロジーはゴムシート幾何学である」という言い回しで表現される。トポロジーの下位分野には、幾何トポロジー、微分トポロジー、代数トポロジー、一般トポロジーなどがある。[ 103 ]
代数幾何学は、基本的に、代数的方法を用いて、多変数多項式の共通零点として定義される代数集合と呼ばれるいくつかの幾何学的形状を研究する学問である。[ 104 ]代数幾何学は、代数集合と多項式環のイデアルとの間に強い対応関係を確立するヒルベルトの零点定理と呼ばれる定理によって、1900 年頃に幾何学の独立した下位分野となった。これにより、代数幾何学とその代数的対応物である可換代数の並行的な発展がもたらされた。[ 105 ] 1950 年代後半から 1970 年代半ばにかけて、アレクサンダー・グロタンディークによるスキーム理論の導入により、代数幾何学は基礎的な大きな発展を遂げた。スキーム理論は、コホモロジー理論を含む位相的方法を純粋に代数的な文脈で使用できるようにするものである。 [ 105 ]スキーム理論は、幾何学だけでなく数論においても多くの難問を解決することを可能にした。ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、スキーム理論とその拡張であるスタック理論などを用いて解決された、数論における長年の問題の有名な例である。ミレニアム賞の7つの問題のうちの1つであるホッジ予想は、代数幾何学の問題である。[ 106 ]
複素幾何学は、複素平面上にモデル化された、または複素平面から生じる幾何学的構造の性質を研究する。[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]複素幾何学は、微分幾何学、代数幾何学、および多変数複素解析の交点に位置し、弦理論や鏡面対称性への応用が見出されている。[ 112 ]
複素幾何学は、ベルンハルト・リーマンがリーマン面を研究した際に、独立した研究分野として初めて登場しました。[ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]リーマンの精神を受け継いだ研究は、1900 年代初頭にイタリアの代数幾何学学派によって行われました。複素幾何学の現代的な扱いは、ジャン＝ピエール・セールの研究から始まり、彼はこの分野に層の概念を導入し、複素幾何学と代数幾何学の関係を明らかにしました。[ 116 ] [ 117 ] 複素幾何学の主な研究対象は、複素多様体、複素代数多様体、複素解析多様体、およびこれらの空間上の正則ベクトル束と連接層です。複素幾何学で研究される空間の特別な例としては、リーマン面やカラビ・ヤウ多様体があり、これらの空間は弦理論で利用されています。特に、弦のワールドシートはリーマン面によってモデル化され、超弦理論は10次元時空の余分な6次元がカラビ・ヤウ多様体によってモデル化される可能性があると予測している。
離散幾何学は凸幾何学と密接な関係を持つ分野です。[ 118 ] [ 119 ] [ 120 ]主に点、線、円などの単純な幾何学的オブジェクトの相対位置の問題に関係しています。例としては、球の充填、三角形分割、クネーザー・ポールセン予想などの研究があります。 [ 121 ] [ 122 ]組み合わせ論と多くの方法と原理を共有しています。
計算幾何学は、幾何学的オブジェクトを操作するためのアルゴリズムとその実装を扱います。歴史的に重要な問題には、巡回セールスマン問題、最小全域木、隠線除去、線形計画法などがあります。[ 123 ]
幾何学の比較的新しい分野ではあるものの、コンピュータビジョン、画像処理、コンピュータ支援設計、医用画像処理など、多くの応用分野がある。[ 124 ]
群はクラインのエアランゲン計画以来、幾何学的対象として理解されてきた。幾何学的群論は、有限生成群を研究するために、幾何学的とみなされる対象（特に、距離空間上の等長作用）に対する群作用を研究し、しばしば大規模な幾何学的手法[ 125 ]を伴い、位相幾何学、幾何学、力学、解析学から借用している[ 126 ] 。これは低次元位相幾何学に大きな影響を与え、有名な成果としては、ペレルマン幾何化とキュビュレーション手法を組み合わせたアゴルの事実上のハーケン予想の証明が挙げられる[ 127 ]。
ケイリーグラフ上の群作用は、等長群作用の基礎的な例です。その他の主要なトピックには、準等長性、グロモフ双曲群とその一般化（相対的および非線形双曲群）、自由群とその自己同型、木に作用する群、群の非正曲率のさまざまな概念（CAT(0)群、デーン関数、自動性など）、直角アルティン群、および小消去理論やアルゴリズムの問題（単語、共役、同型性の問題など）といった組み合わせ群論に近いトピックが含まれます。写像クラス群、性質（T）、可解性、可換性、リー群の格子などの他の群論的トピックも、幾何学的に強いと見なされることがあります。[ 125 ] [ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]
凸幾何学は、ユークリッド空間とそのより抽象的な類似物における凸形状を研究するもので、実解析や離散数学の手法がよく用いられます。[ 131 ]凸解析、最適化、関数解析と密接な関係があり、数論において重要な応用があります。
凸幾何学は古代に遡ります。[ 131 ]アルキメデスは、凸性の最初の既知の正確な定義を与えました。凸幾何学で繰り返し登場する概念である等周問題は、ゼノドロスを含むギリシャ人によっても研究されました。アルキメデス、プラトン、ユークリッド、そして後にケプラーとコクセターは皆、凸多面体とその性質を研究しました。19世紀以降、数学者は、高次元多面体、凸体の体積と表面積、ガウス曲率、アルゴリズム、タイリング、格子など、凸数学の他の分野を研究してきました。
幾何学は多くの分野で応用されており、その一部を以下に紹介する。
数学と芸術はさまざまな形で関連している。例えば、透視図法は、幾何学には図形の計量的な性質以上のものがあることを示しており、透視図法は射影幾何学の起源である。[ 132 ]
芸術家は古くからデザインにおいて比例の概念を用いてきた。ウィトルウィウスは人体における理想的な比例の複雑な理論を発展させた。 [ 133 ]これらの概念はミケランジェロから現代の漫画家まで、多くの芸術家によって用いられ、応用されてきた。 [ 134 ]
黄金比は、芸術において議論の的となってきた特別な比率である。長さの比率の中で最も美的に心地よい比率であるとよく言われ、有名な芸術作品に取り入れられていると頻繁に言われるが、最も信頼性が高く明確な例は、この伝説を認識していた芸術家によって意図的に作られたものである。[ 135 ]
タイリング、またはテセレーションは、歴史を通じて芸術で使用されてきました。イスラム美術ではテセレーションが頻繁に使用され、 MC エッシャーの芸術も同様でした。[ 136 ]エッシャーの作品では双曲幾何学も使用されました。
セザンヌは、すべてのイメージは球体、円錐、円柱から構成できるという理論を提唱した。これは今日でも美術理論で用いられているが、具体的な形状のリストは著者によって異なる。[ 137 ] [ 138 ]
幾何学は建築において多くの応用例があります。実際、幾何学は建築設計の中核をなすと言われています。[ 139 ] [ 140 ]建築における幾何学の応用例としては、投影幾何学を用いて強制遠近法を作り出すこと[ 141 ] 、円錐曲線を用いてドームや類似の物体を構築すること[ 89 ]、テセレーションを用いること[ 89 ] 、対称性を用いること[ 89 ]などが挙げられます。
天文学の分野、特に天球上の星や惑星の位置をマッピングし、天体の動きの関係を記述することに関連する分野は、歴史を通じて幾何学の問題の重要な源泉となってきた。[ 142 ]
一般相対性理論ではリーマン幾何学と擬リーマン幾何学が用いられている。[ 143 ]弦理論では幾何学のいくつかの変種が用いられており、[ 144 ]量子情報理論でも同様に用いられている。[ 145 ]
微積分は幾何学の影響を強く受けています。[ 30 ]例えば、ルネ・デカルトによる座標の導入と、それに伴う代数学の発展は、平面曲線などの幾何学的図形を関数や方程式の形で解析的に表現できるようになったため、幾何学にとって新たな段階となりました。これは、17 世紀における微積分の出現に重要な役割を果たしました。解析幾何学は、微積分入門および微積分カリキュラムの根幹であり続けています。[ 146 ] [ 147 ]
もう一つの重要な応用分野は数論である。[ 148 ]古代ギリシャでは、ピタゴラス派が幾何学における数の役割を考察した。しかし、長さの不一致の発見は彼らの哲学的見解と矛盾した。[ 149 ] 19世紀以降、幾何学は数論の問題解決に用いられており、例えば数の幾何学や、より最近では、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明に用いられたスキーム理論などがある。[ 150 ]
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）イブン・アル＝ハイサム、ハイヤーム、アル＝トゥーシーの3人の科学者は、19世紀になってようやくその重要性が完全に認識されるようになった幾何学のこの分野に最も大きな貢献をした。本質的に、彼らが考察した四角形の性質に関する命題は、これらの図形のいくつかの角が鋭角または鈍角であると仮定して、双曲幾何学と楕円幾何学の最初のいくつかの定理を体現していた。彼らの他の提案は、さまざまな幾何学的命題がユークリッドの公準Vと同等であることを示した。これらの学者がこの公準と三角形および四角形の角の和との間の相互関係を確立したことは極めて重要である。平行線の理論に関する彼らの研究によって、アラブの数学者たちはヨーロッパの同時代の数学者たちの関連する研究に直接影響を与えた。平行線に関する公準を証明しようとする最初のヨーロッパの試みは、13世紀のポーランドの科学者ヴィテロによって、イブン・アル＝ハイサムの理論を改訂しながら行われた。アル＝ハイサムの『光学の書』（キタブ・アル＝マナジル）は、間違いなくアラビア語の文献に影響を受けている。14世紀に南フランスに住んでいたユダヤ人学者レヴィ・ベン・ゲルソンと、前述のスペイン出身のアルフォンソが提示した証明は、イブン・アル＝ハイサムの証明に直接的に類似している。上で述べたように、偽トゥースィーの『ユークリッド幾何学解説』は、 J・ウォリスとG・サッケリの両名による平行線理論の研究を刺激した。