工事 コッホ曲線は、正三角形 から始めて、各線分を次のように再帰的に変更することで作成できます。
線分を等しい長さの3つの部分に分割する。 ステップ1で描いた中央の線分を底辺とし、外側に向かって伸びる正三角形を描きます。 ステップ2で、三角形の底辺となる線分を削除します。 このプロセスの最初の反復では、 六芒星 の輪郭が生成されます。
コッホ曲線は、上記のステップを無限に繰り返していくことで到達する極限値です。ヘルゲ・フォン・コッホ によって最初に記述されたコッホ曲線は、元の三角形の3辺のうち1辺のみを使用して構築されます。言い換えれば、3つのコッホ曲線がコッホ曲線を形成します。
名目上は平坦な表面のコッホ曲線に基づく表現は、各線を所定の角度で鋸歯状のセグメントパターンで繰り返し分割することによって同様に作成できる。[ 7 ]
不動産
コッホ雪片の周囲長 コッホ曲線の弧長は 無限である。これを示すために、作図の各反復が曲線の多角形近似であることに注目する。したがって、反復された曲線の周長が無限であることを示せば十分である。
雪の結晶の周囲n {\displaystyle n} s {\displaystyle s}
3 s ⋅ （ 4 3 ） n 、 {\displaystyle 3s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,,}
これは無限大に発散する。
コッホ雪片の面積 雪の結晶の総面積n {\displaystyle n} A {\displaystyle A}
A （ 1 + 3 4 ∑ k = 1 n （ 4 9 ） k ） = A 1 5 （ 8 − 3 （ 4 9 ） n ） 。 {\displaystyle A\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=A\,{\frac {1}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}
極限をとるとn {\displaystyle n} 8 5 \displaystyle {\tfrac {8}{5}}} s {\displaystyle s} [ 8 ] 2 s 2 3 5 。 \displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}
革命の固体 コッホ雪片が、単位辺の正三角形の対称軸を中心に回転する立体 の体積は11 3 135 π 。 {\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .} [ 9 ]
その他の物件 コッホ雪片は、中心にある大きな雪片を6つの小さな雪片が取り囲むように自己複製する。したがって、これはirrep-7のirrep-tileである（詳細はRep-tileを参照）。
コッホ曲線のハウスドルフ次元は d = ln 4 ln 3 ≈ 1.26186 {\displaystyle d={\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186} = 1 {\displaystyle =1} ）だが、ペアノ の空間充填曲線 よりは小さい（= 2 {\displaystyle =2}
コッホ曲線のハウスドルフ尺度 S {\displaystyle S} 0.032 < H d （ S ） < 0.6 {\displaystyle 0.032<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.6} 0.528 < H d （ S ） < 0.590 {\displaystyle 0.528<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.590} 10 ]
曲線上のどの点にも接線 を引くことは不可能である。
ド・ラーム曲線としての表現 コッホ曲線は、ド・ラーム曲線 の特殊な場合として現れます。ド・ラーム曲線は、カントール空間 から平面への写像であり、通常は連続曲線を形成するように配置されます。連続ド・ラーム曲線上のすべての点は、単位区間内の実数に対応します。コッホ曲線の場合、雪片の先端は二進有理数 に対応します。つまり、各先端には一意の二進有理数がラベル付けされます。
平面のテッセレーション テセレーション 2 つの異なるサイズのコッホ雪片のコピーを使用して平面をテセレーションする ことは可能です。ただし、1 つのサイズの雪片だけを使用してこのようなテセレーションを行うことはできません。テセレーション内の各コッホ雪片は 2 つの異なるサイズの 7 つの小さな雪片に細分化できるため、一度に 2 つ以上のサイズを使用するテセレーションを見つけることもできます。 [ 11 ]
タートルグラフ とは、オートマトンのプログラムにシーケンスを組み込んだ場合に生成される曲線のことです。プログラムの状態を選択するためにThue–Morseシーケンスの要素を使用する場合：
もしt （ n ） = 0 {\displaystyle t(n)=0} もしt （ n ） = 1 {\displaystyle t(n)=1} π 3 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}} 結果として得られる曲線は、コッホ曲線に収束する。
リンデンマイヤーシステムとしての表現 コッホ曲線は、以下の書き換えシステム （リンデンマイヤーシステム ）で表すことができます。
アルファベット ：F定数 ：+、−公理 ：F生成規則 ：F → F+F--F+Fここで、F は「前進」、- は「右に60度旋回」、+は 「左に60度旋回」を意味します。
コッホ曲線を作成するには、F--F--F（正三角形）を公理として使用します。
コッホ曲線の変種
フォン・コッホの概念に基づき、直角（二次曲線 ）、その他の角度（チェザロ曲線 ）、円や多面体 、そしてそれらをより高次元に拡張したもの（それぞれSphereflakeとKochcube）など、コッホ曲線の様々なバリエーションが設計された。
正方形を用いて同様のフラクタル曲線を生成することができる。単位正方形から始め、各反復で各辺に前の反復の正方形の3分の1の寸法の正方形を追加していくと、周囲の長さと総面積の両方が等比数列によって決定されることが示される。面積の等比数列は収束する。2 {\displaystyle 2} [ 18 ] [ 19 ] π 4 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}
カバーされている総面積n {\displaystyle n} A n = 1 5 + 4 5 ∑ k = 0 n （ 5 9 ） k 贈る リム n → ∞ A n = 2 、 {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}
周囲の長さは、次のとおりです。 P n = 4 （ 5 3 ） n 1 、 {\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,} n {\displaystyle n}
機能化 コッホ関数のグラフ ヘルゲ・フォン・コッホがコッホ曲線を確立した論文では、曲線に加えて、当時幾何学的に表現可能であった、どこでも連続でありながらどこ でも微分不可能な 関数の例として、曲線の変形も示されている。ABで表される基本直線から、各線分に以下を再帰的に適用することでグラフを描くことができる。
線分（XY ）を点 C と点E で区切られた3つの等しい長さの部分に分割します。 線分DM を引きます。ここで、Mは CE の中点であり、DM は AB の始底に垂直で、長さはC E 3 2 {\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}} 線分CD とDE を描き、線分CE とDM を消してください。 AB 上の各点は、単一の高さに収束することが示せる。y = ϕ （ x ） {\displaystyle y=\phi (x)} ϕ （ x ） {\displaystyle \phi (x)} [ 3 ]
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