微分トポロジー

数学 において、微分トポロジーは滑らかな多様体の位相的性質と滑らかな性質^{[ a ]}を扱う分野である。この意味で、微分トポロジーは、サイズ、距離、剛体形状の概念を含む滑らかな多様体の幾何学的性質を扱う、密接に関連する微分幾何学とは区別される。それに比べて、微分トポロジーは、多様体の穴の数、そのホモトピー型、微分同相群の構造など、より粗い性質を扱う。これらの粗い性質の多くは代数的に捉えることができるため、微分トポロジーは代数トポロジーと強い関連性を持っている。^{[ 1 ]}

微分位相幾何学の分野における中心的な目標は、微分同相写像を除いてすべての滑らかな多様体を分類することです。次元は微分同相写像のタイプを除いて滑らかな多様体の不変量であるため、この分類はしばしば、（連結な）多様体を各次元ごとに個別に分類することによって研究されます。

• 次元1では、微分同相写像を除いて滑らかな多様体は円、実数直線、境界を許容する半閉区間のみである。${\displaystyle [0,1)}$完全に閉じた区間${\displaystyle [0,1]}$[ ^{2 ]​}
• 2 次元では、すべての閉曲面は、その種数、穴の数 (または同等にオイラー標数)、および向き付け可能かどうかによって微分同相写像まで分類されます。これが有名な閉曲面の分類です。^{[ 3 ] [ 4 ]} 2 次元では、ヤコブのはしごのようなエキゾチックな空間が存在するため、非コンパクト曲面の分類は既に困難になります。
• 3次元空間において、グリゴリー・ペレルマンによって証明されたウィリアム・サーストンの幾何化予想は、コンパクトな3次元多様体の部分的な分類を与えている。この定理には、任意の閉じた単連結な3次元多様体は3次元球面と同相（実際には微分同相）であるというポアンカレ予想が含まれている。

4次元から、分類は2つの理由から非常に困難になります。^{[ 5 ] [ 6 ]}第一に、すべての有限表示群は、何らかの4次元多様体の基本群として現れ、基本群は微分同相不変量であるため、4次元多様体の分類は、有限表示群の分類と少なくとも同程度に困難になります。群に関する語の問題（停止問題と同等）により、このような群を分類することは不可能であり、したがって完全な位相的分類は不可能です。第二に、4次元から、同相でありながら、異なる非微分同相の滑らかな構造を持つ滑らかな多様体が存在する可能性があります。これは、ユークリッド空間の場合でも同様です。$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$多くのエキゾチックな$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$構造。これは、4 次元以上の微分トポロジーの研究には、位相多様体の通常の連続トポロジーの領域を真に超えたツールを使用する必要があることを意味します。微分トポロジーの中心的な未解決問題の 1 つは、4 次元滑らかなポアンカレ予想です。これは、 4 次元球面と同相なすべての滑らかな 4 次元多様体が、4 次元球面と微分同相でもあるかどうかを問うものです。つまり、4 次元球面は 1 つの滑らかな構造のみを許容するのでしょうか? 上記の分類結果により、この予想は 1、2、3 次元では真ですが、ミルナー球面により 7 次元では偽であることが知られています。

滑らかな多様体の微分位相を研究する上で重要なツールには、ド・ラーム・コホモロジーや交差形式などの滑らかな位相不変量の構成、滑らかな手術理論やコボルディズムの構成などの滑らかな位相構成が含まれます。モース理論は、多様体上の微分可能な関数の臨界点を考察することによって滑らかな多様体を研究する重要なツールであり、多様体の滑らかな構造が利用可能なツールセットにどのように含まれるかを示しています。^{[ 7 ]}多くの場合、滑らかな多様体にリーマン計量を持たせたり、その上で微分方程式を研究したりすることによって、より幾何学的または解析的な手法が使用されることがあります。結果として得られる情報がこの追加構造の選択に影響されないよう注意し、基礎となる滑らかな多様体の位相的性質のみを真に反映するようにする必要があります。例えば、ホッジの定理はド・ラーム・コホモロジーの幾何学的かつ解析的な解釈を与え、ゲージ理論はサイモン・ドナルドソンによって単連結4次元多様体の交差形式に関する事実を証明するために使用されました。^{[ 8 ]}場合によっては、滑らかな空間の位相不変量を計算するために使用できる位相量子場理論などの現代物理学の手法が現れることがあります。

微分位相幾何学における有名な定理には、ホイットニー埋め込み定理、毛玉定理、ホップ定理、ポアンカレ・ホップ定理、ドナルドソン定理、ポアンカレ予想などがある。

微分位相幾何学は、多様体上の滑らかな構造のみで定義される性質と構造を考察します。滑らかな多様体は、微分位相幾何学に存在する特定の種類の同値性や変形を妨げる可能性のある余分な幾何学的構造を持つ多様体よりも「柔らかい」と言えます。例えば、体積とリーマン曲率は、同じ滑らかな多様体上の異なる幾何学的構造を区別できる不変量です。つまり、特定の多様体を滑らかに「平坦化」することは可能ですが、そのためには空間を歪ませたり、曲率や体積に影響を与えたりする必要があるかもしれません。

一方、滑らかな多様体は位相多様体よりも剛性が高い。ジョン・ミルナーは、いくつかの球面が複数の滑らかな構造を持つことを発見した（「エキゾチック球面」および「ドナルドソンの定理」を参照）。 ミシェル・ケルヴェールは、滑らかな構造を全く持たない位相多様体を示した。^{[ 9 ]}接束の存在など、滑らかな多様体理論の構成の一部は、位相設定でより多くの作業を行うことで実現できるが、そうでないものもある。^{[ 10 ]}

微分位相幾何学における主要なテーマの一つは、多様体間の特殊な滑らかな写像、すなわち埋め込みと沈み込み、および横断性による部分多様体の交点の研究である。より一般的には、別の特殊な滑らかな写像である微分同相写像によって引き継がれる滑らかな多様体の性質と不変量に関心がある。モース理論は微分位相幾何学のもう一つの分野であり、関数のヤコビアンのランクの変化から多様体に関する位相情報を導き出す。

微分位相幾何学のトピック一覧については、次の資料を参照してください:微分幾何学のトピック一覧。

微分トポロジーと微分幾何学は、まずその類似性によって特徴づけられる。どちらも主に微分多様体の性質を研究しており、時には様々な構造が多様体に課せられることもある。

大きな違いの一つは、それぞれの分野が取り組む問題の性質にある。ある見方では、^{[ 4 ]}微分位相幾何学は、本質的にグローバルな問題を主に研究することで、微分幾何学と区別される。コーヒーカップとドーナツの例を考えてみよう。微分位相幾何学の観点からすると、ドーナツとコーヒーカップは（ある意味で）同じである。しかし、これは本質的にグローバルな見方である。なぜなら、微分位相幾何学者は、どちらかのごく小さな（局所的な）部分を見ただけで、2つの物体が（この意味で）同じかどうかを判断する方法がないからである。彼らは、それぞれの（グローバルな）物体全体にアクセスする必要がある。

微分幾何学の観点から見ると、コーヒーカップとドーナツは異なる。なぜなら、コーヒーカップを回転させてその形状をドーナツの形状と一致させることは不可能だからである。これは、この問題を包括的に捉える方法でもある。しかし、重要な違いは、幾何学者はこの判断を下すために物体全体を見る必要がないということである。例えば、取っ手のほんの一部を見るだけで、取っ手がドーナツのどの部分よりも細い（あるいは湾曲している）ため、コーヒーカップはドーナツとは異なると判断できるのである。

簡潔に言うと、微分トポロジーは、ある意味では興味深い局所構造を持たない多様体上​​の構造を研究する。一方、微分幾何学は、興味深い局所構造（あるいは場合によっては極めて微小な構造）を持つ多様体上の構造を研究する。

より数学的に言えば、例えば、同じ次元の 2 つの多様体間の微分同相写像を構成する問題は、局所的にそのような 2 つの多様体は常に微分同相であるため、本質的にグローバルです。同様に、微分可能な写像の下で不変な多様体上の量を計算する問題は、局所的な不変量は、その位相において既に示されているという意味で自明であるため、本質的にグローバルです。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$さらに、微分位相学は必ずしも微分同相写像の研究に限定されるわけではありません。例えば、微分位相学のサブ分野であるシンプレクティック位相学は、シンプレクティック多様体の大域的性質を研究します。微分幾何学は、常に何らかの非自明な局所的性質を持つ問題（局所的または大域的である可能性があります）を扱います。したがって、微分幾何学は、接続、計量（リーマン計量、擬リーマン計量、またはフィンスラー計量）、特殊な分布（ CR構造など）などを備えた微分可能多様体を研究することができます。

しかし、微分幾何学と微分位相幾何学のこの区別は、点における接空間のような局所微分同相不変量に特に関連する問題においては曖昧になる。微分位相幾何学もまた、このような問題を扱い、特に微分可能な写像の性質に関係する。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（例えば、接束、ジェット束、ホイットニー拡張定理など）。

その区別は、抽象的な言葉で簡潔に述べると以下のようになる。

• 微分トポロジーとは、自明な局所モジュライのみを持つ多様体上の構造の（微小、局所、および大域的な）性質を研究する学問である。
• 微分幾何学は、一つ以上の非自明な局所モジュライを持つ多様体上の構造を研究する学問である。

• 微分幾何学のトピック一覧
• 微分幾何学と位相幾何学の用語集
• 微分幾何学における重要な出版物
• 微分トポロジーにおける重要な出版物
• 曲がった時空の数学の基礎入門

• ブロッホ、イーサン・D. (1996).幾何トポロジーと微分幾何学入門. ボストン：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-3840-5。
• ハーシュ、モリス（1997）。微分トポロジー。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90148-0。
• Lashof, Richard (1972年12月). 「位相多様体の接束」. American Mathematical Monthly . 79 (10): 1090–1096 . doi : 10.2307/2317423 . JSTOR 2317423 . 
• ミッシェル・A・ケルヴェール（1960年12月）。 「微分可能な構造を認めない多様体」。数学ヘルヴェティチの解説。34 (1): 257–270。土井: 10.1007/BF02565940。

• 「微分位相」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]