サッケリ四辺形

サッケリ四辺形は、底辺に対して垂直な2つの等しい辺を持つ四辺形である。ジョヴァンニ・ジェロラモ・サッケリにちなんで名付けられた。彼は1733年に著書『あらゆる欠陥から解放されたユークリッド』でこの四辺形を多用した。この本は、背理法を用いて平行線公理を証明しようとした試みである。このような四辺形は、 11世紀の著書『ユークリッドの公理の難点の説明』でこの四辺形について説明したペルシャの学者オマール・ハイヤームにちなんで、ハイヤーム・サッケリ四辺形と呼ばれることもある。^[1]

サッケリ四辺形の場合、脚との長さは等しく、それぞれが底辺に対して垂直です。上端は頂点と呼ばれ、およびの角度は頂点角と呼ばれます。 ${\displaystyle ABCD,}$ ${\displaystyle AD}$${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AB.}$${\displaystyle CD}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

平行公準を考慮するときにサッケリ四辺形を使用する利点は、頂点の角度が直角か、鈍角か、鋭角かという 3 つの相互に排他的なオプションを明確に提示することです。

サッケリ自身は非ユークリッド幾何学の可能性を考慮せず、鈍角と鋭角の両方の場合がユークリッドの他の公理と矛盾することを示すことができると信じていた。彼は鈍角の場合が矛盾していることを示したが、鋭角の場合を適切に扱うことができなかった。^[2]

任意の底辺と辺の頂点が直角であるサッケリ四辺形の存在は平行線公準と同等であり、ユークリッド幾何学につながる。平行線公準の否定から生じる双曲幾何学では、頂点の角は常に鋭角である。楕円幾何学や球面幾何学（ユークリッドの他の公準にいくつかの修正が必要）では、^[3]頂点の角は常に鈍角である。

四辺形はサッケリにちなんで名づけられたが、それ以前の数学者の著作でも考えられていた。サッケリの最初の命題は、2本の等しい直線がその直線と等しい角度を形成する場合、任意の角度が互いに等しいというものである。この命題のバージョンは、9世紀の学者タビト・イブン・クルラの著作に登場している。^{[4] 14世紀に}カスティーリャで書かれた論文であるブルゴスのアブネルの「セフェル・メヤシェル・アコフ（曲線の矯正）」は、タビト・イブン・クルラの著作を基にしており、サッケリの四辺形の説明も含まれている。^[5]${\displaystyle AC}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle AB,}$${\displaystyle CD}$

ウマル・ハイヤーム（1048-1131）は、11世紀後半に『ユークリッドの公準の難点の説明』第1巻でそれらを説明しました。^{[1]彼の前後のユークリッドの多くの注釈者（サッケリを含む）とは異なり、ハイヤームは平行公準を排除しようとしたのではなく、「哲学者の原理」（}アリストテレス）から定式化した同等の公準で置き換えようとしました。

2本の収束直線は交差し、2本の収束直線が収束する方向に発散することは不可能である。^[6]

その後、カイヤームは、サッケリ四辺形の頂点の角が取り得る直角、鈍角、鋭角の 3 つのケースを検討し、それらに関するいくつかの定理を証明した後、自身の公理に基づいて鈍角と鋭角のケースを (正しく) 反駁し、ユークリッドの古典的な公理を導き出しました。

17 世紀イタリアの数学者ジョルダーノ・ヴィターレは、著書『ユークリッドの復元』 （1680 年、1686 年）の中で四辺形を用いて、3 つの点が底辺と頂点で等距離にある場合、 と はどこでも等距離にあることを証明しました。 ${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD,}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD}$

サッケリ自身は、平行線公理の長くて最終的には欠陥のある証明全体を四辺形とその 3 つのケースに基づいて行い、その過程でその特性に関する多くの定理を証明しました。

が底辺、頂点、辺を持つサッケリ四辺形であるとする。双曲幾何学におけるサッケリ四辺形には、以下の性質が成り立つ。^[7]${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle AB,}$${\displaystyle CD,}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle DB.}$

• 頂上の角度は等しく鋭角です。${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$
• 頂上は基部よりも長いです。
• 2 つの Saccheri 四辺形は次の場合に合同です。
  • 底辺と頂角は一致する
  • 頂上セグメントと頂上角度は一致しています。
• 底辺の中点と山頂の中点を結ぶ線分:
  • 基底と頂上に垂直であり、
  • 四辺形の唯一の対称線である。
  • 麓と山頂を結ぶ最短区間である。
  • 辺の中点を結ぶ線に垂直であり、
  • サッケリ四辺形を2つのランバート四辺形に分割します。
• 辺の中点を結ぶ線分は、どちらの辺に対しても垂直ではありません。

定曲 率双曲面において、サッケリ四辺形の頂点は、次の式を用いて、辺と底辺から計算できる^{[8] [9]。}${\displaystyle -1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle l}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh s&=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l\\[5mu]\sinh {\tfrac {1}{2}}s&=\cosh l\,\sinh {\tfrac {1}{2}}b\end{aligned}}}$

証明は「Wilson Stothers' Cabri Pages」にあります。

双曲面のポアンカレ円板モデルのタイリングには、サッケリ四辺形を基本領域として持つものがあります。2 つの直角の他に、これらの四辺形は鋭角の頂点角を持ちます。タイリングは*nn22対称性 (オービフォールド記法)を示し、次のものが含まれます。

• ランバート四辺形

• コクセター、HSM（1998）、非ユークリッド幾何学（第6版）、ワシントンDC：アメリカ数学協会、ISBN 0-88385-522-4
• フェイバー、リチャード L. (1983)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎、ニューヨーク: マルセル デッカー、ISBN 0-8247-1748-1
• MJ グリーンバーグ、 『ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：発展と歴史』第 4 版、WH フリーマン、2008 年。
• ジョージ・E・マーティン『幾何学と非ユークリッド平面の基礎』シュプリンガー・フェアラーク、1975年