微分可能多様体

数学において、微分可能多様体（または微分多様体）は、局所的にはベクトル空間と十分類似しており、微積分を適用できる多様体の一種である。任意の多様体は、図表（アトラス）の集合によって記述することができる。各図表は、微積分の通常の規則が適用されるベクトル空間内にあるため、個々の図表内で作業しながら微積分のアイデアを適用することができる。図表が適切に互換性がある場合（つまり、ある図表から別の図表への移行が微分可能である場合）、1 つの図表で行われた計算は、他の任意の微分可能図表でも有効である。

形式的には、微分可能多様体とは、大域的に定義された微分構造を持つ位相多様体です。任意の位相多様体は、そのアトラスの同相写像とベクトル空間上の標準微分構造を使用して、局所的に微分構造を与えることができます。同相写像によって誘導される局所座標系上に大域微分構造を誘導するには、アトラスのチャート交点におけるそれらの合成が、対応するベクトル空間上の微分可能関数でなければなりません。言い換えれば、チャートのドメインが重なり合う場合、各チャートによって定義される座標は、アトラス内のすべてのチャートによって定義される座標に関して微分可能である必要があります。さまざまなチャートによって定義された座標を相互に関連付けるマップは、遷移マップと呼ばれます。

このような局所微分構造を抽象空間上で定義する能力により、微分可能性の定義をグローバル座標系のない空間に拡張することができます。局所微分構造により、グローバルに微分可能な接線空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場とベクトル場を定義できます。

微分可能多様体は物理学において非常に重要です。特殊な種類の微分可能多様体は、古典力学、一般相対性理論、ヤン・ミルズ理論などの物理理論の基礎を形成します。微分可能多様体に対する微積分を展開することは可能です。これは、外積分などの数学的仕組みにつながります。微分可能多様体に関する微積分の研究は、微分幾何学として知られています。

多様体の「微分可能性」には、連続的に微分可能、k回微分可能、滑らか（それ自体に多くの意味がある）、解析的など、いくつかの意味が与えられています。

微分幾何学が独自の学問として出現したのは、カール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンによるものと一般に考えられている。リーマンはゲッティンゲンの教授陣を前にした有名な学位授与式で、多様体について初めて説明した。^[1]彼は、与えられた物体を新しい方向に変化させるという直感的なプロセスから多様体という概念を導き出し、その後の形式的発展における座標系とチャートの役割を先見の明をもって説明した。

n次元多様体の概念を構築し、その真の性質は、その中の位置の決定がn回の大きさの決定に還元されるという性質にあることを発見した。… – B. リーマン

ジェームズ・クラーク・マクスウェル^[2]や数学者のグレゴリオ・リッチ＝クルバストロ、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタ^[3]などの物理学者の研究は、テンソル解析と共変性の概念の発展につながった。共変性とは、座標変換に対して不変である本質的な幾何学的特性を特定するものである。これらのアイデアは、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論とその基礎となる同値原理に重要な応用が見出された。2次元多様体の現代的な定義は、ヘルマン・ワイルが1913年にリーマン面に関する著書で与えたものである^[4]。アトラスによる多様体の一般的な定義として広く受け入れられているのは、ハスラー・ホイットニーによるものである^[5]。

M を位相空間とする。M上のチャート ( U , φ )は、 Mの開集合Uと、Uからあるユークリッド空間R ⁿの開集合への同相写像φから構成される。やや非公式には、チャートφ  : U → R ⁿと呼ばれることがある。これは、 φの像がR ⁿの開集合であり、φ がその像への同相写像であることを意味する。一部の著者の用法では、これはφ :  U → R n^自体が同相写像であることを意味する場合がある。

チャートが存在するということは、M上で微分積分を行うことができる可能性を示唆しています。たとえば、関数u  : M → RとM上のチャート( U、φ )が与えられている場合、その定義域がユークリッド空間の開集合である実数値関数である合成u ∘ φ ⁻¹を検討することができます。したがって、それが微分可能であれば、その偏導関数を検討することができます。

この状況は、以下の理由により完全に満足できるものではありません。M上の2番目のチャート( V、ψ )を考え、UとVに共通点がいくつかあるとします。2つの対応する関数u ∘ φ ⁻¹とu ∘ ψ ⁻¹は、互いに再パラメータ化できるという意味でリンクされています。 つまり、 右辺の自然な定義域はφ ( U ∩ V )です。φとψ は同相写像なので、ψ ∘ φ ⁻¹はφ ( U ∩ V )からψ ( U ∩ V )への同相写像になります。その結果、それは単なる双連続関数となり、関数u ∘ φ ⁻¹とu ∘ ψ ⁻¹の両方が微分可能であっても、それらの微分特性は必ずしも互いに強く結びついているわけではありません。これは、 ψ ∘ φ ^{−1 が、}連鎖律を右辺に適用して左辺の偏微分を計算できるほど十分に微分可能であるとは限らないためです。代わりに関数c  : R → Mを考えると、同じ問題が見つかります。その時点で、前と同じ観察を行うことができる再パラメータ化式に導かれます 。 $${\displaystyle u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},}$$$${\displaystyle \varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},}$$

これは、遷移マップψ ∘ φ ⁻¹がすべて微分可能であるM上のチャートのコレクションを指定する、チャートの「微分可能アトラス」の導入によって解決されます。これにより、状況が非常に明確になります。u ∘ φ ⁻¹が微分可能であれば、上記の最初の再パラメータ化式により、マップu ∘ ψ ⁻¹は領域ψ ( U ∩ V )上でも微分可能であり、その逆も同様です。さらに、これら 2 つのマップの導関数は、連鎖律によって互いにリンクされています。与えられたアトラスに関連して、これにより、ドメインまたは値域がMである微分可能マッピングの概念と、そのようなマップの導関数の概念が容易になります。

正式には、「微分可能」という言葉は、著者によって意味が異なり、多少曖昧です。時には、1 次導関数の存在を意味し、時には、連続した 1 次導関数の存在を意味し、時には、無限に多くの導関数の存在を意味します。以下は、「微分可能アトラス」のさまざまな (曖昧でない) 意味の正式な定義です。一般に、「微分可能」は、k ≥ 1の場合、これらすべての可能性を含む包括的な用語として使用されます。

すべての実解析写像は滑らかであり、すべての滑らかな写像は任意のkに対してC ^kであるため、任意の解析アトラスは滑らかなアトラスとして見ることができ、すべての滑らかなアトラスはC ^kアトラスとして見ることができることがわかります。この連鎖は、 C ⁿの開集合間の任意の正則写像がR ^{2 n}の開集合間の実解析写像として見ることができるという理解のもと、正則アトラスを含むように拡張できます。

位相空間上の微分可能アトラスが与えられたとき、チャートを、与えられた微分可能アトラスを構成するチャートのコレクションに含めると微分可能アトラスになる場合、チャートはアトラスと微分互換である、または与えられたアトラスに対して微分可能であると言われます。微分可能アトラスは、与えられたアトラスと微分互換であるすべてのチャートで構成される最大微分可能アトラスを決定します。最大アトラスは常に非常に大きくなります。たとえば、最大アトラス内の任意のチャートが与えられた場合、そのドメインの任意の開部分集合への制限も最大アトラスに含まれます。最大滑らかなアトラスは滑らかな構造とも呼ばれ、最大正則アトラスは複雑な構造とも呼ばれます。

最大アトラスの直接使用を避けた、代替だが同等の定義は、微分可能アトラスの同値類を考慮することです。この同値類では、1 つのアトラスのすべてのチャートが他のアトラスと微分互換である場合、2 つの微分可能アトラスは同等であると見なされます。非公式に言えば、これが意味するのは、滑らかな多様体を扱う際に、他の多くのチャートと微分可能アトラスが同様に正当であるという暗黙の理解のもと、わずか数個のチャートで構成される単一の微分可能アトラスを扱えるということです。

ドメインの不変性によれば、微分可能なアトラスを持つ位相空間の各連結成分は、明確に定義された次元n を持ちます。これにより、正則アトラスの場合には、対応する次元が解析的、滑らかな、またはC ^kアトラスとして考えられたときの次元の値の半分になるため、若干の曖昧さが生じます。このため、正則アトラスを持つ位相空間の「実」次元と「複素」次元を別々に参照します。

微分可能多様体は、ハウスドルフと第 2 可算位相空間Mと、 M上の最大微分可能アトラスです。ハウスドルフと第 2 可算条件は高度な理論の多くにとって不可欠ですが、基本理論の多くは、ハウスドルフと第 2 可算条件を必要とせずに展開できます。これらは、広く使用されている バンプ関数と1 の分割の一般的な存在と本質的に同等です。

C ⁰多様体の概念は、位相多様体の概念と同一です。しかし、注目すべき違いがあります。位相空間が与えられた場合、それが位相多様体であるかどうかを問うことは意味があります。対照的に、与えられた位相空間が（たとえば）滑らかな多様体であるかどうかを問うことは意味がありません。滑らかな多様体の概念は、追加の構造である滑らかなアトラスの指定を必要とするためです。ただし、特定の位相空間に滑らかな多様体の構造を与えることはできないと言うことは意味があるかもしれません。この種の不均衡が存在しないように定義を再定式化することは可能です。つまり、 （位相空間Mではなく）集合Mから始めて、この設定での滑らかなアトラスの自然な類似物を使用して、 M上の位相空間の構造を定義することができます。

上記の定義をリバース エンジニアリングすると、多様体の構築に関する 1 つの視点を得ることができます。アイデアは、チャートと遷移マップの画像から始めて、このデータのみから多様体を構築することです。上記の説明と同様に、「スムーズ」なコンテキストを使用しますが、他の設定でもすべて同じように機能します。

インデックス セットが与えられた場合、を の開部分集合のコレクションとし、各 に対して を の開（空の可能性もある）部分集合とし、を滑らかな写像とします。 を恒等写像、 を恒等写像、 を恒等写像とします。次に、 を と同値であると宣言することにより、分離和の同値関係を定義します。多少の技術的な作業により、同値類の集合に自然に位相構造を与えることができ、その際に使用するチャートが滑らかなアトラスを形成することが示されます。解析構造（部分集合）をつなぎ合わせる方法については、解析多様体を参照してください。 ${\displaystyle A,}$${\displaystyle V_{\alpha}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$${\displaystyle V_{\alpha \beta}}$${\displaystyle V_{\beta}}$${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }}$${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }}$${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \alpha }}$${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \gamma }\circ \phi _{\gamma \alpha }}$${\textstyle \bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}$${\displaystyle p\in V_{\alpha \beta}}$${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}$

n次元微分可能多様体M上の実数値関数f は、 pの周囲に定義された任意の座標チャートにおいて微分可能であるとき、点p ∈ Mにおいて微分可能であるといいます。より正確には、が微分可能チャートであり、 がp を含むの開集合であり、がチャートを定義する写像である場合、f がpで微分可能であるのは が で微分可能である場合、つまりが のサブセットとして考えられた開集合 から への微分可能関数である場合に限ります。一般に、使用可能なチャートは多数ありますが、微分可能性の定義はpにおけるチャートの選択には依存しません。1つのチャートから別のチャートへの遷移関数に適用される連鎖律から、 fがp の任意の特定のチャートにおいて微分可能である場合、それはpのすべてのチャートにおいて微分可能であることがわかります。同様の考慮事項がC ^k関数、滑らかな関数、および解析関数 の定義にも適用されます。${\displaystyle (U,\phi )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi :U\to {\mathbf {R} }^{n}}$ $${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }}$$${\displaystyle \phi (p)}$${\displaystyle f\circ\phi^{-1}}$${\displaystyle \phi (U)}$${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

微分可能多様体上の関数の微分を定義する方法はいくつかありますが、最も基本的な方法は方向微分です。方向微分の定義は、多様体にはベクトルを定義するのに適したアフィン構造がないため複雑です。したがって、方向微分はベクトルではなく多様体内の曲線に注目します。

n次元微分可能多様体M上の実数値関数fが与えられたとき、 M内の点pにおけるfの方向微分は次のように定義される。γ( t ) がM内の曲線でγ (0) = pであり、任意のチャートとの合成がR ⁿ内の微分可能曲線であるという意味において微分可能であると仮定する。この場合、γ に沿った pにおけるfの方向微分は次のように定義される。

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$$

γ ₁とγ _{2 が}γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = pとなる2つの曲線であり、任意の座標チャートにおいて、 ${\displaystyle \phi}$

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$$

すると、連鎖律により、f はγ ₁に沿ったpでの方向微分とγ ₂に沿った方向微分が同じになります。つまり、方向微分はpでの曲線の接線ベクトルにのみ依存します。したがって、微分可能多様体の場合に適応した方向微分のより抽象的な定義は、最終的にはアフィン空間における方向微分の直感的な特徴を捉えます。

p ∈ Mにおける接ベクトルは、曲線間の 第 1 次接触の同値関係を法として、 γ (0) = pを満たす微分可能曲線γの同値類である。したがって、

$${\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$$

すべての座標チャートにおいて です。したがって、同値類はp を通る曲線で、 pで速度ベクトルが指定されています。 pでのすべての接ベクトルの集合はベクトル空間、つまりpでのMへの接空間を形成し、T _p Mと表記されます。 ${\displaystyle \phi}$

X がpにおける接ベクトルであり、f がp の近くで定義される微分可能関数である場合、X を定義する同値類内の任意の曲線に沿ってf を微分すると、 Xに沿った明確な方向微分が得られます。 ここでも、連鎖律により、これは同値類から γ を選択する自由とは無関係であることが証明されます。これは、同じ一次接触を持つ任意の曲線が同じ方向微分を生成するためです。 $${\displaystyle Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$$

関数fが固定されている場合、マッピングは 接空間上の線型関数 です。この線型関数はdf ( p ) と表記されることが多く、 pにおけるfの微分と呼ばれます。 $${\displaystyle X\mapsto Xf(p)}$$$${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.}$$

を滑らかなアトラスを持つ位相的-多様体とする。を と表記する。「 における接線ベクトル」は、 すべての に対してとなる 写像である。における接線ベクトルの集合を と表記する。滑らかな関数 が与えられたとき、を で与えられる数に 接線ベクトルを送ることによってを定義する。これは 、連鎖律と接線ベクトルの定義における制約により、 の選択に依存しない。${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle \{\alpha \in A:p\in U_{\alpha }\}.}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \alpha \mapsto v_{\alpha },}$$${\displaystyle v_{\alpha }=D{\Big |}_{\phi _{\beta }(p)}(\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1})(v_{\beta })}$$${\displaystyle \alpha ,\beta \in A_{p}.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{p}M.}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle df_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle D{\Big |}_{\phi _{\alpha }(p)}(f\circ \phi _{\alpha }^{-1})(v_{\alpha }),}$$${\displaystyle \alpha \in A_{p}.}$

は自然に次元実ベクトル空間の構造を持ち、この構造により は線型写像であることが確認できる。重要な観察点は、接ベクトルの定義に現れる制約により、の単一要素に対するの値は、すべての に対して自動的に決定されるということである。${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle df_{p}}$${\displaystyle v_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle v_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in A.}$

上記の正式な定義は、教科書によく見られるより非公式な表記法と正確に一致しており、具体的には

${\displaystyle v^{i}={\widetilde {v}}^{j}{\frac {\partial x^{i}}{\partial {\widetilde {x}}^{j}}}}$そして${\displaystyle df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}v^{i}.}$

正式な定義の考え方が理解されていれば、この省略表記法は、ほとんどの目的において、はるかに扱いやすくなります。

微分可能多様体上の微分可能関数の層の位相的特徴の 1 つは、単位分割が許容されることです。これは、多様体上の微分構造を、一般に単位分割を持たないより強い構造 (解析的構造や正則構造など) と区別するものです。

M がクラスC ^kの多様体（0 ≤ k ≤ ∞）であるとします。 { U _α } をMの開被覆とします。すると、被覆 { U _α } に従属する1 の分割は、次の条件を満たす M上の実数値C ^k関数φ _{iの集合になります。}

• φ _iのサポートはコンパクトかつ局所的に有限である。
• φ _iのサポートは、あるαに対してU _αに完全に含まれる。
• φ _{i は}Mの各点で1になります。$${\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.}$$

（この最後の条件は、 φ _iのサポートの局所的な有限性のため、実際には各点で有限の合計になることに注意してください。）

C ^k多様体Mのすべての開被覆には、C ^k単位分割があります。これにより、 R ⁿ上のC ^k関数の位相からの特定の構成を、微分可能多様体のカテゴリに持ち込むことができます。特に、特定の座標アトラスに従属する単位分割を選択し、 R n の各チャートで積分を実行することで、積分について議論することができます。^{したがって}、単位分割により、 L ^p空間、ソボレフ空間、および積分を必要とする他の種類の空間など、他の種類の関数空間を考慮することができます。

MとN がそれぞれ次元mとn を持つ 2 つの微分可能多様体で、f がMからNへの関数であるとします。微分可能多様体は位相空間なので、f が連続であるとはどういうことかはわかっています。しかし、k ≥ 1の場合、「 fはC ^k ( M、N )である」とはどういう意味でしょうか。fがユークリッド空間間の関数である場合はそれが何を意味するかがわかっているので、f をMのチャートとNのチャートと合成して、ユークリッド空間からMへ、そしてNからユークリッド空間へと写像する場合、その写像がC ^k ( R ^m、R ⁿ )であるとはどういうことかがわかります。「fはC ^k ( M、N )である」とは、チャートとfのすべてのそのような合成がC ^k ( R ^m、R ⁿ )であることを意味すると定義します。もう一度言いますが、連鎖律によって、微分可能性の考え方は、 MとNのアトラスのどのチャートが選択されるかに依存しないことが保証されます。しかし、導関数自体の定義はより微妙です。Mまたは N自体がすでにユークリッド空間である場合、それをユークリッド空間にマッピングするためのチャートは必要ありません。

点の接空間は、その点における可能な方向微分から構成され、多様体と同じ次元 nを持ちます。点に局所的な (非特異) 座標x _kの集合に対して、座標微分は接空間のホロノミック基底を定義します。すべての点における接空間の集合は、次元が 2 nである多様体、つまり接束にすることができます。接束は接ベクトルが存在する場所であり、それ自体が微分可能な多様体です。ラグランジアンはその接束上の関数です。また、接束をR (実数直線)からMへの1ジェットの束として定義することもできます。 ${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$

U _α × R ⁿに基づくチャートから成る接線バンドルのアトラスを構築することができます。ここで、U _{α は}Mのアトラス内のチャートの 1 つを表します。これらの新しいチャートのそれぞれは、チャートU _αの接線バンドルです。このアトラスの遷移マップは、元の多様体の遷移マップから定義され、元の微分可能クラスを保持します。

ベクトル空間の双対空間は、ベクトル空間上の実数値線形関数の集合です。ある点における余接空間は、その点における接空間の双対であり、その要素は余接ベクトルと呼ばれます。余接束は、すべての余接ベクトルの集合であり、自然な微分可能多様体構造を伴います。

接線束と同様に、余接束も微分可能多様体です。ハミルトニアンは余接束上のスカラーです。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持ちます。余接ベクトルはコベクトルと呼ばれることもあります。余接束をMからRへの関数の1ジェットの束として定義することもできます。

余接空間の要素は、無限小変位と考えることができる。すなわち、 f が微分可能な関数である場合、各点pにおいて余接ベクトルdf _pを定義することができ、これは接ベクトルX _{p を}X _pに関連付けられたfの導関数に送る。しかし、すべての余接ベクトル場がこのように表現できるわけではない。このように表現できるものは、厳密な微分と呼ばれる。与えられた局所座標x ^kの集合に対して、微分dx^k
_ppにおける余接空間の基底を形成します。

テンソル束は、接線束と余接束のすべてのテンソル積の直和です。束の各要素はテンソル場であり、ベクトル場または他のテンソル場に対して 多重線型演算子として機能します。

テンソル束は無限次元であるため、従来の意味での微分可能多様体ではありません。ただし、テンソル束はスカラー関数の環上の代数です。各テンソルはランクによって特徴付けられ、ランクはテンソルが持つ接線因子と余接因子の数を示します。これらのランクは、それぞれ接線と余接のランクを意味する共変ランクと反変ランクと呼ばれることもあります。

フレーム（または、より正確には接フレーム）は、特定の接空間の順序付けられた基底です。同様に、接フレームは、この接空間に対するR ⁿの線型同型です。移動接フレームは、その定義域のすべての点で基底を与えるベクトル場の順序付けられたリストです。移動フレームは、 M 上のすべてのフレームの集合で構成されるGL( n , R )主バンドルであるフレームバンドル F( M )のセクションと見なすこともできます。フレームバンドルが便利なのは、M上のテンソル場が F( M ) 上の同変ベクトル値関数と見なせるためです。

十分に滑らかな多様体では、さまざまな種類のジェットバンドルも考えられます。多様体の (1 次) 接バンドルは、1 次接触の同値関係を法とする多様体内の曲線のコレクションです。同様に、k次接バンドルは、k次接触の関係を法とする曲線のコレクションです。同様に、余接バンドルは、多様体上の関数の 1 ジェットのバンドルです。kジェットバンドルは、それらのkジェットのバンドルです。ジェットバンドルの一般的なアイデアのこれらの例やその他の例は、多様体上の微分演算子の研究で重要な役割を果たします。

フレームの概念は、高次のジェットの場合にも一般化されます。k次のフレームを、 R ⁿからMへの微分同相写像のkジェットとして定義します。^[6]すべてのk次のフレームのコレクションF ^k ( M ) は、M上の主G ^kバンドルです。ここで、 G ^kはkジェットのグループ、つまり、原点を固定したR ⁿの微分同相写像のkジェットで構成されるグループです。 GL( n、R )は、自然にG ¹と同型であり、k ≥ 2のすべてのG ^kの部分群であることに注意してください。特に、F ² ( M ) の切断は、 M上の接続のフレーム成分を与えます。したがって、商バンドルF ² ( M ) / GL( n、R )は、 M上の対称線型接続のバンドルです。

多変数微分積分の手法の多くは、必要な変更を加えることで、微分可能多様体にも適用できます。たとえば、微分可能関数の方向微分を多様体の接線ベクトルに沿って定義することができ、これにより、関数の全微分を一般化する手段である微分が得られます。微積分の観点からは、多様体上の関数の微分は、少なくとも局所的には、ユークリッド空間上で定義された関数の通常の微分とほぼ同じように動作します。たとえば、このような関数には、暗黙関数定理と逆関数定理のバージョンがあります。

しかし、ベクトル場（および一般的なテンソル場）の計算には重要な違いがあります。簡単に言うと、ベクトル場の方向微分は明確に定義されていないか、少なくとも直接的な方法では定義されていません。ベクトル場（またはテンソル場）の微分の一般化はいくつか存在し、ユークリッド空間における微分の特定の形式的特徴を捉えています。その主なものは次のとおりです。

• リー微分は微分構造によって一意に定義されますが、方向微分の通常の特徴のいくつかを満たしていません。
• アフィン接続は一意に定義されていませんが、通常の方向微分の特徴をより完全に一般化します。アフィン接続は一意ではないため、多様体上で指定する必要がある追加のデータです。

積分学の考え方は微分多様体にも引き継がれます。これらは外微分学と微分形式の言語で自然に表現されます。多変数の積分学の基本定理、すなわちグリーンの定理、発散定理、およびストークスの定理は、外微分と部分多様体上の積分を関連付ける定理（ストークスの定理とも呼ばれる）に一般化されます。

2 つの多様体間の微分可能関数は、部分多様体やその他の関連概念の適切な概念を定式化するために必要です。f  : M → Nが、次元mの微分可能多様体Mから次元nの別の微分可能多様体Nへの微分可能関数である場合、fの微分は写像df  : T M → T Nです。これはTfとも表記され、接写像とも呼ばれます。 Mの各点において、これは 1 つの接空間から別の接空間への線型変換です。 pにおけるfの 階数は、この線型変換の階数です。 $${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}$$

通常、関数のランクは点ごとの特性です。ただし、関数が最大ランクを持つ場合、ランクは点の近傍で一定のままになります。微分可能な関数は「通常」、サード定理によって与えられる正確な意味で最大ランクを持ちます。点における最大ランクの関数は、浸漬および沈降と呼ばれます。

• m ≤ nで、p ∈ Mにおいてf  : M → Nがランクm を持つ場合、f はpにおけるはめ込みと呼ばれます。f がMのすべての点ではめ込みであり、その像への同相写像である場合、 fは埋め込みです。埋め込みは、 MがNの部分多様体であるという概念を形式化します。一般に、埋め込みは、自己交差やその他の種類の非局所的な位相的不規則性のないはめ込みです。
• m ≥ nで、p ∈ Mにおいてf  : M → Nがn階を持つ場合、f はpにおける沈み込みと呼ばれます。 暗黙の関数定理は、f がpにおける沈み込みである場合、M は局所的にp の近くでNとR ^{m − n}の積になることを述べています。 形式的には、 Nにおけるf ( p )の近傍に座標( y ₁ , ..., y _n )が存在し、Mにおけるpの近傍で定義されたm − n関数x ₁ , ..., x _{m − n}が存在し、これはpの近傍におけるMの局所座標系です。 沈み込みは、ファイブレーションとファイバーバンドルの理論の基礎を形成します。$${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}$$

リー微分は、ソフス・リーにちなんで名付けられ、多様体M 上のテンソル体の代数上の微分である。M上のすべてのリー微分のベクトル空間は、次式で定義される リー括弧に関して無限次元リー代数を形成する。

$${\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}$$

リー微分は、 M上のフロー（能動微分同相写像）の無限小生成元としてベクトル場によって表されます。逆に考えると、Mの微分同相写像の群は、リー群理論に直接類似した方法で、リー微分の関連するリー代数構造を持ちます。

外部計算により、勾配、発散、回転演算子の一般化が可能になります。

各点における微分形式の束は、その点における接空間上のすべての完全に反対称な 多重線型写像から構成されます。これは、多様体の次元に等しい各nに対して、自然にn形式に分割されます。n 形式はn変数形式であり、次数nの形式とも呼ばれます。1 形式はコタンジェント ベクトルであり、0 形式は単なるスカラー関数です。一般に、n形式はコタンジェント ランクがnで、接線ランクが 0 のテンソルです。ただし、このようなテンソルのすべてが形式であるわけではなく、形式は反対称である必要があります。

外微分は、滑らかな多様体 上のすべての滑らかな微分形式の次数付きベクトル空間上の線型作用素です。これは通常 と表記されます。より正確には、 に対して であれば、作用素は上の -形式の空間を-形式の空間に写像します(上に非ゼロの -形式が存在しない場合は、写像は-形式上で恒等的にゼロになります)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n=\dim(M)}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{k+1}(M)}$${\displaystyle (k+1)}$${\displaystyle k>n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

たとえば、滑らかな関数の外微分は、関連する局所コフレームとともに、次の式で局所座標で与えられます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$$${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}$$

外微分は、形式のくさび積に関する 積の規則と同様に、次の恒等式を満たします。$${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge d\eta .}$$

外微分は恒等式 も満たします。つまり、 が-形式であれば、 -形式は恒等的に消滅します。となる形式は閉じていると呼ばれ、他の形式に対してとなる形式は正確な と呼ばれます。 恒等式の別の定式化では、正確な形式は閉じています。これにより、多様体 のde Rham コホモロジーを定義できます。ここで、番目のコホモロジー群は、上の閉じた形式を上の正確な形式で割った商群です。 ${\displaystyle d\circ d=0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k+2)}$${\displaystyle d(df)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =d\eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle d\circ d=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

が位相的 -多様体であると仮定します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$

任意の滑らかなアトラス が与えられた場合、 上の異なる滑らかな多様体構造を定義する滑らかなアトラスを簡単に見つけることができます。 与えられたアトラスに対して滑らかではない同相写像を考えてみましょう。たとえば、恒等写像の局所的な滑らかでない隆起を修正することができます。 次に、滑らかなアトラスとして簡単に検証できる新しいアトラス を考えてみましょう。 ただし、新しいアトラスのチャートは、古いアトラスのチャートと滑らかに互換性がありません。これは、任意の および に対して および が滑らかであることが必要であり、これらの条件は、と が両方とも滑らかであるという定義とまったく同じであるため、の選択 方法と矛盾しているからです。${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle M;}$${\displaystyle \Phi :M\to M}$${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},}$${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi \circ \phi _{\beta }^{-1}}$${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \phi _{\beta }^{-1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{-1}}$${\displaystyle \Phi }$

この観察を動機として、 が と滑らかに互換であり、が と滑らかに互換であるような同相写像が存在する場合、と は同値であると宣言することにより、 上の滑らかなアトラスの空間上の同値関係を定義することができる。${\displaystyle M}$${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}$${\displaystyle \Phi :M\to M}$${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},}$${\displaystyle \{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}}$${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$

もっと簡単に言えば、 1 つの滑らかなアトラスが定義域に取られ、もう 1 つの滑らかなアトラスが値域に取られる微分同相写像が存在する場合、2 つの滑らかなアトラスは同等であると言えます。 ${\displaystyle M\to M,}$

この同値関係は、滑らかな多様体構造を定義する同値関係の改良版であることに注意してください。滑らかな互換性のある任意の 2 つのアトラスは、現在の意味でも互換性があるため、恒等写像として捉えることができます。 ${\displaystyle \Phi }$

の次元が 1、2、または 3 の場合、 上に滑らかな構造が存在し、すべての異なる滑らかな構造は上記の意味で同等です。高次元では状況はより複雑になりますが、完全には理解されていません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

• いくつかの位相多様体は滑らかな構造を許さない。これはもともとKervaire (1960) による10 次元の例で示された。Simon Donaldsonによる微分幾何学における偏微分方程式の主要な応用は、 Michael Freedmanの結果と組み合わされ、多くの単連結コンパクト位相 4 次元多様体は滑らかな構造を許さないことを示している。よく知られている特定の例はE ₈多様体である。
• いくつかの位相多様体は、上記の意味では同値ではない多くの滑らかな構造を許容する。これはもともとジョン・ミルナーによってエキゾチックな7次元球面の形で発見された。^[7]

すべての 1 次元連結な滑らかな多様体は、それらの標準的な滑らかな構造のいずれか、またはそれぞれと微分同相です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1},}$

滑らかな 2 次元多様体の分類については、表面を参照してください。特別な結果として、すべての 2 次元連結コンパクト滑らかな多様体は、次のいずれかに微分同相である:または または滑らかな構造の代わりに複素微分可能構造を考慮すると 、 状況はさらに非自明になります。${\displaystyle S^{2},}$${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.}$

3次元の状況はかなり複雑で、既知の結果はより間接的です。2002年に偏微分方程式の方法で証明された注目すべき結果は、幾何化予想であり、これは、任意のコンパクトで滑らかな3次元多様体は、それぞれが多くの対称性を持つリーマン計量を許容する異なる部分に分割できるという大まかなものです。また、モストウ剛性や双曲群の同型性問題に対するセラのアルゴリズムなど、幾何化可能な3次元多様体に関するさまざまな「認識結果」もあります。 ^[8]

nが 3 より大きい場合のn多様体の分類は、ホモトピー同値に至るまで不可能であることが知られています。任意の有限生成群が与えられた場合、その群を基本群とする閉じた 4 多様体を構築できます。有限生成群の同型性の問題を決定するアルゴリズムは存在しないため、2 つの 4 多様体が同じ基本群を持つかどうかを決定するアルゴリズムは存在しません。前述の構築により、群が同型である場合に限り同相である 4 多様体のクラスが得られるため、4 多様体の同相性の問題は決定不可能です。さらに、自明群を認識することさえ決定不可能であるため、一般には多様体が自明な基本群を持つかどうか、つまり単連結であるかどうかを決定することさえ不可能です。

単連結な4 次元多様体は、交差形式とカービー・ジーベンマン不変量を使用して、フリードマンによって同相まで分類されています。滑らかな 4 次元多様体理論は、 R ⁴上の異質な滑らかな構造が示すように、はるかに複雑であることが知られています。

しかし、5次元以上の単連結な滑らかな多様体の場合は状況がより扱いやすくなり、h-コボルディズム定理を使用して分類をホモトピー同値までの分類に縮小し、手術理論を適用することができます。^[9]これは、デニス・バーデンによって 単連結5次元多様体の明示的な分類を提供するために実行されました。

リーマン多様体は、滑らかな多様体と、個々の接空間のそれぞれにおける正定値の内積から構成されます。この内積の集合はリーマン計量と呼ばれ、自然に対称な 2 テンソル体になります。この「計量」は、それぞれに対する自然なベクトル空間同型を識別します。リーマン多様体では、長さ、体積、角度の概念を定義できます。滑らかな多様体には、さまざまなリーマン計量を与えることができます。 ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M}$${\displaystyle p\in M.}$

擬リーマン多様体（半リーマン多様体とも呼ばれる）は、リーマン多様体の概念を一般化したものであって、内積が正定値であるのとは対照的に不定符号を持つことが許されるが、非退化であることは依然として要求される。すべての滑らかな擬リーマン多様体およびリーマン多様体は、リーマン曲率テンソルなどの関連するテンソル場の数を定義する。ローレンツ多様体は符号 の擬リーマン多様体であり、このケースは一般相対論において基本的である。すべての滑らかな多様体に非リーマン擬リーマン構造を与えることができるわけではなく、そうすることに対する位相的な制約がある。 ${\displaystyle (n-1,1)}$${\displaystyle n=4}$

フィンスラー多様体は、リーマン多様体の異なる一般化であり、内積がベクトルノルムに置き換えられています。そのため、長さの定義は可能ですが、角度の定義はできません。

シンプレクティック多様体は、閉じた非退化 2 形式を備えた多様体です。この条件により、歪対称行列はすべて行列式がゼロになるという事実により、シンプレクティック多様体は偶数次元になります。基本的な例が 2 つあります。 ${\displaystyle (2n+1)\times (2n+1)}$

• ハミルトン力学における位相空間として生じる余接束は、自然なシンプレクティック形式を許容するため、興味深い例です。
• すべての向き付けられた2次元リーマン多様体は、自然な形でシンプレクティックであり、任意のに対しては向き付けられた正規直交基底となるようなベクトルを表す。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \omega (u,v)=g(u,J(v))}$${\displaystyle v\in T_{p}M,}$ ${\displaystyle J(v)}$${\displaystyle v,J(v)}$${\displaystyle g_{p}}$${\displaystyle T_{p}M.}$

リー群は、C ^∞多様体と、積と反転が多様体の写像として滑らかになるような群構造から構成されます。これらのオブジェクトは、（連続）対称性を記述する際に自然に生じることが多く、滑らかな多様体の重要な例となります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m:G\times G\to G}$${\displaystyle i:G\to G}$

しかし、滑らかな多様体のよく知られた例の多くには、リー群構造を与えることができません。リー群と任意のが与えられた場合、恒等元を に送る写像を考えることができるため、微分 を考えることによって、リー群の任意の 2 つの接空間間の自然な同一視が得られます。特に、 の任意の非ゼロベクトルを考えることによって、これらの同一視を使用して 上の滑らかな非ゼロベクトル場を与えることができます。これは、たとえば、偶数次元の球面はリー群構造をサポートできないことを示しています。同じ議論は、より一般的には、すべてのリー群は を平行化可能でなければならないことを示しています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle m(g,\cdot ):G\to G}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle T_{e}G\to T_{g}G,}$${\displaystyle T_{e}G,}$${\displaystyle G.}$

擬群^[10]の概念は、アトラスの柔軟な一般化を提供し、多様体上に様々な異なる構造を統一的に定義することを可能にする。擬群は位相空間Sと、 Sの開集合からSの他の開集合への同相写像からなる集合Γから成り、

1. f ∈ Γであり、U がfの定義域の開集合である場合、制約f | _Uも Γ に含まれます。
2. f がSの開集合の和集合、、からSの開集合への同相写像である場合、任意のiに対してf ∈ Γ が成立します。${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$
3. 任意の開U ⊂ Sに対して、 Uの恒等変換はΓ にあります。
4. f ∈ Γならばf ⁻¹ ∈ Γです。
5. Γ の 2 つの要素の合成は Γ にあります。

最後の 3 つの条件は、群の定義に似ています。ただし、関数はS上でグローバルに定義されていないため、 Γ は群である必要はありません。たとえば、R ⁿ上のすべての局所C ^k 微分同相写像のコレクションは擬群を形成します。 C ⁿ内の開集合間のすべての双正則同相写像は擬群を形成します。その他の例としては、 R ⁿの方向保存写像、シンプレクト同相写像、メビウス変換、アフィン変換などがあります。このように、多種多様な関数クラスが擬群を決定します。

U _i ⊂ Mから位相空間Sの開部分集合への同相写像 φ _iのアトラス ( U _i , φ _i )は、遷移関数φ j ∘ φ _i ⁻¹  : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j )_がすべて Γ にある場合、擬群 Γ と両立するという。

微分可能多様体は、 R ⁿ上のC ^k関数の擬似群と互換性のあるアトラスです。複素多様体は、C ⁿの開集合上の双正則関数と互換性のあるアトラスです。以下同様です。このように、擬似群は、微分幾何学と位相幾何学にとって重要な多様体上の多くの構造を記述するための単一のフレームワークを提供します。

場合によっては、別のアプローチを使用して多様体にC ^k構造を与えると便利なことがあります。ここで、k = 1、2、...、∞、または実解析多様体の場合は ωです。座標チャートを考慮する代わりに、多様体自体で定義された関数から始めることができます。 C ^kと表記されるMの構造層は、各開集合U ⊂ Mに対して、連続関数U → Rの代数C ^k ( U )を^定義する一種の関数です。構造層C ^kは、任意のp ∈ ^{Mに対して}、 pおよびn個の関数x ¹、...、x ⁿ ∈ C k ( U )の近傍Uが存在し、写像f = ( x ¹、...、x ⁿ ) : U → R ⁿがR ⁿの開集合への同相写像であり、C ^k | _Uは^Rn上のk回連続微分可能関数の層の引き戻しである。^[11]

特に、この後者の条件は、 Vに対するC ^k ( V )の任意の関数h が、 h ( x ) = H ( x ¹ ( x )、...、x ⁿ ( x ))と一意に記述できることを意味しています。ここで、 Hはf ( V ) ( R ⁿの開集合) 上のk回微分可能関数です。したがって、層理論の観点は、微分可能多様体上の関数はR ⁿ上の微分可能関数として局所座標で表現できるというものであり、ましてやこれは多様体上の微分構造を特徴付けるのに十分です。

微分可能多様体を定義するための類似した、しかしより技術的なアプローチは、環空間の概念を使用して定式化できます。このアプローチは、代数幾何学のスキーム理論に強く影響されていますが、微分可能関数の芽の局所環を使用します。これは、複素多様体のコンテキストで特に人気があります。

まずR ⁿ上の基本構造層を説明する。UがR ⁿ上の開集合であるとき、

O ( U ) = C ^k ( U , R )

は、 U上のすべての実数値k回連続微分可能関数から構成されます。Uが変化すると、 R ⁿ上の環の層が決定されます。 p ∈ R ⁿに対する茎O _pは、 p の近くの関数の芽から構成され、 R上の代数です。特に、これは、pで消える関数から構成される唯一の最大イデアルを持つ局所環です。ペア( R ⁿ、O )は、局所環空間の例です。これは、茎がそれぞれ局所環である層を備えた位相空間です。

微分可能多様体（クラスC ^k ）は、 Mが第2可算ハウスドルフ空間であり、O _MがM上で定義された局所R代数の層であるペア（ M 、 O M ）で構成され、局所環空間_（ M、O M）が_局所的に（R ⁿ、O）に同型である。このように、微分可能多様体はR ^{n を}モデル化したスキームと考えることができる。これは、^[12]各点p ∈ Mに対して、 pの近傍Uと、関数のペア（f、f ^#）が存在することを意味する。ここで

1. f  : U → f ( U ) ⊂ R ⁿはR ⁿの開集合への同相写像である。
2. f ^# : O | _{f ( U )} → f _∗ ( O _M | _U ) は層の同型です。
3. f ^#の局所化は局所環の同型である

f ^# _{f ( p )}  : O _{f ( p )} → O _M、p。

この抽象的な枠組みの中で微分可能多様体を研究する重要な動機はいくつかある。まず、モデル空間がR ^{nでなければならないという}先験的な理由はない。たとえば、（特に代数幾何学では）これを、正則関数の層（したがって複素解析幾何学の空間に到達する）を備えた複素数C ⁿの空間、または多項式の層（したがって複素代数幾何学で関心のある空間に到達する）と見なすことができる。より広い意味では、この概念は、スキームの適切な概念に適応させることができる（トポス理論を参照）。次に、座標はもはや構築に明示的に必要ではない。座標系の類似物はペア（f、f ^#）であるが、これらは単に局所同型性の考え方を定量化するものであり、議論の中心となるものではない（チャートや地図帳の場合のように）。第3に、層O _{M は}明らかに関数の層ではない。むしろ、それは構成の結果として関数の層として現れます（局所環をそれらの極大イデアルで割った商を介して）。したがって、それは構造のより原始的な定義です（総合微分幾何学を参照）。

このアプローチの最終的な利点は、微分幾何学と位相幾何学の多くの基本的な研究対象を自然に直接記述できることです。

• ある点における余接空間はI p _/ I p ₂^であり、ここでI _{p は}茎O _M、pの最大イデアルです。
• 一般に、コタンジェントバンドル全体は、関連する手法によって取得できます (詳細については、コタンジェントバンドルを参照してください)。
• テイラー級数（およびジェット）は、 O _M、p上のI _p進フィルタリングを使用して、座標に依存しない方法でアプローチできます。
• 接束（より正確にはその切断層）は、 O _Mの双対数環への射層と同一視できる。

滑らかな写像を持つ滑らかな多様体のカテゴリには、特定の望ましい特性が欠けており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようと試みてきました。微分空間は、「プロット」と呼ばれる異なるチャートの概念を使用します。フレーリッヒャー空間とオービフォールドは、他の試みです。

修正可能集合は、区分的に滑らかな曲線または修正可能な曲線の考え方を高次元に一般化しますが、修正可能集合は一般的な多様体ではありません。

バナッハ多様体とフレシェ多様体、特に 写像の多様体 は無限次元の微分可能多様体です。

C ^k多様体Mの場合、多様体上の実数値C ^k関数の集合は、点ごとの加算と乗算の下で代数を形成し、スカラー体の代数または単にスカラーの代数と呼ばれます。この代数は、乗法単位元として定数関数 1 を持ち、代数幾何学における正則関数の環の微分可能な類似体です。

多様体をそのスカラー代数から、最初は集合として、また位相空間として再構成することが可能です。これはバナッハ-ストーン定理の応用であり、より正式にはC*-代数のスペクトルとして知られています。まず、 Mの点と代数準同型φ : C ^k ( M ) → Rの間には 1 対 1 の対応があり、そのような準同型φはC k ( M ) の余次元 1 のイデアル (つまり φ の核) に対応し、これは必然的に最大イデアルです。逆に、この代数のすべての最大イデアルは、単一の点で消える関数のイデアルであり、これは C ^k ( M )のMSpec ⁽ Max Spec ) が M を点集合として復元することを示していますが、実際にはM は位相空間として 復元されます。

スカラー代数の観点からさまざまな幾何学的構造を代数的に定義することができ、これらの定義は代数幾何学（環を幾何学的に解釈する）や作用素論（バナッハ空間を幾何学的に解釈する）に一般化されることが多い。たとえば、Mへの接バンドルは、 M上の滑らかな関数の代数の微分として定義できます。

この多様体の「代数化」（幾何学的対象を代数に置き換えること）は、C*-代数の概念につながります。可換 C*-代数は、バナッハ-ストーンによれば、まさに多様体のスカラー環であり、非可換 C*-代数を多様体の非可換な一般化として考えることができます。これが非可換幾何学の分野の基礎です。