サーフェスのマッピング クラス グループ

数学、より正確には位相幾何学において、曲面の写像類群は、モジュラー群またはタイヒミュラーモジュラー群とも呼ばれ、連続的な（コンパクト開位相幾何学における）変形まで見た曲面の同相写像の群である。これは、埋め込まれた曲面を介した3次元多様体の研究にとって基本的な重要性を持ち、曲線の モジュライ問題との関連で代数幾何学でも研究されている。

写像類群は任意の多様体（実際は任意の位相空間）に対して定義できますが、群論では 2 次元の設定が最も研究されています。

曲面の写像類群は、他のさまざまな群、特に編組群と外部自己同型群と関連しています。

写像類群は20世紀前半に登場した。その起源は双曲面の位相の研究、特にこれらの面上の閉曲線の交差の研究にある。最も初期の貢献者はマックス・デーンとヤコブ・ニールセンである。デーンは群の有限生成を証明し、^[1]ニールセンは写像類の分類を与え、曲面の基本群のすべての自己同型が同相写像で表現できることを証明した（デーン・ニールセン・ベールの定理）。

デーン・ニールセン理論は1970年代半ばにサーストンによって再解釈され、サーストンはこの理論にさらに幾何学的な色合いを与え^[2]、この研究を3次元多様体の研究プログラムに大いに活用しました。

最近では、写像類群はそれ自体が幾何学群論の中心的な話題となっており、さまざまな推測や手法のテストの場を提供しています。

を連結した閉じた有向面とし、の向きを保つ同相写像群、つまり正同相写像群とする。この群は自然な位相、コンパクト開位相を持つ。これは距離関数で簡単に定義できる。その位相を誘導する距離が与えられれば、次のように定義される関数は ${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} ^{+}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)}$

は、 上のコンパクト開位相を誘導する距離である。この位相の恒等式の連結成分はと表記される。定義により、これは恒等式に同相な の同相写像に等しい。これは正同相写像群の正規部分群であり、 の写像類群は群 ${\displaystyle \operatorname {ホメオ} ^{+}(S)}$${\displaystyle \operatorname {ホメオ} _{0}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)}$。

これは可算グループです。

定義をすべての同相写像を含むように修正すると、拡張されたマッピング類群 が得られ、これにはインデックス 2 のサブグループとしてマッピング類群が含まれます。 ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$

この定義は微分可能カテゴリでも行うことができます。つまり、上記の「同相写像」のすべてのインスタンスを「微分同相写像」に置き換えると、同じグループが得られます。つまり、包含により、それぞれの単位元による商の間に同型写像が誘導されます。 ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$

が の単位球面であると仮定します。すると、 の任意の同相写像は、平面 における対称性の恒等写像か への制限のいずれかに同位になります。後者は方向を保存せず、球面の写像類群は自明であり、その拡張写像類群は位数 2 の巡回群 で あることがわかります。${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

トーラス の写像類群は、モジュラー群と自然に同一視される。射を構成するのは簡単である。すなわち、任意の はを介し​​て の微分同相写像を誘導する。の最初のホモロジー群への微分同相写像の作用は、射の左逆を与え（特に、それが単射であることを証明する）、 が単射であることが確認できるので、は と の間に逆同型となる。^[3]同様に、 の拡張写像類群はである。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi ,\Phi }$${\displaystyle \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

が空でない境界を持つコンパクト面である場合、写像類群の定義はより正確になる必要がある。境界に対する同相写像群は、境界上の恒等写像に制限される部分群であり、部分群は恒等写像の連結成分である。写像類群は次のように定義される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$。

パンクチャーのあるサーフェスは、有限個のポイント (「パンクチャー」) が削除されたコンパクトなサーフェスです。このようなサーフェスのマッピング クラス グループは上記のように定義されます (マッピング クラスではパンクチャーを並べ替えることはできますが、境界コンポーネントを並べ替えることはできないことに注意してください)。

任意の環状領域はの部分集合に同相である。微分同相写像は次の式で 定義できる。${\displaystyle A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z}$

これは両方の境界要素上の恒等式です。 のマッピングクラス群は、 のクラスによって生成されます。 ${\displaystyle \{|z|=1\},\{|z|=2\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau _{0}}$

編組群は、穴のある円板の写像類群として定義できます。より正確には、 n本のストランド上の編組群は、n個の穴のある円板の写像類群と自然に同型です。^[4]

が閉じていてがの同相写像である場合、次のように基本群の自己同型を定義できます。との間に、に基づくループを固定します。これは要素を表します。 をループに関連付けられた基本群の要素として定義します。この自己同型は の選択に依存しますが、共役を除いては依存しません。したがって、 から外部自己同型群への明確に定義された写像が得られます。この写像は写像であり、その核はまさにサブグループ です。デーン・ニールセン・ベールの定理によれば、これはさらに全射です。^[5]特に、次のことを意味します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$${\displaystyle f_{*}([\alpha ])}$${\displaystyle {\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$

拡張写像類群は外部自己同型群と同型である。${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S))}$

写像類群の像は、外部自己同型群の指数 2 の部分群であり、ホモロジーに対する作用によって特徴付けられます。

定理の結論は、 が空でない境界を持つ場合には成り立ちません(有限個の場合を除く)。この場合、基本群は自由群であり、外部自己同型群Out(Fn)は、前の段落で定義された射を介して、マッピング類群の像よりも厳密に大きくなります。像は、境界成分に対応する基本群の各共役類を保存する外部自己同型とまったく同じです。 ${\displaystyle S}$

これは、種数と境界は同じだが穴の数が異なる曲面の写像類群を関連付ける正確なシーケンスです。これは写像類群の研究で再帰的議論を使用できるようにする基本的なツールです。これは1969 年にJoan Birmanによって証明されました。 ^[6]正確なステートメントは次のとおりです。^[7]

をコンパクト面とし、 とする。正確な数列が存在する。${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$。

自身に穴がある場合、マッピング類群はを固定するマッピング類の有限インデックス部分群で置き換えられなければなりません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})}$${\displaystyle x}$

が 上の有向単純閉曲線であり、閉じた管状近傍を選択すると、 から上で定義した標準環状部への同相写像が存在し、 は反時計回りの向きで円に送られます。これは、次のようにの同相写像を定義するために使用されます。 上では恒等写像であり、 上では に等しくなります。マッピング類群のの類は、上で行われたの選択に依存せず、結果として生じる要素はについてのデーンツイストと呼ばれます。 がヌルホモトピックでない場合、このマッピング類は自明ではなく、より一般的には、2 つの非ホモトピック曲線によって定義されるデーンツイストは、マッピング類群の異なる要素です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \tau _{c}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\setminus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$${\displaystyle \tau _{c}}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

デーンツイストと同一視されるトーラスの写像類群は単零行列に対応する。例えば、行列 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

トーラス内の水平曲線の周りのデーンねじれに対応します。

表面上のマッピング クラスの分類は、もともとニールセンによって考案され、サーストンによって再発見されたもので、次のように表現できます。要素は次のいずれかです。 ${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$

• 有限順序（つまり、恒等式となるようなものが存在する）、${\displaystyle n>0}$${\displaystyle g^{n}}$
• 可約:の作用によって が保存される互いに交わらない閉曲線の集合が存在する。${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$
• または疑似アノソフ。

定理の主な内容は、有限順序でも還元可能でもない写像類は擬似アノソフでなければならないということであり、擬似アノソフは動的性質によって明示的に定義できる。^[8]

曲面の擬似アノソフ微分同相写像の研究は基礎的です。有限次数写像類は等長写像と同位体であり、したがってよく理解されているため、これらは最も興味深い微分同相写像であり、また、可約類の研究は、実際には本質的に、有限次数または擬似アノソフのいずれかである可能性のあるより小さな曲面上の写像類の研究に還元されます。

擬似 Anosov マッピング クラスは、さまざまな方法でマッピング クラス グループ内で「汎用的」です。たとえば、マッピング クラス グループ上のランダム ウォークは、ステップ数が増えるにつれて確率が 1 に近づく擬似 Anosov 要素で終了します。

穴の開いた曲面（通常は境界なし）が与えられた場合、タイヒミュラー空間は上のマークされた複素（同値、共形、または完全双曲的）構造の空間です。これらは、適切な同値関係を法として、リーマン面と同相写像のペアで表されます。このようなペアには群の明らかな作用があり、これはタイヒミュラー空間へ の の作用につながります。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to X}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

この作用には多くの興味深い性質がある。例えば、それは適切に不連続である（ただし自由ではない）。それは に付与できる様々な幾何学的構造（計量的または複素数）と互換性がある。特に、タイヒミュラー計量は、例えば の最大の準等長埋め込み平坦部は次元 であるなど、写像類群のいくつかの大規模な性質を確立するために使用できる。^[9]${\displaystyle T(S)}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle 3g-3+k}$

この作用はタイヒミュラー空間のサーストン境界まで拡張され、ニールセン・サーストンの写像類の分類は、タイヒミュラー空間上の作用とそのサーストン境界の動的性質から見ることができる。すなわち、次のようになる。^[10]

• 有限位数要素は、タイヒミュラー空間内の点を固定します（より具体的には、 における有限位数の任意の写像類は、上の何らかの双曲的計量の等長写像として実現できることを意味します）。${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle S}$
• 擬似アノソフ類は、安定な葉理と不安定な葉理に対応する境界上の 2 つの点を固定し、境界上での作用は最小になります (稠密な軌道を持ちます)。
• 縮小可能なクラスは境界上で最小限に作用しません。

曲面の曲線複体は、頂点が 上の単純閉曲線の同位類である複体です。頂点への写像類群の作用は、完全な複体に引き継がれます。作用は適切に不連続ではありません (単純閉曲線の安定群は無限群です)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

この作用は、曲線複体の組合せ論的および幾何学的性質とともに、写像類群のさまざまな性質を証明するために使用できます。^[11]特に、写像類群の双曲的性質のいくつかを説明します。前のセクションで述べたように、写像類群は双曲群ではありませんが、双曲群を彷彿とさせるいくつかの性質があります。

コンパクト曲面のパンツ複体は、その頂点が（互いに素な単純閉曲線の極大系の同位体類）のパンツ分解である複体である。 の作用はこの複体への作用に拡張される。この複体は、ヴァイル・ペーターソン計量を備えたタイヒミュラー空間に準等長である。^[12]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

曲線複合体とパンツ複合体に対する写像類群の作用の安定子は非常に大きい。マーキング複合体は、頂点が のマーキングである複合体であり、写像類群によって作用され、写像類群に自明な安定子を持つ。これは（曲線複合体やパンツ複合体とは対照的に）写像類群に準等長な局所有限複合体である。 ^[13]${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

マーキング^[a]は、パンツ分解と、のそれぞれがの多くとも の 1 つと交差し、これが「最小限」であるような横断曲線のコレクションによって決定されます (これは、次のように述べることができる技術的な条件です。 がトーラスに同相なサブサーフェスに含まれている場合、それらは 1 回交差し、サーフェスが 4 つの穴のある球である場合、それらは 2 回交差します)。 2 つの異なるマーキングは、それらが「基本移動」によって異なる場合、エッジによって結合され、完全な複合体は、すべての可能な高次元単体を追加することによって得られます。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$

写像類群は、曲面上のすべての単純閉曲線に関するデーンツイストのサブセットによって生成される。デーン・リコリッシュ定理は、写像類群を生成するには、有限個のデーンツイストを選択すれば十分であると述べている。^[14]これは、行列によって生成される という事実を一般化したものである。${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$。

特に、曲面の写像類群は有限生成群です。

種数の閉じた曲面の写像類群を生成できるデーンツイストの最小の数は であり、これは後にハンフリーズによって証明されました。 ${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle 2g+1}$

写像類群の生成集合におけるデーンツイスト間のすべての関係は、それらの間の有限数の組み合わせとして記述できることを証明できます。これは、曲面の写像類群が有限に提示された群であることを意味します。

この定理を証明する一つの方法は、写像類群のパンツ複合体への作用の特性から演繹することである。頂点の安定子は有限に提示され、作用は余有限である。複合体は連結かつ単連結であるため、写像類群は有限に生成されなければならない。有限の提示を得る方法は他にもあるが、実際には、すべてのジェニに対して明示的な関係を生み出す唯一の方法は、この段落で説明されている、曲線複合体の代わりにカットシステム複合体と呼ばれるわずかに異なる複合体を使用する方法である。^[15]

このプレゼンテーションで発生する Dehn ツイスト間の関係の例は、ランタン関係です。

デーンツイスト以外にも、写像類群を生成する興味深い生成系が存在します。例えば、 2つの要素^[16]や反転^[17]によって生成することができます。${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

が境界成分と穴を持つ種数の曲面である場合、の仮想コホモロジー次元は に等しくなります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle 4g-4+b+k}$

写像類群の最初のホモロジーは有限であり^[18]、最初のコホモロジー群も有限であることが分かります。

特異ホモロジーは関数的であるため、写像類群は最初のホモロジー群 に自己同型として作用します。が種数 で閉じている場合、これは階数 の自由アーベル群です。したがって、この作用は線型表現 を与えます。 ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle 2g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

この写像は、実際にはシンプレクティック群の整数点に等しい像を持つ全射である。これは、閉曲線の交差数が第1ホモロジー上のシンプレクティック形式を誘導し、それが写像類群の作用によって保存されるという事実から来る。全射性は、デーンツイストの像が を生成することを示すことによって証明される。^[19]${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

射の核はのトレッリ群と呼ばれる。これは有限生成の捩れのない部分群^[20]であり、その研究は写像類群自体の構造（算術群は比較的よく理解されているため、 に関する多くの事実はそのトレッリ部分群についての記述に要約される）と 3 次元位相幾何学および代数幾何学への応用の両方に関係するため、根本的に重要である。 ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Torelli サブグループの応用例は次のようになります。

マッピングクラスグループは残差有限です。

証明は、まず線型群の残差有限性を用いて進められ、次に、トレリ群の任意の非自明な元に対して、それを含まない有限指数の部分群を幾何学的手段によって構築する。^[21]${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

有限指数部分群の興味深いクラスは、射の核によって与えられる:

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

の核は通常、の合同部分群と呼ばれます。これはすべてに対して捩れのない群です(これは線型群に関するミンコフスキーの古典的な結果と、トレリ群が捩れのない群であるという事実から容易にわかります)。 ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle n\geq 3}$

前の段落で述べたように、有限指数部分群は捩れがないという事実から、写像類群には有限群の類が有限個しか存在しないことが分かります。さらに、これは の任意の有限部分群が有限群の部分群であることも意味します。 ${\displaystyle \ker(\Phi _{3})}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$

有限部分群の位数の境界も幾何学的手段によって得ることができます。ニールセン実現問題の解は、そのような群はいずれも種数 の双曲面の等長変換群として実現されることを意味します。フルヴィッツの境界は、最大位数が に等しいことを意味します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle 84(g-1)}$

写像類群はティッツ代替条件を満たす。つまり、その任意の部分群は非可換自由部分群を含むか、事実上解ける（実際には可換）かのいずれかである。^[22]

還元不可能な部分群（つまり、互いに素な単純閉曲線の同位体類の集合を保存しない部分群）は、擬似アノソフ元を必ず​​含む。^[23]

写像類群が線型群であるかどうかは未解決の問題である。上で説明したホモロジー上のシンプレクティック表現の他に、位相量子場理論から生じる興味深い有限次元線型表現が他にも存在する。これらの表現の像はシンプレクティックではない算術群に含まれており、これにより のより多くの有限商を構成することができる。^[24]${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

逆に言えば、（推定上の）忠実な表現の次元には下限があり、それは少なくとも でなければならない。^[25]${\displaystyle 2{\sqrt {g-1}}}$