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数学史において、イタリア代数幾何学学派とは、1885年から1935年頃までローマを中心に活動した、双有理幾何学、特に代数曲面に関する研究を行った数学者たちを指します。この学派には30人から40人ほどの主要な数学者がおり、そのうち約半数がイタリア人でした。特に、グイド・カステルヌオーヴォ、フェデリーゴ・エンリケス、フランチェスコ・セヴェリらがローマを拠点とするグループを率い、彼らは数々の重要な発見に携わるとともに、この学派のスタイルを確立しました。
代数曲面（ 2次元の代数多様体）への重点は、代数曲線（1次元）のほぼ完全な幾何学的理論に続いて生じた。1870年頃の立場は、曲線理論がブリル＝ネーター理論とともに、リーマン＝ロッホの定理をそのすべての改良版（シータ因子の詳細な幾何学を通して）に取り込んでいるというものであった。
代数曲面の分類は、代数曲線を種数gで分類するという大胆かつ成功した試みであった。曲線の分類は、大まかに次の 3 つのタイプへの分類に対応する。g = 0 (射影直線)、g = 1 (楕円曲線)、g > 1 (独立な正則微分を持つリーマン面)。曲面の場合、エンリケスの分類は 5 つの類似した大きなクラスに分けられ、そのうち 3 つは曲線の場合の類似物であり、さらに 2 つは (楕円ファイブレーションと、現在ではK3 曲面と呼ばれるもの) 2 次元アーベル多様体の場合が「中間」の領域に位置する。これは本質的に健全で画期的な洞察であり、1950年代に小平邦彦によって現代の複素多様体言語で再発見され、1960年頃までにザリスキ、シャファレビッチ学派などによってmod p現象を含むように洗練された。曲面上のリーマン・ロッホの定理の形式も解明された。
同校が作成した証明の中には、基礎的な問題のために満足できないものもある。例えば、3次元曲面の双有理モデルを頻繁に使用していたが、双有理モデルは高次元射影空間に埋め込まれた場合にのみ非特異モデルを持つことができる。こうした問題を回避するため、因子の線形システムを扱う洗練された理論が開発された（実質的には、射影空間への想定される埋め込みの超平面切断に対する線束理論である）。多くの現代的な手法が初期段階で発見され、場合によっては、これらのアイデアの表現が既存の専門用語では表現しきれないものもあった。
Guerraggio & Nastasi (2005 年、9 ページ) によると、ルイージ・クレモナは「イタリア代数幾何学学派の創始者とみなされている」。彼らは後に、トリノでエンリコ・ドヴィディオとコッラード・セグレが協力し、「彼ら自身の努力、あるいは彼らの弟子たちの努力によって、イタリア代数幾何学は完全な成熟期を迎えた」と説明している。セグレのかつての弟子であるH.F. ベイカーは[ 1 ]で、コッラード・セグレは「代数的軌跡の双有理理論において多大な成果を上げた、あの素晴らしいイタリア学派の父と言えるだろう」と書いている。この点について、Brigaglia & Ciliberto (2004) は「セグレは、ルイージ・クレモナが 1860 年に設立した幾何学学派を率いて維持した」と述べている。数学系譜プロジェクトを参照すると、イタリアの博士号取得者という観点から見ると、この学派の真の生産性はグイド・カステルヌオーヴォとフェデリーゴ・エンリケスから始まったことがわかる。
この学校の名誉ある名簿には、他のイタリア人も含まれています:ジャコモ・アルバネーゼ、エウジェニオ・ベルティーニ 、ルイジ・カンペデッリ、オスカル・キジーニ、ミケーレ・デ・フランキス、 パスクアーレ・デル・ペッツォ、ベニアミーノ・セグレ、フランチェスコ・セヴェリ、グイド・ザッパ(ジーノ・ファノ、カルロ・ロザティ、ジュゼッペ・トレッリ、ジュゼッペ・ヴェロネーゼも寄稿) ）。
その他には、HF ベイカーとパトリック・デュ・ヴァル（イギリス）、アーサー・バイロン・コブル（アメリカ）、ジョルジュ・アンベールとシャルル・エミール・ピカール（フランス）、リュシアン・ゴドー（ベルギー）、ヘルマン・シューベルトとマックス・ネーター、そして後にオスカー・ザリスキー（アメリカ）、エーリヒ・ケーラー（ドイツ）、HG ツォイテン（デンマーク）らが参加した。
これらの人物は皆、代数幾何学に関わっており、射影幾何学を総合幾何学として追求していたわけではなかった。射影幾何学は、議論の対象となっている期間においては、膨大な量ではあったものの、研究としての重要性からすると二次的な分野であった。
1950年にヘンリー・フォーダーは代数曲線に関連してイタリア学派について言及した。[ 2 ]
平面曲線の理論のさらなる発展は、リーマン面とアーベル関数の理論と結びついた場合にのみ実りあるものとなる。これは過去50年間、イタリアの幾何学者たちが好んで研究してきたテーマであり、彼らは同様の曲面理論や高次元の「多様体」の理論にも素晴らしい貢献をしてきた。ここでは、多様体上の積分理論とその位相幾何学を組み合わせることで決定的な成果が得られる。このように、曲線と曲面の理論は現代代数学と位相幾何学と結びついているのである。
イタリア学派の後継となる新しい代数幾何学は、代数トポロジーの集中的な使用を特徴としていた。この傾向の創始者はアンリ・ポアンカレであり、1930年代にはレフシェッツ、ホッジ、トッドによって発展させられた。現代の総合は、彼らの業績、カルタン学派の業績、そしてW・L・チョウと小平邦彦の業績を、伝統的な素材と統合した。
カステルヌオーヴォ率いるイタリア学派の初期の頃は、数学のほとんどの分野と同様に厳密性の基準が高かった。[ 3 ]エンリケスの下では、完全な厳密な証明の代わりに、やや非形式的な議論を用いることが徐々に受け入れられるようになった。[ 3 ]例えば、「連続性の原理」は、極限まで真であるものは極限でも真であるという主張であり、厳密な証明も正確な記述もなかった。それにもかかわらず、エンリケスの主張の多くは正しいことが判明し、彼は代数曲面に関する目覚ましい成果を上げることができた。残念なことに、1930年頃からセヴェリの指導の下で正確性の基準はさらに低下し、主張された結果の中には、不十分に証明されただけでなく、間違っているものもあった。例えば、1934年にセヴェリは代数曲面上のサイクルの有理同値類の空間は有限次元であると主張したが、マンフォード（1968）はこれが正の幾何学的種数の曲面では誤りであることを示した。また、1946年にセヴェリは、3次元射影空間における次数6の曲面は最大で52個のノードしか持たないが、バルトの六次曲面は65個のノードを持つことを証明したと主張する論文を発表した。セヴェリは自身の議論が不十分であることを認めず、いくつかの結果の地位をめぐって激しい論争が巻き起こった。
1940年代までに、国際数学界はイタリア学派の推論の基礎に疑問を抱き始め、数十年にわたって存在していた交差多重度などの概念が議論の対象となった。[ 4 ]クルルとネーターの可換代数に基づいて新しい基礎を開発したワイルとザリスキーのアイデアに従って、代数幾何学は新しい方向に進化し始めた。[ 5 ]特に1960年代には、小平とシャファレビッチとその弟子たちがエンリケスの代数曲面の分類を書き直し、それをすべてのコンパクト複素曲面に拡張した。一方、1970年代には、フルトンとマクファーソンが交差理論の古典的な計算を厳密な基礎の上に置いた。