格子（離散部分群）

リー理論および関連する数学の分野では、局所コンパクト群の格子は、商空間が有限不変測度を持つという性質を持つ離散部分群です。 R ⁿの部分群の特殊なケースでは、これは格子を点の周期的な部分集合として考える通常の幾何学的概念に相当し、格子の代数的構造とすべての格子の空間の幾何学はどちらも比較的よく理解されています。

この理論は、半単純リー群、あるいはより一般的には局所体上の半単純代数群における格子について特に豊富である。特に、この設定では剛性の結果が豊富にあり、グリゴリー・マルグリスの有名な定理によれば、ほとんどの場合、すべての格子は算術群として得られる。

格子は、他のいくつかのグループのクラス、特にカッツ・ムーディ代数に関連するグループや正則木の自己同型群（後者は木格子として知られている）でもよく研究されています。

格子は、数学の多くの分野で興味深いものです。例えば、幾何群論（離散群の特に良い例として）、微分幾何学（局所同次多様体の構築を通じて）、数論（算術群を通じて）、エルゴード理論（商空間上の同次フローの研究を通じて）、組合せ論（拡張 ケイリーグラフやその他の組合せオブジェクトの構築を通じて）などです。

格子は、連続群（リー群など）の離散近似として考えるのが最適です。たとえば、整数ベクトルのサブグループが、ある意味では実ベクトル空間に「似ている」ことは直感的に明らかですが、両方のグループは本質的に異なります。一方は有限生成で可算ですが、もう一方は有限生成ではなく、連続体の濃度を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

前の段落の「離散部分群による連続群の近似」の意味を厳密に定義して、例を一般化する概念を得ることは、それが何を達成するために設計されているかという問題です。おそらく、部分群がより大きな群を「近似する」というのは、より大きな群が、部分群のすべての要素による「小さな」部分集合の変換によってカバーできるということです。局所的にコンパクトな位相群では、「小さい」という概念が 2 つすぐに利用できます。位相的 (コンパクトな、または比較的コンパクトな部分集合) または測度論的 (有限ハール測度の部分集合 ) です。ハール測度はラドン測度であり、コンパクトな部分集合に有限の質量を与えるため、2 番目の定義の方が一般的であることに注意してください。数学で使用される格子の定義は、2 番目の意味に依存しています (特に などの例を含めるため) が、最初の意味にも独自の意味があります (このような格子は均一と呼ばれます)。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

他の概念としては、粗い同値性とより強い準等長性がある。一様格子は周囲の群に対して準等長性であるが、一様でない格子は周囲の群に対して粗くも同値ではない。

を局所コンパクト群、離散部分群とします（つまり、 となる の単位元近傍が存在するということです）。さらに、有限（つまり）かつ -不変（任意のおよび任意の開部分集合に対して等式が満たされることを意味する）である商空間上のボレル測度が存在する場合、 は の格子と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

もう少し洗練された定式化は次のようになります。さらに がユニモジュラであると仮定すると、は離散的であるため もユニモジュラであり、一般定理により までスケーリングする唯一の-不変ボレル測度が存在します。 が格子である場合、そしてその場合のみ、この測度は有限です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

離散部分群の場合、この不変測度は局所的にハール測度と一致するため、局所コンパクト群内の離散部分群が格子であることは、ハール測度に対する有限体積の基本領域（左平行移動による作用に対して）を持つことと同値です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

格子は、商空間がコンパクトなとき一様（またはココンパクト）であると呼ばれ、そうでない場合は非一様であると呼ばれます。同様に、離散部分群が一様格子であるのは、を満たすコンパクト部分集合が存在する場合のみです。が の任意の離散部分群で がコンパクトである場合、 は自動的に の格子になることに注意してください。 ${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle C\subset G}$${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$

最も基本的かつ単純な例は、リー群の格子である部分群です。もう少し複雑な例として、連続ハイゼンベルク群内の 離散ハイゼンベルク群が挙げられます。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

が離散群である場合、 内の格子はまさに有限指数の部分群です（つまり、商集合は有限です）。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G/\Gamma }$

これらの例はすべて一様です。一様でない例は、内のモジュラー群 によって与えられ、また、より高次元の類似物 によっても与えられます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

格子の任意の有限指数部分群は、同じ群内の格子でもあります。より一般的には、格子に 通約可能な部分群は格子です。

すべての局所コンパクト群に格子が含まれるわけではなく、これに対する一般的な群論的十分条件はありません。一方、そのような基準が存在するより具体的な設定はたくさんあります。たとえば、リー群における格子の存在または非存在は、よく理解されているトピックです。

前述したように、群が格子を含むための必要条件は、群がユニモジュラ でなければならないということです。これにより、格子のない群、たとえば可逆上三角行列の群やアフィン群を簡単に構築できます。また、以下で説明する特定の冪零リー群など、格子のないユニモジュラ群を見つけることもそれほど難しくありません。

ユニモジュラ性よりも強い条件は単純性である。これはリー群に格子が存在することを示唆するのに十分であるが、局所コンパクト群のより一般的な設定では、例えば「ネレチン群」のように格子を持たない単純群が存在する。^[1]

冪零群の場合、理論は一般の場合より大幅に簡略化され、アーベル群の場合と似たままです。冪零リー群のすべての格子は一様であり、が連結単連結冪零リー群である場合（非自明コンパクト部分群を含まないことと同義）、離散部分群が格子となるのは、それが適切な連結部分群に含まれない場合に限ります^[2]（これは、ベクトル空間内の離散部分群が格子となるのは、それがベクトル空間を張る場合に限り、という事実を一般化しています）。 ${\displaystyle N}$

べき零リー群が格子を含むのは、リー代数が有理数上で定義できる場合のみである。つまり、の構造定数が有理数である場合のみである。^[3]より正確には、 が、リー代数が有理数構造定数のみを持つべき零単連結リー群であり、 が（格子（群）のより基本的な意味で）格子である場合、 は に格子を生成する。逆に、が の格子である場合、 はに格子を生成する。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle \exp(L)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \exp ^{-1}(\Gamma )}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

冪零リー群の格子は常に有限生成である（それ自身も冪零なので有限提示である）。実際、格子はせいぜい個の元によって生成される。^[4]${\displaystyle N}$${\displaystyle \dim(N)}$

最後に、冪零群が冪零リー群内の格子と同型となるのは、それが捩れがなく有限生成される有限指数の部分群を含む場合のみです。

冪零リー群が上記のような格子を持つための基準は、より一般的な可解リー群には適用されない。可解リー群内の任意の格子は一様であり^[5]、可解群内の格子は有限に提示されるというのは真実である。

有限生成可解群のすべてがリー群の格子になるわけではない。代数的基準は群が多環式であるということである。^[6]

が有理数体上で定義されている半単純線型代数群である場合（つまり、 を定義する多項式方程式の係数が 内にある場合）、その群には部分群 が存在します。Armand BorelとHarish-Chandraの基本定理によれば、 は常に 内の格子になります。この最も単純な例は部分群 です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

上記の構成を一般化すると、半単純リー群における算術格子の概念が得られます。すべての半単純リー群は 上で定義できるため、算術構成の帰結として、任意の半単純リー群には格子が含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

リー群が積として分割される場合、より小さな群から の格子の明らかな構成があります。 が格子であれば、も格子です。大まかに言えば、この構成から来ない 格子は既約であると言われます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

より正式には、を単純な因数に分解する場合、次の同等の条件のいずれかが満たされるときに、 格子は既約であると言われます。${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• の任意の因子への投影は密です。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• と任意の因子の交差は格子ではありません。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

既約格子の例は、の写像を介して部分群として見られる部分群によって与えられます。ここで、は係数を持つ行列を に送るガロア写像です。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

リー群の実数階は、（とは異なる少なくとも1つの実固有値を持つ半単純元のみを含むアーベル部分群）の-分割トーラスの最大次元です。コンパクト因子を持たない実数階1の半単純リー群は、（同型まで）次のリストにあるものです（単純リー群のリスト を参照）。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pm 1}$

• の実二次形式の直交群 。${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• のエルミート形式の署名のユニタリ 群;${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• の群（シグネチャ の「四元数の二次形式」を保存する四元数係数を持つ行列の群）;${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• 例外リー群 （例外リー代数に対応する階数1の実数形式）。${\displaystyle F_{4}^{-20}}$${\displaystyle F_{4}}$

リー群の実ランクは、それに含まれる格子の挙動に大きな影響を与えます。特に、最初の 2 つの群の格子の挙動 (および、それほどではないが、後の 2 つの群の格子の挙動) は、より高いランクの群の既約格子の挙動とは大きく異なります。たとえば、

• すべての群には非算術格子が存在し、には[ ^{7] [8]}、おそらくには（最後のは未解決の問題である）存在するが、他のすべての既約格子は算術的である。^{[9] [10]}${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• 階数1のリー群の格子は無限、無限指数の正規部分群を持つが、高階数の既約格子の正規部分群はすべて有限指数かその中心に含まれる。^{[11] [12]}
• 推測では、高階群の算術格子は合同部分群の性質を持つ^[13]が、合同でない有限指数部分群を持つ格子も多数存在する^{[14] 。}${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

(T) として知られる性質は、古典的でより幾何学的な方法が失敗したか、少なくともそれほど効率的ではなかったときに、特定のリー群の代数構造格子を研究するためにカズダンによって導入されました。格子を研究する際の基本的な結果は次のようになります: ^[15]

局所コンパクト群内の格子は、群自体が特性 (T) を持つ場合のみ、特性 (T) を持ちます。

調和解析を使用すると、半単純リー群をその性質があるかどうかで分類することができます。その結果、次の結果が得られ、前のセクションの二分法がさらに示されます。

• 内の格子はカジダンの性質 (T) を持たないが、他のすべての単純リー群内の既約格子は持つ。${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

半単純リー群の格子は常に有限に提示され、より強い有限性条件を満たします。^[16]一様格子の場合、これはココンパクト性の直接的な結果です。一様でない場合には、これは簡約理論を使用して証明できます。^[17]特性 (T)を持つ群の有限提示可能性を証明するのは簡単ですが、すべての半単純リー群に有効な幾何学的証明があります。^[18]

がリー群である場合、接空間（ のリー代数）上の内積から、 上のリーマン計量を次のように構築できます。が点 における接空間に属している場合、 はの微分同相写像の（ における）接写像を示します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle \gamma \in G}$${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$${\displaystyle G}$

に対する写像は、定義により、この計量 に対する等長写像です。特に、 が内の任意の離散部分群である場合（したがって、上の左平行移動によって自由かつ適切に不連続に作用する）、商は計量 を持つ に局所的に等長なリーマン多様体です。 ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$${\displaystyle \gamma \in G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \backslash G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$

に関連付けられたリーマン体積形式は、上のハール測度を定義し、が格子である 場合に限り、商多様体は有限のリーマン体積を持つことが分かります。${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$

このクラスのリーマン空間の興味深い例としては、コンパクト平坦多様体とニル多様体があります。

上の自然な双線型形式は、キリング形式によって与えられます。がコンパクトでない場合、それは定数値ではなく、したがって内積ではありません。ただし、が半単純で が最大コンパクト部分群である場合、それを使用して同次空間上の -不変計量を定義することができます。このようなリーマン多様体は、ユークリッド因子を持たない非コンパクト型の 対称空間と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

部分群が に自由に、真に不連続に作用するのは、それが離散的かつ捩れなしである場合に限ります。その商は局所対称空間と呼ばれます。したがって、 に局所同型で有限リーマン体積の完全な局所対称空間と 内の捩れなし格子の間には、全単射の対応関係があります。この対応関係は、幾何学的な側に オービフォールドを追加することで、すべての格子に拡張できます。${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma \backslash X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

実半単純リー群と同様の特性（格子に関して）を持つ群のクラスは、例えばp 進体 など の特性 0 の局所体上の半単純代数群です。実数の場合と同様の算術構成があり、高階数と階数 1 の二分法も、より顕著な形でこの場合に当てはまります。 を分割階数r上の代数群とします。このとき、 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• rが 2 以上の場合、内のすべての既約格子は算術格子になります。${\displaystyle G}$
• r=1の場合には非算術格子の通約可能類は無数に存在する。^[19]

後者の場合、すべての格子は実際には自由群です（有限のインデックスまで）。

より一般的には、格子を次のような形のグループで見ることができる。

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

ここで は上の半単純代数群である。 は通常許され、その場合 は実リー群である。そのような格子の例は次のように与えられる。 ${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$。

この算術構成を一般化して、 S-算術群の概念を得ることができます。この設定には、Margulis 算術性定理も適用されます。特に、因子のうち少なくとも 2 つが非コンパクトである場合、 の既約格子はS-算術的です。 ${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G}$

が数体上の半単純代数群であり、そのアデル環である場合、アデル点の群は（いくつかの技術的な問題を除けば）明確に定義され、それは離散部分群として-有理点の群を自然に含む局所コンパクト群である。ボレル-ハリシュ-チャンドラ定理はこの設定に拡張され、格子である。^[20]${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

強近似定理は、商をより古典的な S 算術商に関連付けます。この事実により、アデル群は保型形式の理論のツールとして非常に効果的になります。特に、トレース公式の現代的な形式は、通常、リー群ではなくアデル群に対して示され、証明されます。 ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

半単純代数群の格子に関する別の現象群は、総称して剛性と呼ばれます。このカテゴリの結果の 3 つの古典的な例を以下に示します。

局所的剛性の結果は、ほとんどの場合、格子に十分「近い」すべての部分群（直感的な意味で、Chabauty 位相または特性多様体上の位相によって形式化される）は、実際には周囲のリー群の要素によって元の格子に共役であることを示しています。局所的剛性とKazhdan-Margulis 定理の結果は、Wang の定理です。つまり、特定のグループ（固定されたハール測度を持つ）では、任意のv>0に対して、共体積がvで制限される格子は（共役を除いて）有限個しかありません。

モストウの剛性定理は、単純なリー群の格子が(行列式が 1 である 2 行 2 列の行列の群) に局所的に同型でない場合、格子の同型性は基本的に群自体の間の同型性によって誘導されると述べています。特に、リー群の格子は、その群構造を通じて周囲のリー群を「記憶」しています。最初のステートメントは、強剛性と呼ばれることもあり、ジョージ モストウとゴパル プラサドによるものです(モストウはココンパクト格子についてこれを証明し、プラサドはこれを一般の場合に拡張しました)。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

超剛性は、（リー群および高階の局所体上の代数群に対して）局所剛性と強剛性の両方を強化し、代数群Gの格子から別の代数群Hへの任意の準同型を扱います。これはグリゴリー・マルグリスによって証明され、彼の算術性定理の証明に不可欠な要素です。

モストウ剛性が成立しない唯一の半単純リー群は、 に局所的に同型な群すべてである。この場合、実際には連続的に多数の格子が存在し、それらはタイヒミュラー空間を生じます。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

群内の非一様格子は局所的に剛体ではありません。実際、双曲デーン手術によって実証されているように、それらはより小さな共体積の格子の集積点（シャボーティ位相）です。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

ランク 1 p 進群の格子は実質的に自由群であるため、非常に非剛性です。

を自己同型群のココンパクト群を持つ木とします。たとえば、は正則木または双正則木になります。の自己同型群は、（コンパクト開位相が備わっている場合、つまり、恒等写像の近傍の基底が有限部分木の安定化子によって与えられ、有限部分木がコンパクトである場合）局所コンパクト群です。ある 内の格子である任意の群は、木格子と呼ばれます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

この場合の離散性は、ツリー上の群の作用から簡単にわかります。 のサブグループは、すべての頂点安定子が有限群である場合にのみ離散的です。 ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

木に対する群作用の基本理論から、均一な木格子が事実上自由群であることは容易に分かります。したがって、より興味深い木格子は非均一な木格子、つまり商グラフが無限である木格子です。このような格子の存在は容易には分かりません。 ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

が正の標数の局所体（つまり、有限体上の曲線の関数体の完備化、たとえば形式ローラン冪級数の体）であり、上で定義された -分割ランク 1の代数群である場合、 内の任意の格子は、この場合は木であるBruhat–Tits 構築への作用を通じて木格子になります。標数が 0 の場合とは対照的に、このような格子は非一様である可能性があり、この場合は有限生成されません。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

が、すべての頂点群が有限である群の無限グラフの基本群であり、辺群のインデックスと頂点群のサイズに関する追加の必要な仮定の下で、群のグラフに関連付けられた Bass-Serre 木への の作用により、それが木格子として実現される場合。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

より一般的には、次の質問をすることができます。が の閉部分群である場合、どのような条件下では格子を含みますか? 一様格子の存在は、 がユニモジュラであることと商が有限であることに等しいです。一般的な存在定理はより微妙です。 がユニモジュラであること、および商が適切な意味で「有限体積」であること ( の作用に関して組合せ的に表現できる) が必要かつ十分であり、これは商が有限であるというより強い条件 (非一様ツリー格子の存在自体によって証明されている) よりも一般的です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\backslash T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\backslash T}$${\displaystyle H}$

• Bass, Hyman; Lubotzky, Alexander (2001)。ツリー格子 H. Bass、L. Carbone、A. Lubotzky、G. Rosenberg、J. Tits による付録付き。数学の進歩。Birkhäuser Verlag。ISBN 0-8176-4120-3。
• マルグリス、グリゴリー (1991)。半単純リー群の離散部分群。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。 x+388ページ。ISBN 3-540-12179-XMR  1090825 。
• プラトーノフ、ウラジミール、ラピンチュク、アンドレイ (1994)。代数群と数論。(1991 年のロシア語原文からレイチェル・ローウェンが翻訳。)純粋および応用数学。第 139 巻。ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. MR  1278263。
• ミシシッピ州ラグナサン（1972年）。リー群の離散サブグループ。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。MR0507234  。
• ウィッテ・モリス、デイブ（2015）。算術群入門。演繹出版社。p. 492。ISBN 978-0-9865716-0-2。
• Gelander , Tsachik (2014). 「格子と局所対称空間に関する講義」。Bestvina, Mladen、Sageev, Michah、Vogtmann, Karen (編)。幾何学的群論。pp. 249–282。arXiv : 1402.0962。Bibcode :2014arXiv1402.0962G 。