微分同相写像

数学において、微分同相写像とは、微分可能な多様体の同型写像のことである。これは、ある微分可能な多様体を別の微分可能な多様体に写像する可逆関数であり、その関数とその逆関数はともに連続的に微分可能である。

2つの微分可能な多様体が与えられた${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$連続的に微分可能な写像${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$が全単射で、その逆写像である場合、それは微分同相写像である。${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$も微分可能です。これらの関数が${\displaystyle r}$連続的に微分可能、${\displaystyle f}$ と呼ばれる${\displaystyle C^{r}}$-微分同相写像。

2つの多様体${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$微分同相である（通常は${\displaystyle M\simeq N}$微分同相写像が存在する場合${\displaystyle f}$から${\displaystyle M}$に${\displaystyle N}$。 二${\displaystyle C^{r}}$微分可能な多様体は${\displaystyle C^{r}}$-微分同相${\displaystyle r}$それらの間の連続微分可能な全単射写像であり、その逆写像もまた${\displaystyle r}$連続的に微分可能。${\displaystyle C^{1}}$-微分同相写像は単に微分同相写像であり、${\displaystyle C^{0}}$微分同相写像は同相写像である。

部分集合が与えられた場合${\displaystyle X}$多様体の${\displaystyle M}$そしてその部分集合${\displaystyle Y}$多様体の${\displaystyle N}$関数${\displaystyle f:X\to Y}$すべての${\displaystyle p}$で${\displaystyle X}$近隣地域があります${\displaystyle U\subset M}$の${\displaystyle p}$そしてスムーズな機能${\displaystyle g:U\to N}$制約が一致するように：${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$（ご了承ください${\displaystyle g}$は拡張です${\displaystyle f}$) 関数${\displaystyle f}$が全単射で滑らかであり、かつその逆写像が滑らかである場合、それは微分同相写像であると言われる。

微分可能な写像が微分同相写像であるかどうかを、いくつかの緩やかな制約の下で局所的にテストすることができます。これがアダマール・カチョッポリの定理です。^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$は連結した開部分集合である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle V}$単純に連結された、微分可能なマップ${\displaystyle f:U\to V}$微分同相写像は、それが適切であり、かつ微分が${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$各点において全単射（したがって線形同型）である${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$。

いくつか補足事項があります。

それは不可欠です${\displaystyle V}$機能のために簡単に接続する${\displaystyle f}$（導関数が各点で全単射写像であるという唯一の条件の下で）大域的に可逆であること。例えば、複素二乗関数の「実現」を考えてみよう。

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

それから${\displaystyle f}$は全射であり、

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

したがって、${\displaystyle Df_{x}}$各点において全単射である。${\displaystyle f}$は単射ではないため、可逆ではありません（例：${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$)

（微分可能な関数の場合）ある点における微分は

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

は線形写像であり、 が明確に定義された逆写像を持つのは、 の場合に限る。${\displaystyle Df_{x}}$は全単射です。${\displaystyle Df_{x}}$は${\displaystyle n\times n}$1 階偏導関数の行列の要素は${\displaystyle i}$-行目と${\displaystyle j}$- 番目の列は$\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$このいわゆるヤコビ行列は、明示的な計算によく用いられます。

微分同相写像は必ず同じ次元の多様体間で行われる。${\displaystyle f}$次元から${\displaystyle n}$寸法に合わせて${\displaystyle k}$。 もし${\displaystyle n<k}$それから${\displaystyle Df_{x}}$全射になることは決してなく、もし${\displaystyle n>k}$それから${\displaystyle Df_{x}}$単射になることは決してない。したがって、どちらの場合も、${\displaystyle Df_{x}}$全単射ではない。

もし${\displaystyle Df_{x}}$は全単射である${\displaystyle x}$それから${\displaystyle f}$は局所微分同相写像であると言われている（連続性により、${\displaystyle Df_{y}}$すべての場合において全単射となる${\displaystyle y}$十分に近い${\displaystyle x}$)

次元からの滑らかなマップが与えられた${\displaystyle n}$寸法に合わせて${\displaystyle k}$、 もし${\displaystyle Df}$（または、ローカルでは、${\displaystyle Df_{x}}$) は全射である。${\displaystyle f}$は水没（または、局所的には「局所的な水没」）であると言われ、もし${\displaystyle Df}$（または、ローカルでは、${\displaystyle Df_{x}}$) は単射であり、${\displaystyle f}$これは没入体験（または、地域によっては「ローカル没入体験」）であると言われています。

微分可能な全単射は、必ずしも微分同相写像ではない。${\displaystyle f(x)=x^{3}}$例えば、はからの微分同相写像ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$0 において導関数がゼロになるため（したがって逆関数も 0 において微分不可能）、同相写像はそれ自身に比例します。これは、微分同相写像ではない同相写像の例です。

いつ${\displaystyle f}$は微分可能多様体間の写像であり、微分同相写像である。${\displaystyle f}$同相よりも強い条件である${\displaystyle f}$微分同相写像の場合、${\displaystyle f}$また、その逆写像は微分可能である必要がある。同相写像の場合、${\displaystyle f}$そしてその逆写像は連続であればよい。すべての微分同相写像は同相写像であるが、すべての同相写像が微分同相写像であるとは限らない。

${\displaystyle f:M\to N}$は、座標チャートにおいて上記の定義を満たす場合、微分同相写像である。より正確には、任意のカバーを選択する。${\displaystyle M}$互換性のある座標チャートを使用して、同様に${\displaystyle N}$。 させて${\displaystyle \phi }$そして${\displaystyle \psi }$それぞれ、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$、 と${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$それぞれ、${\displaystyle \phi }$そして${\displaystyle \psi }$地図${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$は、上記の定義にあるように微分同相写像であり、${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$。

任意の多様体は局所的にパラメータ化できるため、$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$の中へ$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

• させて

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

ヤコビ行列を計算できます。

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列の行列式がゼロになるのは、${\displaystyle xy=0}$我々は、${\displaystyle f}$微分同相写像によってのみ離れることができる${\displaystyle x}$-軸と${\displaystyle y}$-軸。しかし、${\displaystyle f}$は全単射ではないので${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$したがって、それは微分同相写像にはなり得ない。

• させて

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

どこで${\displaystyle a_{i,j}}$そして${\displaystyle b_{i,j}}$は任意の実数であり、省略された項はxとyに関して少なくとも 2 次である。0におけるヤコビ行列を計算できる。

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

gが0における局所微分同相写像であるのは、以下の条件を満たす場合のみで あることがわかります。

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

つまり、 gの成分の線形項は多項式として線形独立である。

• させて

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

ヤコビ行列を計算できます。

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列はどこでも行列式がゼロです! 実際、 hの像は単位円であることがわかります。

させて${\displaystyle M}$は、第２可算かつハウスドルフな微分多様体である。の微分同相群は${\displaystyle M}$すべてのグループ${\displaystyle C^{r}}$微分同相写像${\displaystyle M}$それ自体に、で示される$\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$または、${\displaystyle r}$理解されている、$\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$これは、次の意味で「大きな」グループです。${\displaystyle M}$はゼロ次元ではない。つまり、局所的にコンパクトではない。

すべての微分同相写像は同相写像であるため、互いに微分同相な多様体のペアが与えられた場合、それらは特に互いに同相である。一般に、その逆は成り立たない。

同相写像であって微分同相写像ではないものを見つけるのは容易ですが、同相多様体であって微分同相ではないものを見つけるのはより困難です。 1、2、3 次元では、同相な滑らかな多様体の任意のペアは微分同相です。 4 次元以上では、同相ではあるが微分同相ではないペアの例が存在します。そのような最初の例は、ジョン・ミルナーによって7 次元で構築されました。彼は、標準的な 7 次元球面と同相であるが微分同相ではない滑らかな 7 次元多様体 (現在ミルナー球面と呼ばれています) を構築しました。実際には、7 次元球面と同相な多様体の向き付けられた微分同相クラスが 28 個あります (それぞれは、3 次元球面をファイバーとする4 次元球面上のファイバー束の全空間です)。

4次元多様体では、さらに珍しい現象が発生する。1980年代初頭、サイモン・ドナルドソンとマイケル・フリードマンによる研究成果の組み合わせにより、エキゾチックな現象が発見された。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$:ペアワイズ非微分同相な開部分集合は数えきれないほど存在する${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$それぞれが同形である${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$また、 と同相な、互いに微分同相でない微分可能多様体は数えきれないほど存在する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$スムーズに埋め込まれない${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$。

• アノソフ微分同相写像（アーノルドの猫写像など）
• ディフェオ異常（重力異常とも呼ばれる）は、量子力学における異常の一種である。
• 微分学とは、集合上の滑らかなパラメータ化であり、微分空間を構成する。
• 微分形態計測法、計算解剖学における形状と形態の計測学的研究
• エタール射
• 大きな微分同相写像
• 局所微分同相写像
• 超微分同相写像

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