フラクタル次元

11.5 × 200 km = 2300 km

28 × 100 km = 2800 km

70 × 50 km = 3500 km

図1。測定棒の長さをどんどん小さくしていくと、測定される海岸線の全長は増加する（海岸線のパラドックスを参照）。

幾何学的測度論では、フラクタル次元によってパターンの複雑さの一貫した統計的指標が得られます。フラクタルパターンはスケールによって変化する可能性があるため、非整数（フラクタル）次元で空間充填容量を測定することが可能です。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

「フラクタル次元」という概念自体は数学において長い歴史を持つが、この用語自体は、 1967年の自己相似性に関する論文で分数次元について論じたブノワ・マンデルブロによって前面に押し出された。^{[ 4 ]}その論文でマンデルブロは、海岸線の測定長さが使用する測定棒の長さに応じて変化するという直感に反する概念を説明したルイス・フライ・リチャードソンの以前の研究を引用した（図1参照）。この概念に関して言えば、海岸線のフラクタル次元は、海岸線を測定するために必要なスケール付き測定棒の数が、棒に適用するスケールに応じてどのように変化するかを定量化する。^{[ 5 ]}スケールの変化に伴う詳細の変化というこの基本概念に基づいて構築されたフラクタル次元の正式な数学的定義がいくつかある。§以下の例を参照。  

最終的に、マンデルブロ自身が作った用語である「フラクタル」の意味を最も的確に表現できる表現として、「フラクタル次元」という用語が定着しました。数年にわたる試行錯誤の末、マンデルブロは「厳密な定義なしにフラクタルを用い、あらゆる変種に適用できる一般的な用語としてフラクタル次元を用いる」という表現に落ち着きました。 ^{[ 6 ]}

非自明な例の 1 つは、コッホ雪片のフラクタル次元です。位相次元は 1 ですが、決して整列可能ではありません。コッホ雪片上の任意の 2 点間の曲線の長さは無限です。その小さな断片は線状ではなく、異なる角度で結合された無限の数のセグメントで構成されています。曲線のフラクタル次元は、フラクタル線を、1 次元にするには詳細すぎるが、2 次元にするには単純すぎるオブジェクトと考えることで直感的に説明できます。^{[ 7 ]}したがって、その次元は、通常の位相次元である 1 ではなく、1 から 2 の間の数値であることが多いフラクタル次元によって最もよく説明される可能性があります。コッホ雪片の場合、それは約 1.2619 です。

フラクタル次元は、詳細の変化とスケールの変化の比率として複雑さを定量化することにより、フラクタルパターンまたはセットを特徴付けるための指標です。 ^{[ 5 ] : 1}いくつかの種類のフラクタル次元は、理論的にも経験的にも測定できます（図2を参照）。^{[ 3 ] [ 9 ]}フラクタル次元は、抽象的なもの^{[ 1 ] [ 3 ]}から、乱流^{[ 5 ] : 97–104}河川ネットワーク^{: 246–247}都市の成長^{[ 10 ] [ 11 ]}人間の生理学^{[ 12 ] [ 13 ]}医学^{[ 9 ]}や市場動向などの実用的な現象まで、幅広い対象を特徴付けるために使用されます。^{[ 14 ]}分数次元またはフラクタル次元の基本的な考え方は、1600 年代に遡る数学の長い歴史を持っていますが、^{[ 5 ] : 19 [ 15 ]}フラクタルおよびフラクタル次元という用語は、1975 年に数学者のブノワ・マンデルブロによって造語されました。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 14 ] [ 16 ]} 

フラクタル次元は、当初、全体像よりも詳細が重要であると思われる複雑な幾何学的形状を特徴付ける指標として適用されました。^{[ 16 ]}通常の幾何学的形状を表す集合の場合、理論的なフラクタル次元は、その集合のよく知られたユークリッド次元または位相次元に等しくなります。したがって、点を表す集合（0 次元の集合）の場合は 0、線を表す集合（長さのみを持つ 1 次元の集合）の場合は 1、曲面を表す集合（長さと幅を持つ 2 次元の集合）の場合は 2、体積を表す集合（長さ、幅、高さを持つ 3 次元の集合）の場合は 3 となります。しかし、フラクタル集合の場合はこれが変わります。集合の理論的なフラクタル次元がその位相次元を超える場合、その集合はフラクタル幾何学を持つとみなされます。^{[ 17 ]}

位相次元とは異なり、フラクタル指数は非整数値をとることができ、^{[ 18 ]}これは、集合が通常の幾何学的集合とは質的にも量的にも異なる方法で空間を埋め尽くすことを示しています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}例えば、フラクタル次元が 1 に非常に近い、例えば 1.10 の曲線は、通常の直線と非常によく似た振る舞いをしますが、フラクタル次元が 1.9 の曲線は、空間を曲面のように複雑に曲がりくねって進みます。同様に、フラクタル次元が 2.1 の曲面は通常の曲面と非常によく似た方法で空間を埋め尽くしますが、フラクタル次元が 2.9 の曲面は折り畳まれ、流れて、空間を体積のように埋め尽くします。^{[ 17 ] : 48 [注 1 ]}この一般的な関係は、図2と図3の2 つのフラクタル曲線の画像で確認できます。図 2 の 32 セグメントの輪郭は、複雑で空間を埋め尽くしており、フラクタル次元は 1.67 ですが、図 3 の明らかに複雑さの低いコッホ曲線のフラクタル次元は約 1.2619 です。     

フラクタル次元の増加と空間充填の関係は、フラクタル次元が密度を測定することを意味すると解釈されるかもしれないが、そうではない。両者は厳密には相関していない。^{[ 8 ]}代わりに、フラクタル次元は複雑さを測定する。複雑さは、フラクタルの特定の重要な特徴、すなわち自己相似性と詳細または不規則性に関連する概念である。^{[注2 ]}これらの特徴は、2 つのフラクタル曲線の例で明らかである。どちらも位相次元が 1 の曲線なので、通常の曲線と同じ方法で長さと導関数を測定できると期待されるかもしれない。しかし、フラクタル曲線は通常の曲線にはない自己相似性と詳細という形で複雑さを持っているため、これらのどちらも行うことはできない。^{[ 5 ]}自己相似性は無限のスケーリングにあり、詳細は各セットの定義要素にある。これらの曲線上の任意の2点間の長さは、2点がどれほど接近していても無限大であり、つまり、曲線を多数の小さなセグメントに分割することによって、このような曲線の長さを近似することは不可能です。^{[ 19 ]}より小さな各部分は、最初の反復とまったく同じように見える無限個の拡大縮小されたセグメントで構成されています。これらは整流可能な曲線ではないため、それぞれの長さを近似する多数のセグメントに分割することによって測定することはできません。長さや導関数を求めることによって意味のある特徴付けをすることはできません。しかし、フラクタル次元を決定することができ、これは両方とも通常の線よりも空間を多く満たしますが、曲面よりも少なく満たすことを示しており、この点で比較することができます。

上で説明した 2 つのフラクタル曲線は、容易に視覚化できる繰り返し単位の詳細と完全に一致する自己相似性を示しています。この種の構造は他の空間にも拡張できます (たとえば、コッホ曲線を 3D 空間に拡張したフラクタルは、理論上のD = 2.5849 を持ちます)。しかし、このようにきれいに数えられる複雑さは、フラクタルに存在する自己相似性と詳細の 1 つの例にすぎません。^{[ 3 ] [ 14 ]}たとえば、英国の海岸線の例では、近似的なスケールで近似的なパターンの自己相似性を示しています。^{[ 5 ] : 26}全体として、フラクタルは、容易に視覚化できないいくつかの種類と程度の自己相似性と詳細を示しています。例としては、本質的に滑らかな部分が積み重なったものとして詳細に説明されているストレンジアトラクター^{[ 17 ] : 49} 、複雑な渦巻きが幾重にも重なったものとして見ることができるジュリア集合、そして時間とともに繰り返され、スケールが変化する粗いスパイクのパターンである心拍数などが挙げられる^{[ 20 ]} 。フラクタルの複雑さは、複雑な解析手法を用いなければ、必ずしも容易に理解できる詳細とスケールの単位に分解できるとは限らないが、フラクタル次元によって定量化することは可能である^{[ 5 ] : 197, 262 。}

フラクタル次元とフラクタルという用語は、マンデルブロが1975年に造語したもので、これは彼がイギリスの海岸線の自己相似性に関する論文を発表してから約10年後のことである。^{[ 16 ]さまざまな歴史家は、彼が何世紀にもわたる複雑な理論数学と工学の研究を統合し、通常の線形用語では記述できない複雑な幾何学を研究するために新しい方法で応用したことを認めている。 [ 15 ] [ 21 ] [ 22 ]}マンデルブロがフラクタル次元として統合したものの最も古いルーツは、 1600年代半ばに微積分が発見された頃の、フラクタルの数学的定義において重要な、微分不可能な無限自己相似関数に関する記述に明確に遡ることができる。 ^{[ 5 ] : 405}その後しばらくの間、そのような関数に関する出版された研究は停滞したが、1800 年代後半に、今日では正準フラクタルと呼ばれる数学関数や集合（フォン・コッホ、 [ ^{19 ]シェル}ピンスキー、ジュリアの同名の作品など）の出版とともに再開した。しかし、それらが定式化された当時は、しばしば正反対の数学的「怪物」と見なされていた。^{[ 15 ] [ 22 ]}これらの研究は、1900 年代初頭のハウスドルフの研究を通して、フラクタル次元の概念の発展においておそらく最も重要なポイントとなった。ハウスドルフは、彼の名にちなんで名付けられ、現代のフラクタルを定義する際に頻繁に引用される「分数」次元を定義した。^{[ 4 ] [ 5 ] : 44 [ 17 ] [ 21 ]}

フラクタルの歴史については、こちらをご覧ください。

フラクタル次元の数学的定義は、スケーリングによる測定値の変化に対する従来の次元の影響を観察し、それを一般化することによって導き出すことができます。^{[ 24 ]}例えば、同じ長さの線と測定棒があるとします。ここで、測定棒を元のサイズの 1/3 に縮小すると、 線の中に 3 本の測定棒を収めることができます。同様に、2 次元では、正方形と同一の「測定正方形」があるとします。ここで、測定正方形の一辺を元の長さの 1/3 に縮小すると、 正方形の中に 3^2 = 9 個の測定正方形を収めることができます。このようなよく知られたスケーリング関係は、式( 1 )に従います。  ${\displaystyle \varepsilon }$はスケーリング係数です。${\displaystyle D}$寸法、そして${\displaystyle N}$測定対象物に含まれる単位（棒、正方形など）の数：

線例では、寸法${\displaystyle D=1}$なぜなら${\displaystyle N=3}$スケーリング係数の単位${\displaystyle \varepsilon =1/3}$正方形の例では、${\displaystyle D=2}$なぜなら${\displaystyle N=9}$いつ${\displaystyle \varepsilon =1/3}$。

フラクタル次元は、分数になり得るという点で従来の次元を一般化したものですが、スケーリングとの関係は従来の次元と全く同じです。実際、式（1）を単純に並べ替えることで導出されます。

${\displaystyle D}$これは、ある「半径」のスケーリングを前提とした、物体の測定値のスケーリング係数のべき乗と考えることができる。

例えば、コッホ雪片は${\displaystyle D=1.26185\ldots }$これは、半径を長くすると、1 次元の形状 (多角形など) の場合よりも速く寸法が増加するが、2 次元の形状 (塗りつぶされた多角形など) の場合よりも遅く増加することを示しています。^{[ 3 ]}

なお、このページに表示されている画像は、スケーリングによって真のフラクタルではありません。${\displaystyle D}$最小構成要素であるピクセルを超えて続けることはできません。しかし、画像が表す理論上のパターンは、離散的なピクセルのような部分を持っておらず、無限に拡大縮小されたセグメントの無限の数で構成されており、主張されているフラクタル次元を実際に持っています。^{[ 5 ] [ 24 ]}

線、正方形、立方体に対して決定された寸法の場合と同様に、フラクタル次元はパターンを一意に定義しない一般的な記述子です。^{[ 24 ] [ 25 ]}例えば、上で説明したコッホ フラクタルのDの値は、パターンの固有のスケーリングを定量化しますが、それを一意に記述したり、再構築するのに十分な情報を提供したりするものではありません。図 6に示すように、同じスケーリング関係を持ちながらコッホ曲線とは劇的に異なる多くのフラクタル構造またはパターンを構築することができます。

フラクタルパターンの構築方法の例については、フラクタル、シェルピンスキー三角形、マンデルブロ集合、拡散制限凝集、Lシステムを参照してください。

フラクタルの概念は、表面科学の分野でますます応用されており、表面特性と機能特性の間の橋渡しとなっています。^{[ 26 ]}名目上平坦な表面の構造を解釈するために多数の表面記述子が使用されており、多くの場合、複数の長さスケールにわたって自己相似特性を示します。平均表面粗さ（通常 R _Aと表記）は最も一般的に使用される表面記述子ですが、平均傾斜、二乗平均平方根粗さ（R _RMS）など、他の多数の記述子も定期的に使用されています。しかし、多くの物理的な表面現象は、このような記述子を参照して容易に解釈できないことがわかっているため、スケーリング挙動と性能の観点から表面構造間の相関を確立するためにフラクタル次元がますます使用されています。^{[ 27 ]}表面のフラクタル次元は、接触力学、^{[ 28 ]}摩擦挙動、^{[ 29 ]}電気接触抵抗^{[ 30 ]}、透明導電性酸化物^{[ 31 ]}の分野の現象を説明し、よりよく理解するために使用されています。

本稿で説明するフラクタル次元の概念は、複雑な構造の基本的な見方です。ここで取り上げる例は分かりやすさを考慮して選ばれたものであり、スケーリング単位と比率は事前に分かっています。しかし実際には、フラクタル次元は、サイズとスケールの対数-対数プロット上の回帰直線から推定される限界値からスケーリングと詳細を近似する手法を用いて決定できます。以下に、さまざまな種類のフラクタル次元のいくつかの正式な数学的定義を示します。正確なアフィン自己相似性を持つコンパクト集合の場合、これらの次元はすべて一致しますが、一般には等価ではありません。

• ボックスカウンティング次元は、べき乗則の指数として推定される。

  ${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• 情報次元は、占有されたボックスを識別するために必要な平均情報量がボックスのサイズに応じてどのように変化するかを考慮します（${\displaystyle p}$確率です):

  ${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• 相関次元は以下に基づいています${\displaystyle M}$フラクタルの表現を生成するために使用される点の数と、 _εよりも互いに近い点のペアの数をgεとする。

  ${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.}$

• 一般化次元、またはレニー次元：ボックスカウンティング次元、情報次元、および相関次元は、次数αの 一般化次元の連続スペクトルの特殊なケースと見なすことができ、それは次のように定義される。

  ${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.}$

• 樋口寸法^{[ 32 ]}

  ${\displaystyle D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.}$

• リャプノフ次元
• 多重フラクタル次元：レニー次元の特殊なケースで、パターンの異なる部分でスケーリング挙動が変化する。
• 不確実性指数
• ハウスドルフ次元：任意の部分集合に対して${\displaystyle S}$距離空間の${\displaystyle X}$そして$d ≥ 0$Sのd次元ハウスドルフ内容は次のように定義される。$${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{半径 }}r_{i}>0{\Bigr \}} の球による S{\text{ の被覆が存在する。}$$Sのハウスドルフ次元は次のように定義される。

  ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• 梱包寸法
• アスアド次元
• 局所連結次元^{[ 33 ]}
• 次数次元は、グラフの次数分布のフラクタルな性質を表します。^{[ 34 ]}
• 放物線状のハウスドルフ次元

現実世界の多くの現象は、限定的または統計的なフラクタル特性を示し、コンピュータベースのフラクタル解析技術を用いてサンプリングデータからフラクタル次元が推定されている。実際には、フラクタル次元の測定は様々な方法論上の問題の影響を受けやすく、数値的または実験的なノイズやデータ量の制限に敏感である。それにもかかわらず、統計的に自己相似な現象の推定フラクタル次元は、天文学^{[ 35 ]}、音響学^{[ 36 ] [ 37 ]}、建築学^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} 、地質学および地球科学^{[ 41 ]} 、診断画像処理^{[ 42 ][43 ] [44]、生態学[ 45 ]} 、電気化学プロセス[46]、^画像 解析^{[ 47][48][49][50 ] 、生物学および医学[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}、神経科学^{[ 54 ] [ 13 ]} 、ネットワーク解析、生理学^{[ 12 ]}、物理学^{[ 55 ] [ 56 ]} 、リーマンゼータ零点^{など、さまざま}な^{分野で多くの実用的な応用があるため}、この分野は^{急速に成長}しています。^{[ 57 ]}フラクタル次元の推定値は、心理音響学や神経科学の実世界のデータセットにおいて、レンペル・ジブ複雑性と相関することが示されている。 ^{[ 54 ] [ 36 ]}

直接測定の代替手段として、現実世界のフラクタル物体の形成に似た数学モデルを検討する方法がある。この場合、モデルによって示唆されるフラクタル特性以外の特性を測定データと比較することによって検証することもできる。コロイド物理学では、さまざまなフラクタル次元を持つ粒子で構成されるシステムが生じる。これらのシステムを記述するには、フラクタル次元の分布、そして最終的には後者の時間的変化について話すのが便利である。これは、凝集と合体の間の複雑な相互作用によって駆動されるプロセスである。^{[ 58 ]}

• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト
• ラキュナリティ– 幾何学およびフラクタル解析における用語 
• フラクタル微分– フラクタルへの微分の一般化 

• マンデルブロ、ブノワ・B.、ハドソン、リチャード・L. (2010) 『市場の（誤った）振る舞い：リスク、破滅、報酬のフラクタル的視点』プロファイルブックス。ISBN 978-1-84765-155-6。

• TruSoft社のフラクタル解析ソフトウェア製品であるBenoitは、フラクタル次元とハースト指数を計算します。
• フラクタル次元を計算するJavaアプレット（ 2011年1月26日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• フラクタル解析入門
• Bowley, Roger (2009). "Fractal Dimension" . Sixty Symbols . Brady Haran for the University of Nottingham .
• 「フラクタルは通常、自己相似ではない」。3Blue1Brown 。