台形

台形（アメリカ英語）
台形（イギリス英語）
台形（アメリカ英語）; 台形（イギリス英語）
	台形または台形
タイプ	四角形
エッジと頂点	4
エリア
プロパティ	凸状の

幾何学において、台形（台形、北米英語では/ ˈ t r æ p ə z ɔɪ d /）、またはイギリス英語ではトラペジウム（台形、 / t r ə ˈ p iː z i ə m /） [ ^1]^[2]は、 1組の平行な辺を持つ四辺形です。

平行な辺は台形の底辺と呼ばれます。他の2辺は、平行でない場合は脚（または側面）と呼ばれます。それ以外の場合、台形は平行四辺形であり、底辺は2組あります。不等辺台形は、以下の特殊なケースとは対照的に、等しい長さの辺を持たない台形です^[3]。

台形は通常、ユークリッド幾何学では凸四辺形であると考えられていますが、交差する場合もあります。ABCD が凸台形の場合、 ABDCは交差台形です。この記事の測定公式は凸台形に適用されます。

語源と台形対台形

古代ギリシャの数学者ユークリッドは5種類の四辺形を定義したが、そのうち4種類は2組の平行な辺を持つもの（英語ではsquare、rectangular、rhombus、rhomboidとして知られる）で、最後の1種類は2組の平行な辺を持たないもの、つまりτραπέζια（trapezia ^[5]文字通り「テーブル」で、τετράς ( tetrás )「4」+πέζα ( péza )「足、端、境界、縁」から来ている）であった。^[6]

プロクロス（紀元412年 - 485年）はユークリッドの原論第一巻の注釈の中で2種類の台形を導入した。^[4]^[7]

一対の平行な辺 -台形(τραπέζιον)、二等辺 (等しい脚) と不等辺 (不等脚) 台形に分かれる
平行な辺がない -台形（τραπεζοειδή, trapezoeidé、文字通り「台形のような」（εἶδος は「似ている」を意味する）、cuboid が「立方体のような」、rhomboid が「菱形のような」を意味するのと同じように）

ヨーロッパの言語はすべてプロクルスの構造に従っている^[7]^[8]。18世紀後半まで英語もそうだったが、 1795年にチャールズ・ハットンが出版した影響力のある数学辞典が、説明なしに用語の転置を支持した。これは1875年頃にイギリス英語で逆転したが、アメリカ英語では現在まで維持されている。^[4]

次の表は、使用法を比較したものです。上部に最も具体的な定義、下部に最も一般的な定義が示されています。

包括的定義と排他的定義

2 組の平行な辺を持つ平行四辺形を台形とみなすべきかどうかについては意見の相違があります。

台形を、平行な辺が1組しかない四辺形（排他的定義）と定義し、平行四辺形を除外する人もいます。^{[11]一部の資料では、排他的定義の台形を表すために「}適切な台形」という用語を使用していますが、これは他の数学的対象における「適切な」という単語の用法に似ています。 ^[12]

他の研究者^[13]^{[検証失敗]}は、台形を少なくとも1組の平行な辺を持つ四辺形（包括的定義^{[14] ）と定義し、平行四辺形を台形の特別なタイプとしています。後者の定義は、}微積分などの高等数学での使用と一致しています。この記事では包括的定義を使用し、平行四辺形を台形の特別なケースと見なしています。これは四辺形の分類でも提唱されています。

包括的定義によれば、すべての平行四辺形（菱形、正方形、正方形でない長方形を含む）は台形です。長方形は中間辺で鏡面対称性を持ち、菱形は頂点で鏡面対称性を持ち、正方形は中間辺と頂点の両方で鏡面対称性を持ちます。

特別なケース

直角台形（直角台形とも呼ばれる）は、隣接する2つの直角を持ちます。^[13]直角台形は、曲線の下の面積を推定するための台形法則で使用されます。

鋭角台形は、長い方の底辺に 2 つの隣接する鋭角を持ちます。

一方、鈍角台形は、各底辺に 1 つの鋭角と 1 つの鈍角を持ちます。

等脚台形は、底角が同じ大きさの台形です。その結果、2 つの脚の長さも等しく、鏡映対称性があります。これは、鋭角台形または直角台形 (長方形など) で可能です。

平行四辺形は（包括的な定義によれば）2 組の平行な辺を持つ台形です。平行四辺形は中心 2 回回転対称性（または点反射対称性）を持ちます。鈍角台形や直角台形（長方形）でも可能です。

接線台形は内接円を持つ台形です。

サッケリ四辺形は、双曲面では台形に似ており、隣接する 2 つの直角を持ちますが、ユークリッド平面では長方形です。双曲面のランバート四辺形には 3 つの直角があります。

存在の条件

4つの長さa、c、b、dは、 aとbが平行である非平行四辺形台形の連続する辺を構成できるのは、 ^[15]の場合のみです。

\displaystyle |dc|<|ba|<d+c.

四辺形はのときは平行四辺形ですが、のときは接線外四辺形（台形ではない）です。^[16]^{: p. 35} $dc=ba=0$ $|dc|=|ba|\neq 0$

特徴

凸四辺形が与えられた場合、次の特性は同等であり、それぞれ四辺形が台形であることを意味します。

2 つの隣接する角度は補角であり、合計すると 180度になります。
ある辺と対角線の間の角度は、反対側の辺と同じ対角線の間の角度に等しくなります。
対角線は互いに同じ比率で切断されます（この比率は平行な辺の長さ間の比率と同じです）。
対角線は四辺形を４つの三角形に分割し、そのうちの１つの向かい合う三角形の面積は等しい。^[16]^{: 命題5}
一方の対角線によって形成される２つの三角形の面積の積は、もう一方の対角線によって形成される２つの三角形の面積の積に等しい。^[16]^{: Thm.6}
対角線によって形成される4つの三角形のうち、向かい合う2つの三角形の面積SとTは、次の式を満たす。

{\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},

ここでKは四辺形の面積である。^[16]^{: Thm.8}

台形の２辺の中点と対角線の交点は同一直線上にある。^[16]^{: Thm.15}
四辺形ABCDの角度は^[16]を満たす^：p.25 $\sin A\sin C=\sin B\sin D.$
隣接する2つの角度の余弦の合計は0になり、他の2つの角度の余弦の合計も0になります。^[16]^{: p. 25}
隣接する2つの角度のコタンジェントの合計は0になり、他の隣接する2つの角度のコタンジェントの合計も0になります。^[16]^{：p. 26}
一つの二中線は四辺形を二つの等しい面積の四辺形に分割する。^[16]^{: p. 26}
二つの対辺の中点を結ぶ二中線の長さの2倍は、他の辺の長さの合計に等しい。^[16]^{: p. 31}

さらに、次の特性は同等であり、それぞれ反対側の辺aとbが平行であることを意味します。

連続する辺a、c、b、dと対角線p、qは次式を満たす^[16]^：Cor.11

p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.

対角線の中点間の距離vは次式を満たす^[16]^：Thm.12

v={\frac {|ab|}{2}}.

胴体中央部と高さ

台形の中線（正中線とも呼ばれる）は、台形の脚の中点を結ぶ線分である。台形の底辺と平行である。台形の中線の長さmは、台形の底辺aと底辺bの長さの平均に等しい。^[13]

m={\frac {a+b}{2}}.

台形の中線は、2 つの双中線のうちの 1 つです(もう 1 つの双中線は台形を等しい面積に分割します)。

高さ（または高度）は、底辺間の垂直距離です。2つの底辺の長さが異なる場合（a ≠ b）、台形の高さhは、式^[13]を使用して4辺の長さで決定できます。

h={\frac {\sqrt {(pa)(pb)(pbd)(pbc)}}{2|ba|}}

ここで、cとd はそれぞれ脚の長さ、です。 $p=a+b+c+d$

エリア

台形の面積Kは^{[13]で与えられる。}

K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh

ここで、aとbは平行な辺の長さ、hは高さ (これらの辺の間の垂直距離)、m は2 つの平行な辺の長さの算術平均です。 499 年、インド数学とインド天文学の古典時代の偉大な数学者であり天文学者であるアリヤバータは、この方法を『アリヤバーティヤ』 (セクション 2.8) で使用しました。これにより、三角形を、平行な辺の 1 つが 1 点に縮小した退化した台形と見なすことで、特殊なケースとして、三角形の面積のよく知られた公式が得られます。

7 世紀のインドの数学者バースカラ 1 世は、連続する辺a、c、b、dを持つ台形の面積について次の公式を導き出しました。

K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}

ここでaとbは平行でb > aである。^[17]この式はより対称的なバージョンに分解することができる^[13]

K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.

平行な辺の 1 つが点 ( a = 0 とします) に縮小すると、この式は三角形の面積に関するヘロンの公式に簡略化されます。

ヘロンの公式によく似た面積の別の同等の式は^{[13]である。}

K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}

ここで、は台形の半周長です。(この公式はBrahmagupta の公式に似ていますが、台形は円周ではない(円に内接しない)可能性がある点で異なります。この公式は、一般的な四辺形に対するBretschneider の公式の特殊なケースでもあります)。 $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

ブレトシュナイダーの公式から、

K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.

平行な辺を結ぶ二中線は面積を二等分します。

対角線

対角線の長さは^[13]

p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},

q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}

ここで、aは短底、bは長底、cとd は台形の脚です。

台形を対角線ACとBDで 4 つの三角形に分割し(右図参照)、交差するOとすると、 AODの面積はBOCの面積に等しく、 AODとBOCの面積の積はAOBとCODの面積に等しくなります。隣接する三角形の各ペアの面積の比は、平行な辺の長さの比と同じです。^[13] $\triangle$ $\triangle$ $\triangle$ $\triangle$ $\triangle$ $\triangle$

台形が頂点A、B、C、D を順に持ち、平行な辺ABとDCを持つとする。対角線の交点をEとし、辺DA上にF、辺BC上にG があり、 FEG がABとCDに平行であるとする。するとFG はABとDCの調和平均となる。^[18]

{\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).

延長された非平行な辺の交点と対角線の交点の両方を通る線は、各底辺を二等分する。^[19]

その他のプロパティ

面積の中心（均一な薄板の質量の中心）は、平行な辺の中点を結ぶ線分上にあり、長辺bから垂直距離xに位置し、 ^[20]で与えられる。

x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).

面積の中心は、この部分を（短辺から長辺にかけて）の比率で分割します^[21]^：p.862

{\frac {a+2b}{2a+b}}.

角Aと角Bの二等分線がPで交差し、角Cと角Dの二等分線がQで交差する場合、^[19]

PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.

アプリケーション

建築

建築学では、この言葉はエジプト風に、基部が広く上部に向かって細くなる対称的なドア、窓、建物を指すために使用される。これらが直線の側面と鋭角な角を持つ場合、その形状は通常等脚台形である。これはインカのドアと窓の標準的なスタイルであった。^[22]

幾何学

交差はしご問題とは、対角線の長さと垂直の辺から対角線の交点までの距離が与えられた場合に、直角台形の平行な辺間の距離を求める問題です。

生物学

形態学、分類学、その他の形状を表す用語が必要な記述学の分野では、台形や台形形などの用語は、特定の器官や形態を説明する際によく使用されます。^[23]

コンピュータ工学

コンピュータエンジニアリング、特にデジタルロジックとコンピュータアーキテクチャでは、台形はマルチプレクサを表すためによく使用されます。マルチプレクサは、複数の要素から選択し、選択した信号に基づいて単一の出力を生成するロジック要素です。一般的な設計では、台形は普遍的に同等であるため、マルチプレクサであることを特に示さずに使用されます。

参照

台形の面を持つ立体、錐台
ポライト数、台形数とも呼ばれる
くさび形は、2 つの三角形と 3 つの台形の面で定義される多面体です。

参考文献

^ 「台形 - 数学用語の定義 - Math Open Reference」www.mathopenref.com . 2024年5月15日閲覧。
^ AD Gardiner & CJ Bradley、「平面ユークリッド幾何学：理論と問題」、UKMT、2005年、34ページ。
^ 「四辺形の種類」。Basic -mathematics.com。
^ abc James AH Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. Vol. X. Clarendon Press at Oxford. p. 286 (台形)。ユークリッド (紀元前 300 年頃) とともに、τραπέζιον は正方形、長方形、菱形、菱形以外のすべての四辺形を包含しましたが、台形の多様性には触れませんでした。しかし、450年にユークリッドの『原論』第一巻注釈を書いたプロクロスは、τραπέζιονという名称を2辺が平行な四辺形にのみ使用し、これを2つの平行でない辺（およびその底角）が等しいτραπέζιον ἰσοσκελὲς、二等辺台形と、これらの辺と角が等しくないσκαληνὸν τραπέζιον、不等辺台形に分類した。プロクロスは、平行な辺を持たない四辺形にτραπέζοειδὲς TRAPEZOIDという名称を導入した。この命名法は大陸のすべての言語で保持され、18 世紀後半までイギリスでは一般的であったが、そのときに用語の適用が入れ替わり、プロクルスや他国の現代の幾何学者が特に台形 (フランス語: trapèze、ドイツ語: trapez、ドイツ語: trapezium、イタリア語: trapezio) と呼ぶ図形は、ほとんどのイギリスの著述家の間では台形となり、プロクルスや他の国の台形はトラペジウムとなった。台形のこの変化した意味は、ハットンの 1795 年の数学辞典で「時々」使用されていると説明されている。ハットンは誰が使用したかは述べていないが、残念ながらハットン自身がこの用語を採用して使用したため、彼の辞典が普及の主因となったことは間違いない。しかし、一部の幾何学者はこの用語を元の意味で使い続け、1875 年頃からはこの使用法が一般的である。
^ 「ユークリッド、原論、第1巻、タイプDef、番号22」。www.perseus.tufts.edu。
^ πέζαはπούς「足」のドーリア式およびアルカディア式の形であると言われていますが、「[人間の足の]甲」の意味でのみ記録されており、そこから「端、境界」という意味が生まれます。τράπεζα「テーブル」はホメロス語です。ヘンリー・ジョージ・リデル、ロバート・スコット、ヘンリー・スチュアート・ジョーンズ、『ギリシャ語-英語辞典』、オックスフォード、クラレンドン・プレス（1940年）、sv πέζα、τράπεζα。
^ ab コンウェイ、ジョン H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン=シュトラウス、チャイム（2016 年 4 月 5 日）。『物事の対称性』CRC プレス、p. 286。ISBN 978-1-4398-6489-0。
^ 例: フランス語のトラペーズ、イタリア語のトラペジオ、ポルトガル語のトラペジオ、スペイン語のトラペジオ、ドイツ語のトラペズ、ウクライナ語の「трапеція」、例: 「ラルースのトラペゾイドの定義」。
^ "chambersharrap.co.uk". www.chambersharrap.co.uk。
^ 「1913 年のアメリカにおける台形の定義」。Merriam -Webster オンライン辞書。2007 年 12 月 10 日閲覧。
^ 「math.com のアメリカンスクールの定義」。2008年 4 月 14 日閲覧。
^ ミション、ジェラール・P.「歴史と命名法」。2023年6月9日閲覧。
^ abcdefghi ワイスタイン、エリック W.「台形」.マスワールド。
^ 台形、[1]。2012年2月24日閲覧。
^ Ask Dr. Math (2008)、「辺の長さのみで台形の面積を求める」
^ abcdefghijkl Martin Josefsson、「台形の特徴付け」、Forum Geometricorum、13 (2013) 23-35。
^ TK Puttaswamy、「前近代インドの数学者の数学的業績」、Elsevier、2012年、156ページ。
^ 「数学教育幾何学問題747：台形、対角線、平行線、底辺、中点、相似、調和平均。レベル：高校、優等幾何学、大学、数学教育。遠隔教育」。gogeometry.com 。2024年5月15日閲覧。
^ ab Owen Byer、Felix Lazebnik、Deirdre Smeltzer、「ユークリッド幾何学の方法」、アメリカ数学会、2010年、55ページ。
^ 「一般的な台形の重心、面積、慣性モーメント、極慣性モーメント、回転半径」www.efunda.com 。 2024年5月15日閲覧。
^ Tom M. Apostol およびMamikon A. Mnatsakanian (2004 年 12 月)。「円を囲む図形」(PDF)。American Mathematical Monthly。111 ( 10): 853–863。doi :10.2307/4145094。JSTOR 4145094。2016年 4 月 6日閲覧。
^ 「マチュピチュインカの失われた都市 - インカの幾何学」gogeometry.com . 2018年2月13日閲覧。
^ John L. Capinera (2008年8月11日). Encyclopedia of Entomology. Springer Science & Business Media. pp. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1。

さらに読む

D. Fraivert、A. Sigler、M. Stupel: 台形と凸四辺形の共通の性質

外部リンク

数学百科事典の「台形」
Weisstein、Eric W.「直角台形」。MathWorld。
台形の定義、台形の面積、台形の中心線（インタラクティブアニメーション付き）
elsy.at の台形 (北米): アニメーションコース (構築、円周、面積)
理系学部生のための数値計算法における台形則
Autar Kaw と E. Eric Kalu、「数値計算法とその応用」 (2008)

[1] 「台形 - 数学用語の定義 - Math Open Reference」www.mathopenref.com . 2024年5月15日閲覧。

[2] AD Gardiner & CJ Bradley、「平面ユークリッド幾何学：理論と問題」、UKMT、2005年、34ページ。

[3] 「四辺形の種類」。Basic -mathematics.com。

[oed-4] James AH Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. Vol. X. Clarendon Press at Oxford. p. 286 (台形)。ユークリッド (紀元前 300 年頃) とともに、τραπέζιον は正方形、長方形、菱形、菱形以外のすべての四辺形を包含しましたが、台形の多様性には触れませんでした。しかし、450年にユークリッドの『原論』第一巻注釈を書いたプロクロスは、τραπέζιονという名称を2辺が平行な四辺形にのみ使用し、これを2つの平行でない辺（およびその底角）が等しいτραπέζιον ἰσοσκελὲς、二等辺台形と、これらの辺と角が等しくないσκαληνὸν τραπέζιον、不等辺台形に分類した。プロクロスは、平行な辺を持たない四辺形にτραπέζοειδὲς TRAPEZOIDという名称を導入した。この命名法は大陸のすべての言語で保持され、18 世紀後半までイギリスでは一般的であったが、そのときに用語の適用が入れ替わり、プロクルスや他国の現代の幾何学者が特に台形 (フランス語: trapèze、ドイツ語: trapez、ドイツ語: trapezium、イタリア語: trapezio) と呼ぶ図形は、ほとんどのイギリスの著述家の間では台形となり、プロクルスや他の国の台形はトラペジウムとなった。台形のこの変化した意味は、ハットンの 1795 年の数学辞典で「時々」使用されていると説明されている。ハットンは誰が使用したかは述べていないが、残念ながらハットン自身がこの用語を採用して使用したため、彼の辞典が普及の主因となったことは間違いない。しかし、一部の幾何学者はこの用語を元の意味で使い続け、1875 年頃からはこの使用法が一般的である。

[5] 「ユークリッド、原論、第1巻、タイプDef、番号22」。www.perseus.tufts.edu。

[6] πέζαはπούς「足」のドーリア式およびアルカディア式の形であると言われていますが、「[人間の足の]甲」の意味でのみ記録されており、そこから「端、境界」という意味が生まれます。τράπεζα「テーブル」はホメロス語です。ヘンリー・ジョージ・リデル、ロバート・スコット、ヘンリー・スチュアート・ジョーンズ、『ギリシャ語-英語辞典』、オックスフォード、クラレンドン・プレス（1940年）、sv πέζα、τράπεζα。

[ConwayBurgiel2016-7] コンウェイ、ジョン H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン=シュトラウス、チャイム（2016 年 4 月 5 日）。『物事の対称性』CRC プレス、p. 286。ISBN 978-1-4398-6489-0。

[8] 例: フランス語のトラペーズ、イタリア語のトラペジオ、ポルトガル語のトラペジオ、スペイン語のトラペジオ、ドイツ語のトラペズ、ウクライナ語の「трапеція」、例: 「ラルースのトラペゾイドの定義」。

[9] "chambersharrap.co.uk". www.chambersharrap.co.uk。

[10] 「1913 年のアメリカにおける台形の定義」。Merriam -Webster オンライン辞書。2007 年 12 月 10 日閲覧。

[11] 「math.com のアメリカンスクールの定義」。2008年 4 月 14 日閲覧。

[12] ミション、ジェラール・P.「歴史と命名法」。2023年6月9日閲覧。

[Mathworld-13] ワイスタイン、エリック W.「台形」.マスワールド。

[14] 台形、[1]。2012年2月24日閲覧。

[15] Ask Dr. Math (2008)、「辺の長さのみで台形の面積を求める」

[Josefsson-16] Martin Josefsson、「台形の特徴付け」、Forum Geometricorum、13 (2013) 23-35。

[17] TK Puttaswamy、「前近代インドの数学者の数学的業績」、Elsevier、2012年、156ページ。

[18] 「数学教育幾何学問題747：台形、対角線、平行線、底辺、中点、相似、調和平均。レベル：高校、優等幾何学、大学、数学教育。遠隔教育」。gogeometry.com 。2024年5月15日閲覧。

[Byer-19] Owen Byer、Felix Lazebnik、Deirdre Smeltzer、「ユークリッド幾何学の方法」、アメリカ数学会、2010年、55ページ。

[20] 「一般的な台形の重心、面積、慣性モーメント、極慣性モーメント、回転半径」www.efunda.com 。 2024年5月15日閲覧。

[AM-21] Tom M. Apostol およびMamikon A. Mnatsakanian (2004 年 12 月)。「円を囲む図形」(PDF)。American Mathematical Monthly。111 ( 10): 853–863。doi :10.2307/4145094。JSTOR 4145094。2016年 4 月 6日閲覧。

[22] 「マチュピチュインカの失われた都市 - インカの幾何学」gogeometry.com . 2018年2月13日閲覧。

[Capinera2008-23] John L. Capinera (2008年8月11日). Encyclopedia of Entomology. Springer Science & Business Media. pp. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1。