スタック（数学）

数学において、スタックまたは2 層は、大まかに言えば、集合ではなくカテゴリに値を取る層です。スタックは、降下理論の主要な構成のいくつかを形式化するために、また、細かいモジュライ空間が存在しない 場合に細かいモジュライ スタックを構築するために使用されます。

降下理論は、同型で互換性のある幾何学的オブジェクト (位相空間上のベクトル束など) が位相基底の制限内で「接着」できる状況の一般化に関係しています。より一般的な設定では、制限はプルバックに置き換えられます。ファイバーカテゴリは、そのような接着の可能性を議論するための優れたフレームワークになります。スタックの直感的な意味は、それが「すべての可能な接着が機能する」ファイバー カテゴリであるということです。接着の仕様には、接着を考慮できる被覆の定義が必要です。これらの被覆を記述するための一般的な言語は、グロタンディーク トポロジーであることがわかります。したがって、スタックは、別の基本カテゴリ上のファイバー カテゴリとして正式に与えられます。ここで、基本はグロタンディーク トポロジーを持ち、ファイバー カテゴリは、グロタンディーク トポロジーに関する特定の接着の存在と一意性を保証するいくつかの公理を満たします。

スタックは代数スタック（アルティンスタックとも呼ばれる）とドリーニュ・マンフォードスタックの基礎となる構造であり、スキームと代数空間を一般化し、モジュライ空間の研究に特に役立ちます。包含関係があります。

スキーム ⊆ 代数空間 ⊆ ドリーニュ・マンフォード スタック ⊆ 代数スタック (アルティン スタック) ⊆ スタック。

Edidin (2003) と Fantechi (2001) はスタックの簡単な入門書であり、Gómez (2001)、Olsson (2007)、および Vistoli (2005) はより詳細な入門書であり、Laumon & Moret-Bailly (2000) はより高度な理論について説明しています。

スタックの概念は、グロタンディーク (1959) の有効降下データの定義に由来しています。1959 年にセールに宛てた手紙の中で、グロタンディークは、良好なモジュライ空間を構築する上での根本的な障害は自己同型の存在であると指摘しました。スタックの主な動機は、自己同型の存在のせいで何らかの問題のモジュライ空間が存在しない場合でも、モジュライスタックを構築できる可能性があるということです。

Mumford (1965) は、スタックが定義される前に、楕円曲線のモジュライスタックのピカール群を研究した。スタックは、Giraud (1966、1971) によって最初に定義され、「スタック」という用語は、元々「体」を意味するフランス語の「champ」に対して Deligne と Mumford (1969) によって導入された。この論文では、彼らはDeligne–Mumford スタックも導入し、これを代数スタックと呼んだが、現在では「代数スタック」という用語は通常、Artin (1974)によって導入されたより一般的なArtin スタックを指す 。

グループの作用によってスキームの商を定義する場合、商がスキームでありながら商の望ましい特性を満たすことは不可能であることが多い。たとえば、いくつかの点に非自明な安定点がある場合、カテゴリカル商はスキーム間には存在せず、スタックとして存在する。

同様に、曲線、ベクトル束、またはその他の幾何学的オブジェクトのモジュライ空間は、スキームではなくスタックとして定義するのが最適です。モジュライ空間の構築は、多くの場合、最初に問題のオブジェクトをパラメーター化するより大きな空間を構築し、次に、過剰にカウントされた自己同型を持つオブジェクトを説明するために グループアクションで割ることによって進められます。

カテゴリへの関数を持つカテゴリは、の任意の射と（関数の下で）像を持つの任意のオブジェクトに対して、によるの引き戻しが存在する場合、上のファイバーカテゴリと呼ばれます。これは、像を持つ任意の射が、の一意の射によってとして因数分解でき、関数がにマップされるような、像を持つ射を意味します。この要素はに沿ったの引き戻しと呼ばれ、標準同型を除いて一意です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g:z\to y}$${\displaystyle G=F\circ H}$${\displaystyle g=f\circ h}$${\displaystyle h:z\to x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x=F^{*}y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$

カテゴリc は、C上でファイバー化されており、C の任意のオブジェクト U と、像Uを持つ c のオブジェクトx 、yに対して、カテゴリC / Uから集合への関数( F : V → Uから Hom( F * x、F * y ) まで) が層である場合、グロタンディーク位相を持つカテゴリ C 上のプレスタックと呼ばれます。この用語は層の用語と一致しません。プレスタックは、プレシェーブではなく、分離されたプレシェーブの類似物です。一部の著者は、これをプレスタックではなくスタックの特性として要求しています。

カテゴリc は、それがC上のプレスタックであり、すべての降下データが有効である場合、グロタンディーク位相を持つカテゴリC上のスタックと呼ばれます。降下データは、おおまかに、 CのオブジェクトVのファミリV _iによる被覆、 V _i上のファイバー内の要素x _i、および互換性条件f _ki = f _{kj f ji を満たす、 x i と x j}の制限から_V ij = _V i × _V V j_への_射f _jiで構成_されます。要素x _iが本質的に、像Vを持つ要素xのプルバックである場合、降下データは有効と呼ばれます。

スタックは、群体のスタックまたは群体のファイバー化もされている場合は(2,1) 層と呼ばれます。これは、そのファイバー ( Cのオブジェクトの逆イメージ) が群体であることを意味します。一部の著者は、群体のスタックのより限定的な概念を指すために「スタック」という単語を使用します。

代数スタックまたはアルティンスタックは、fppf サイト上の群Xのスタックであり、 Xの対角写像が表現可能であり、スキーム （に関連付けられたスタック）から X への滑らかな射影が存在する。スタックの射Y Xが表現可能であるのは、スキーム （に関連付けられたスタック）から X へのすべての射S Xについて、ファイバー積Y  × _X S が代数空間（に関連付けられたスタック）に同型である場合である。スタックのファイバー積は、通常の普遍特性を使用し、図が可換であるという要件を 2 可換であるという要件に変更して定義されます。詳細については、 代数スタックの射も参照してください。${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$  

対角線の表現可能性の背後にある動機は次のとおりです。対角射が表現可能であるのは、代数空間の任意の射のペアに対して、それらのファイバー積が表現可能である場合のみです。 ${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$

Deligne -Mumford スタックは、スキームからXへのエタール全射が存在するような代数スタックXです。大まかに言えば、Deligne-Mumford スタックは、オブジェクトに無限小自己同型がない代数スタックと考えることができます。

代数スタックの誕生以来、代数スタックは、線形簡約代数群の形の局所商スタックであると予想されてきた。これは最近証明された: ^[1]安定化群がアフィンである代数閉体上の局所的に有限型の準分離代数スタックと、線形簡約安定化群 を持つ滑らかで閉じた点が与えられると、 GIT商のエタール被覆が存在する。ここでであり、図${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

は直交座標であり、エタール射が存在する

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

およびにおける安定群の同型性を誘導する。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle x}$

• グロタンディーク位相を持つカテゴリのすべての層は、標準的にスタックに変換できます。オブジェクト の場合、セットの代わりに、オブジェクトが の要素で矢印が恒等射である群があります。${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to 集合}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$
• より具体的には、反変関数を${\displaystyle h}$

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to 集合}$

そして、この関数は次のカテゴリを決定する。${\displaystyle H}$

1. オブジェクトは、スキームと要素のペアです。${\displaystyle (X\to S,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)^{op}}$${\displaystyle x\in h(X)}$
2. 射はとなる の射から構成される。${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$${\displaystyle \phi :X\to Y}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle h(\phi)(y)=x}$

忘却関手 を介して、カテゴリは にファイバー化されたカテゴリになります。たとえば、が のスキームである場合、反変関手が決定され、対応するファイバー化されたカテゴリは${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$Xに関連付けられたスタック。スタック (またはプレスタック) は、この構成のバリエーションとして構築できます。実際、準コンパクトな対角線を持つ、スキームに関連付けられた代数スタックです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• グループスタック。
• ベクトル束のモジュライスタック:ベクトル束V → Sのカテゴリは、位相空間Sのカテゴリ上のスタックです。 V → SからW → Tへの射は、SからTおよびVからWへの連続写像(ファイバー上の線型) で構成され、明らかな平方が可換になります。これがファイバー付きカテゴリであるという条件は、位相空間の連続写像上でベクトル束の引き戻しを行うことができることから得られ、降下データムが有効であるという条件は、開いた被覆の要素上のベクトル束を接着することで空間上のベクトル束を構成できることから得られます。
• スキーム上の準コヒーレント層のスタック（ fpqc位相と弱い位相に関して）
• 基本スキーム上のアフィンスキームのスタック（これも fpqc トポロジーまたはより弱いトポロジーに関して）

がスキームで、が に作用する滑らかなアフィン群スキームである 場合、商代数スタック が存在する。^{[2] は、}スキームを-スキーム上の -トーソルの群に取り、 -同変写像を に写す。明示的に、-作用を持つ空間が与えられた場合、スタック を形成する。これは（直感的に言えば）空間をプルバック図の群に送る。${\displaystyle X}$${\displaystyle (Sch/S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle Y\to S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

ここで、 は空間の -同変射であり、は主-バンドルです。このカテゴリの射は、右側の矢印が等しく、左側の矢印が主-バンドルの射である図の射です。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z\to Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

X が点であるときのこの特別なケースは、滑らかなアフィン群スキームGの分類スタック BGを与えます。これは、 Y上のファイバーであるカテゴリが、上の主 -バンドルのカテゴリとまったく同じであるため、このように名付けられています。自体はスタック、つまりY上の主G -バンドルのモジュライスタックと見なすことができることに注意してください。 ${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$${\displaystyle \operatorname {ブン} _{G}(Y)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {ブン} _{G}(Y)}$

この構成の重要なサブ例は であり、これは主 -バンドルのモジュライ スタックです。主 -バンドルのデータは階数ベクトル バンドルのデータと同等なので、これは階数ベクトル バンドルのモジュライ スタックと同型です。 ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Vect_{n}}$

直線束のモジュライスタックは、すべての直線束が主 -バンドルに標準同型であるためである。実際、スキーム上の直線束が与えられた場合、相対的な仕様${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S}$

は幾何学的な線束を与える。零断面の像を除去すると、主線束が得られる。逆に、表現 から、関連する線束を再構築することができる。 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$

ゲルベは、局所的に空でない群のスタックです。たとえば、ある群に対して、各スキームにそのスキーム上の主 -バンドルの群を割り当てる自明なゲルベがあります。 ${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

A がスキームS上の代数スタックX内の準コヒーレントな代数層である場合、可換環Aのスペクトル Spec( A ) の構築を一般化するスタック Spec( A ) が存在する。 Spec( A ) の対象は、 SスキームT 、 X ( T )の対象x 、およびx *( A ) からTの座標環O ( T )への代数層の射によって与えられる。

AがスキームS上の代数スタックX内の次数付き代数の準コヒーレント層である場合、次数付き環Aの射影スキーム Proj( A ) の構築を一般化するスタック Proj( A ) が存在する。

• マンフォード（1965）は、楕円曲線のモジュライスタックM _1,1を研究し、そのピカール群が12次の巡回群であることを示した。複素数上の楕円曲線の場合、対応するスタックは、モジュラー群の作用による上半平面の商に似ている。
• 与えられた種数の滑らかな曲線の普遍的な族として定義される代数曲線のモジュライ空間は、 代数多様体としては存在しません。特に、非自明な自己同型を許容する曲線が存在するためです。しかし、モジュライスタック が存在し 、これは滑らかな種数曲線の存在しない細かいモジュライ空間の良い代替となります。より一般的には、マークされた点を持つ種数曲線のモジュライスタック が存在します。一般にこれは代数スタックであり、または または(言い換えると、曲線の自己同型群が有限である場合) の Deligne–Mumford スタックです。このモジュライスタックには、( および が与えられた場合) 安定曲線のモジュライスタックからなる完備化があり、これは Spec Z上で適切です。たとえば、は射影一般線型群の分類スタックです。( の定義には微妙な点があり、それを構築するにはスキームではなく代数空間を使用する必要があります。)${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g=1,n\geq 1}$${\displaystyle g=0,n\geq 3}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

モジュライ空間のもう一つの広く研究されているクラスは、固定された種数の曲線から固定されたコホモロジー類を表す固定された空間への安定写像の空間をパラメータ化するコンツェビッチモジュライ空間である。これらのモジュライ空間は^[3]と表記される。${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

等しくない次元の要素を持つ可約スタックなど、ワイルドな振る舞いをすることがあります。例えば、^[3]モジュライスタック

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

には、開部分集合 によってパラメータ化された滑らかな曲線があります。曲線が縮約可能曲線に退化する可能性があるモジュライ空間の境界上には、種数成分と種数成分が 1 点で交差する縮約可能曲線をパラメータ化するサブスタックがあり、写像は種数曲線を 点に送ります。このような種数曲線はすべて によってパラメータ化され、これらの曲線が種数曲線上で交差する場所の追加の次元選択があるため、境界成分は次元 を持ちます。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 10}$

• PicardスタックはPicard 多様体を一般化します。
• 形式群法則のモジュライスタックは、形式群法則を分類します。
• 無限射影空間や形式スキームなどのind -scheme はスタックです。
• シュトゥーカのモジュライ スタックは、幾何学的ラングランズ プログラムで使用されます。(シュトゥーカも参照してください。)

重み付き射影空間 を構築するには、いくつかの商多様体を-作用で取る必要がある。特に、この作用は組を送信する。${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

そしてこの作用の商は重み付き射影空間を与える。これはスタック商としてとることができるので、重み付き射影スタック^{[4] pg30}は${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

線束内の重み付き多項式の消失軌跡をとると、積み重ねられた重み付き射影多様体が得られます。 ${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$

スタック曲線、またはオービカーブは、曲線の射影を一般点の被覆のモノドロミー群でスタック商とすることで構成できます。たとえば、射影射影

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

これは一般にエタール である。 による領域のスタック商は、 -チャートの 5 乗根に安定群を持つスタック点を持つスタックを与える。これは、これらの点が被覆が分岐する点だからである。^[要出典]${\displaystyle \mu _{5}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$${\displaystyle x/y}$

非アフィンスタックの例は、2 つのスタック原点を持つ半直線によって与えられます。これは、 の 2 つの包含の余極限として構築できます。 ${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$

代数スタック上では、スキーム上の準連接層のカテゴリに類似した準連接層のカテゴリを構築できます。

準コヒーレント層は、おおよそ、局所的にはリング上のモジュールの層に似ている層です。最初の問題は、「局所的に」とはどういう意味かを決めることです。これにはグロタンディーク位相の選択が関係しますが、これには多くの選択肢があり、そのすべてに何らかの問題があり、どれも完全に満足できるものではありません。グロタンディーク位相は、スタックがこの位相で局所的にアフィンになるように十分に強力である必要があります。スキームはザリスキ位相で局所的にアフィンなので、これはスキームにとって良い選択です。セールが発見したように、代数空間とドリーニュ-マンフォード スタックはエタール位相で局所的にアフィンなので、通常、これらにはエタール位相が使用されますが、代数スタックは滑らかな位相で局所的にアフィンなので、この場合は滑らかな位相を使用できます。一般代数スタックの場合、エタール位相には十分な開集合がありません。たとえば、G が滑らかな連結グループである場合、分類スタック BG の唯一のエタール被覆は BG のコピーの和集合であり、これは準コヒーレント層の正しい理論を与えるのに十分ではありません。

代数スタックに滑らかな位相を使用する代わりに、Lis-Et 位相(Lisse-Etale の略。lisse はフランス語で滑らかという意味) と呼ばれる修正版がよく使用されます。これは滑らかな位相と同じ開集合を持ちますが、開被覆は滑らかな写像ではなくエタールで与えられます。これは通常、準コヒーレント層の同等のカテゴリにつながるように見えますが、より使いやすく、たとえば代数空間上のエタール位相と比較するのが簡単です。Lis-Et 位相には微妙な技術的問題があります。スタック間の射は一般に、対応するトポイ間の射を与えません。 （問題は、 topoiの幾何射に必要な一対の随伴関手f _*、f *を構築できる一方で、関手f * は一般に正確なままではないということです。この問題は、出版された論文や書籍でいくつかの誤りを引き起こしたことで有名です。^[5]）これは、スタックの射の下で準コヒーレント層のプルバックを構築するには、余分な労力が必要であることを意味します。

より細かい位相を使うこともできます。最も合理的な「十分に大きい」グロタンディーク位相は、準コヒーレント層の同等のカテゴリにつながるようですが、位相が大きくなるほど扱いが難しくなるため、十分な開集合がある限り、一般的にはより小さな位相を使うことが好まれます。たとえば、大きな fppf 位相は、Lis-Et 位相と本質的に同じ準コヒーレント層のカテゴリにつながりますが、微妙な問題があります。この位相における準コヒーレント層の O _Xモジュールへの自然な埋め込みは正確ではありません (一般にカーネルは保存されません)。

微分可能スタックと位相スタックは代数スタックと同様の方法で定義されますが、アフィンスキームの基礎となるカテゴリが滑らかな多様体または位相空間のカテゴリに置き換えられる点が異なります。

より一般的には、 n層またはn –1 スタックの概念を定義することができます。これは、おおよそn –1 個のカテゴリの値を取る層の一種です。これを行うには、いくつかの非同等な方法があります。1 層は層と同じであり、2 層はスタックと同じです。これらは高位スタックと呼ばれます。

非常に類似した類似の拡張は、スタック理論を非離散オブジェクトに展開することです (つまり、空間は実際には代数位相幾何学におけるスペクトルです)。結果として得られるスタック オブジェクトは、導出スタック(またはスペクトル スタック) と呼ばれます。Jacob Lurieの執筆中の書籍「スペクトル代数幾何学」では、スペクトル Deligne–Mumford スタックと呼ばれる一般化について研究しています。定義により、これはE _∞環のエタール スペクトルにエタール局所的である環付き∞ トポスです (この概念は、少なくとも特性 0 では、 導出スキームの概念を包含します)。

スタックの理論の通常の基礎には、いくつかの小さな集合論的問題があります。スタックは、集合のカテゴリに対する特定の関数として定義されることが多く、したがって集合ではないためです。この問題に対処するには、いくつかの方法があります。

• グロタンディーク宇宙を扱うこともできます。スタックは、ある固定されたグロタンディーク宇宙のクラス間の関数であるため、これらのクラスとスタックは、より大きなグロタンディーク宇宙内のセットになります。このアプローチの欠点は、十分な数のグロタンディーク宇宙が存在すると仮定する必要があることです。これは、本質的に大きな基数公理です。
• スタックを、十分に大きなランクを持つ集合の集合への関数として定義し、使用するさまざまな集合のランクを注意深く追跡することができます。これの問題点は、かなり面倒な簿記作業がさらに必要になることです。
• ZFC 公理の任意の有限断片の集合モデルを見つけることができるという集合論の反射原理を使用して、すべての集合の宇宙に十分近い近似値である集合を自動的に見つけることができることを示すことができます。
• 問題を単に無視することもできます。これは多くの著者が採用しているアプローチです。

• 代数スタック
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• 代数スタックの商空間
• モジュラーフォームのリング
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• スタックスプロジェクト
• トーリックスタック
• 一般化された空間

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• nラボのスタック
• nラボでの降下
• デ・ヨング、愛瀬ヨハン、スタックス・プロジェクト
• フルトン、ウィリアム、スタックとは何か？、MSRI ビデオ講義とノート
• ベルトラン・トーエン (2007)、クール・ド・マスター 2 : シャン・アルジェブリケ (2006-2007)
• 「代数スタックに関する良い入門書はありますか？」