複素解析多様体

数学、特に微分幾何学と複素幾何学において、複素解析多様体^{[注 1]} または複素解析空間は、特異点の存在を許容する複素多様体の一般化である。複素解析多様体は、局所的に環を持つ空間であり、局所モデル空間と局所的に同型である。ここで、局所モデル空間は、正則関数の有限集合の消失軌跡の開部分集合である。

意味

位相空間上の定数層をで表します。-空間は局所環空間であり、その構造層は上の代数です。 $\mathbb {C}$ ${\underline {\mathbb {C} }}$ $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\underline {\mathbb {C} }}$

ある複素アフィン空間の開部分集合を選択し、内の有限個の正則関数を固定します。をこれらの正則関数の共通消失点、つまりとします。をへの制限とすることで上の環の層を定義します。ここでは上の正則関数の層です。すると、局所的に環化された-空間は局所モデル空間になります。 $U$ $\mathbb {C} ^{n}$ $f_{1},\dots ,f_{k}$ $U$ $X=V(f_{1},\dots ,f_{k})$ $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $U$ $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$

複素解析多様体は、局所モデル空間に局所的に同型な局所環空間です。 $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$

複素解析多様体の射は、基礎となる局所環空間の射として定義され、正則写像とも呼ばれる。構造層は冪零元を持つことができ、^[1] また、構造層が簡約される複素解析空間が簡約されるとき、複素解析空間は簡約される。つまり、複素解析空間は簡約されない可能性がある。

関連する複素解析空間（多様体）は 次のようになる。^[1] $X_{h}$

X を上の有限型のスキームとし、X を開アフィン部分集合( ) で覆う (環のスペクトル)。すると、それぞれは、および上の有限型の代数となる。ここではの多項式であり、上の正則関数とみなすことができる。したがって、集合のそれらの共通零点は複素解析部分空間である。ここで、スキーム X は集合のデータを貼り付けることによって得られ、同じデータを使用して複素解析空間を複素解析空間に貼り付けることができるため、X に関連する複素解析空間と呼ばれる。複素解析空間 X が簡約されるのは、関連する複素解析空間が簡約される場合に限ります。^[2]

\mathbb {C}

Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}

X=\cup Y_{i}

A_{i}

\mathbb {C}

A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})

f_{1},\dots ,f_{m}

z_{1},\dots ,z_{n}

\mathbb {C}

(Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb{C}

Y_{i}

(Y_{i})_{h}

X_{h}

X_{h}

X_{h}

参照

代数多様体- 大まかに言えば、（複素）解析多様体は（複素）解析関数の集合の零点であり、代数多様体は多項式関数の集合の零点であり特異点を許容します。
解析空間 – 解析多様体から貼り合わせた局所環空間
複素代数多様体
GAGA – 密接に関連した2つの数学の科目
剛体解析空間 – 非アルキメデス体上の複素解析空間の類似物

注記

^ ハーツホーン1977年、439ページより。
^ Grothendieck & Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. 命題 2.1.)

注釈

^ 複素解析多様体（または単に多様体）は、時には既約かつ（または）既約であることが求められる。

参考文献

アロカ、ホセ・マヌエル。弘中平助。ビセンテ、ホセ・ルイス（2018年11月3日）。複雑な分析による非特異化。土井：10.1007/978-4-431-49822-3。ISBN 978-4-431-49822-3。
ブルーム、トーマス。エレーラ、ミゲル (1969)。「解析空間のデ・ラム・コホモロジー」。数学の発明。7 (4): 275–296。Bibcode :1969InMat...7..275B。土井：10.1007/BF01425536。S2CID 122113902。
カルタン、Ｈ．ブルーハット、F.サーフ、ジーン。ドルボー、P.フレンケル、ジャン。エルヴェ、ミシェル。マラチア語。セール、日本。「セミネール・アンリ・カルタン、第４巻（1951-1952）」。（10-13号）
フィッシャー、G. (2006年11月14日)。複素解析幾何学。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-38121-1。
ガンニング、ロバート・クリフォード、ロッシ、ヒューゴ (2009)。「第 3 章多様性 (セクション B 解析的カバー)」。複素変数の解析関数。アメリカ数学会。ISBN 9780821821657。
ガンニング、ロバート・クリフォード、ロッシ、ヒューゴ (2009)。「第 5 章解析空間」。複素変数の解析関数。アメリカ数学協会。ISBN 9780821821657。
グラウアート、ハンス。レンメルト、ラインホルト (1958)。「コンプレックス・ロイメ」。数学アンナレン。136 (3): 245–318。土井：10.1007/BF01362011。S2CID 121348794。
グラウアート、H. R.レンマート（2012年12月6日）。コヒーレントな分析層。スプリンガー。ISBN 978-3-642-69582-7。
Grauert, H.; Peternell, Thomas; Remmert, R. (2013 年 3 月 9 日)。複素変数 VII:複素解析における層理論的手法。Springer。ISBN 978-3-662-09873-8。
アレクサンダー・グロタンディーク;レイノー、ミシェル(2002)。「Revêtements étales et groupe Fondamental§XII. 幾何学的計算と幾何学的分析」。Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (フランス語)。arXiv : math/0206203。土井：10.1007/BFb0058656。ISBN 978-2-85629-141-2。
ハーツホーン、ロビン (1970)。代数多様体の豊富な部分多様体。数学講義ノート。第 156 巻。doi :10.1007/ BFb0067839。ISBN 978-3-540-05184-8。
ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。数学の大学院テキスト。第52巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社。doi : 10.1007 / 978-1-4757-3849-0。ISBN 978-0-387-90244-9。MR 0463157。S2CID 197660097。Zbl 0367.14001 。
アラン・ハックルベリー (2013)。「ハンス・グラウエルト（1930–2011）」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。115：21～45。arXiv : 1303.6933。土井：10.1365/s13291-013-0061-7。S2CID 119685542。
レンメルト、ラインホルト (1998)。「リーマン面から複素空間へ」。セミネールとコングレ。ズブル 1044.01520。
ジャン・ピエール・セール（1956年）。「幾何学計算と幾何学分析」。フーリエ研究所の分析。6：1-42。土井：10.5802/aif.59。ISSN 0373-0956。MR0082175 。
トニョーリ、A. (2011 年 6 月 2 日)。トニョーリ、A (編)。分析空間の特異点: 1974 年 6 月 16 ～ 25 日にイタリアのブレッサノーネ (ボルツァーノ) で開催された Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME) のサマースクールでの講義。doi : 10.1007 /978-3-642-10944-7。ISBN 978-3-642-10944-7。
「第2章準備」ザリスキ分解と存在量。日本数学会紀要。第14巻。日本数学会。2004年。pp. 13–78。doi :10.2969/msjmemoirs/ 01401C020。ISBN 978-4-931469-31-0。
フローレス、アルトゥーロ・ジャイルズ。ベルナール・テシエ（2018）。「特異点の幾何学的研究における局所極多様性」。トゥールーズ科学学部年報: 数学。27 (4): 679–775。arXiv : 1607.07979。土井：10.5802/afst.1582。S2CID 119150240。

今後の読書

アラン・ハックルベリー (2013)。「ハンス・グラウエルト（1930–2011）」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。115：21～45。土井：10.1365/s13291-013-0061-7。S2CID 256084531。

外部リンク

Kiran Kedlaya. 18.726 代数幾何学 (LEC # 30 - 33 GAGA)2009 年春。マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA。
いくつかの複雑な変数のおいしい部分 (p. 137) Jiří Lebl BY-NC-SAによるオープンソースブック。
Onishchik, AL (2001) [1994]、「解析空間」、数学百科事典、EMS Press
El'kin, AG (2001) [1994]、「解析集合」、数学百科事典、EMS Press

[FOOTNOTEHartshorne1977439-2] ハーツホーン1977年、439ページより。

[3] Grothendieck & Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. 命題 2.1.)

[1] 複素解析多様体（または単に多様体）は、時には既約かつ（または）既約であることが求められる。