ルベーグ被覆次元

数学において、位相空間のルベーグ被覆次元または位相次元は、位相的に不変な方法で空間の 次元を定義するいくつかの異なる方法の1つです。^{[1] [2]}

通常のユークリッド空間の場合、ルベーグ被覆次元は通常のユークリッド次元と同じです。つまり、点の場合は 0、線の場合は 1、平面の場合は 2 などです。ただし、すべての位相空間がこの種の「明らかな」次元を持つわけではないため、そのような場合には正確な定義が必要です。定義は、空間が開集合で覆われている場合に何が起こるかを調べることから始まります。

一般に、位相空間X は開集合 で覆われる可能性があり、これは、 X がそれらの和集合の内部にあるような開集合のコレクションを見つけることができるという点です。被覆次元とは、すべての被覆に対して、Xのすべての点がn + 1 個以下の被覆集合の共通部分にあるような精緻化が存在するよう な最小の数 n です。これが、以下の正式な定義の要点です。定義の目的は、空間を記述し、空間が連続的に変形されても変化しない数 (整数)、つまり同相写像に対して不変な数を提供することです。

一般的な考え方は、カバーと円および正方形の改良を示す以下の図に示されています。

被覆次元の最初の正式な定義は、アンリ・ルベーグの以前の結果に基づいて、エドゥアルト・チェフによって与えられました。^[4]

現代的な定義は以下のとおりです。位相空間Xの開被覆は開集合U _αの族で、それらの和が空間全体U _α = Xとなるものです。開被覆= { U _α } の位数または層は、空間の各点が被覆内の最大でm 個の開集合に属する最小の数m (存在する場合) です。言い換えると、U _{α 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U _{α m +1} =で、α ₁、...、α _{m +1}は別個です。開被覆= { U _α }の精緻化は別の開被覆= { V _β } で、各V _{β はいずれかの}U _αに含まれます。位相空間Xの被覆次元は、 Xのすべての有限開被覆が位数n + 1 の開精緻化を持つようなnの最小値として定義されます。 精緻化は常に有限になるように選択できます。^[5]したがって、nが有限であれば、V _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} = （β ₁、...、β _{n +2は別個）が成り立ちます。このような最小の}nが存在しない場合は、空間は無限被覆次元を持つと言われます。 ${\displaystyle \cup _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle \emptyset }$

特別なケースとして、空でない位相空間は、その空間のすべての開被覆が互いに素な開集合からなる細分化を持つ場合、被覆次元に関して0 次元であり、空間内の任意の点がこの細分化のちょうど 1 つの開集合に含まれることを意味します。

空集合の被覆次元は -1 です。つまり、空集合の任意の開被覆について、空集合の各点は被覆のどの要素にも含まれていないため、任意の開被覆の順序は 0 です。

単位円の任意の開被覆は、開弧の集合からなる細分化を持つことになります。この定義によれば、円は次元 1 を持ちます。なぜなら、このような被覆は、円の任意の点x が最大2 つの開弧に含まれる段階までさらに細分化できるからです。つまり、どのような弧の集合から始めても、一部を破棄または縮小することができ、残りの弧は円を覆いますが、単純な重なりになります。

同様に、 2 次元平面における単位円板の任意の開被覆は、円板の任意の点が 3 つ以上の開集合に含まれないように細分化できますが、一般に 2 つでは十分ではありません。したがって、円板の被覆次元は 2 です。

より一般的には、n次元ユークリッド空間は 被覆次元n を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

• 同相空間は同じ被覆次元を持ちます。つまり、被覆次元は位相不変量です。
• 正規空間Xの被覆次元は、Xの任意の閉部分集合Aに対して、 が連続であれば、への拡張が存在する場合のみである。ここで、はn次元球面である。${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:X\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• 色付き次元に関するオストランドの定理。X が正規位相空間で= { U _α }が位数 ≤ n + 1 のXの局所有限被覆である 場合、各 1 ≤ i ≤ n + 1 に対して、縮小する、つまりV _i、α ⊆ U _αであり、全体でX を覆う、互いに素な開集合の族_i = { V _i、α }が存在する。^[6]${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• パラコンパクト空間Xに対して、被覆次元はnの最小値として定義することができ、 Xの任意の開被覆（任意のサイズ）はn  + 1の位数の開細分化を持つ^。[7]特に、これはすべての距離空間に当てはまります。${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$
• ルベーグ被覆定理。ルベーグ被覆次元は有限単体複体のアフィン次元と一致する。
• 通常空間の被覆次元は、大誘導次元以下です。
• パラコンパクト ハウスドルフ空間の被覆次元は、そのコホモロジー次元（層の意味で）以上である。 ^[8]つまり、および 上の任意のアーベル群の層に対して、の被覆次元よりも大きいが成り立つ。${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$
• 計量空間では、被覆の重複度の概念を強化できます。被覆は、すべてのr球が被覆内の最大でn + 1個の集合と交差する場合、 r重複度 n + 1を持ちます。この考え方は、空間の漸近次元とAssouad–Nagata 次元の定義につながります。漸近次元nの空間は「大きなスケールで」 n次元であり、Assouad–Nagata 次元nの空間は「すべてのスケールで」 n次元です。

• カラテオドリの拡張定理
• 幾何集合被覆問題
• 次元理論
• メタコンパクト空間
• 点有限集合

• エドガー、ジェラルド A. (2008)。「位相次元」。測度、位相、フラクタル幾何学。数学の学部テキスト(第 2 版)。Springer -Verlag。pp . 85–114。ISBN 978-0-387-74748-4MR  2356043 。
• Engelking, Ryszard (1978). 次元理論(PDF) . ノースホランド数学図書館. 第 19 巻. アムステルダム-オックスフォード-ニューヨーク: ノースホランド. ISBN 0-444-85176-3. MR  0482697。
• ロジャー・ゴデメント（1958年）。トポロジー algébrique et théorie des faisceaux。ストラスブール大学数学研究所の出版物 (フランス語)。 Vol. Ⅲ．パリ: ヘルマン。MR  0102797。
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941)。次元理論。プリンストン数学シリーズ。第 4 巻。プリンストン大学出版局。MR  0006493。
• マンクレス、ジェームズ R. (2000)。トポロジー(第 2 版)。プレンティス ホール。ISBN 0-13-181629-2. MR  3728284。
• Ostrand, Phillip A. (1971). 「一般空間における被覆次元」一般位相学と応用1 ( 3): 209–221. MR  0288741.

• カール・メンガー『一般空間とデカルト空間』(1926年)アムステルダム科学アカデミーへの通信。英語訳は『フラクタルの古典』 (ジェラルド・A・エドガー編、アディソン・ウェスレー社、1993年) ISBN 0-201-58701-7に再録。 
• Karl Menger、Dimensionstheorie、(1928) BG Teubner Publishers、ライプツィヒ。

• ピアーズ、アラン R. (1975)。『一般空間の次元理論』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-20515-8. MR  0394604.
• VV Fedorchuk、The Fundamentals of Dimension Theory 、 Encyclopaedia of Mathematical Sciences、第 17 巻、General Topology Iに掲載、(1993) AV Arkhangel'skii およびLS Pontryagin (編)、Springer-Verlag、ベルリンISBN 3-540-18178- ４． 

• 「ルベーグ次元」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]