従順なグループ

数学において、従属群（じゅうぞうぐん）とは、局所的にコンパクトな 位相群 Gであり、群の元による変換に対して不変である有界関数上の一種の平均化操作を伴う。 Gの部分集合上の有限加法的測度（または平均）に関する元の定義は、バナッハ・タルスキーのパラドックスへの対応として、 1929 年にジョン・フォン・ノイマンによってドイツ語名「messbar」（英語では「measurable」）で導入された。 1949 年にマロン・M・デイは、明らかに「 mean 」の語呂合わせとして、英語の翻訳「amenable」を導入した。^[a]

バナッハ-タルスキーのパラドックス構築における重要なステップは、回転群SO(3)内に 2 つの生成元上の自由部分群を見つけることです。従順群はそのような群を含むことができず、この種のパラドックス構築は許可されません。

従順性​​には同等の定義が多数あります。解析学の分野では、定義は線形関数で行われます。このバージョンを直感的に理解する方法は、正規表現のサポートが既約表現の空間全体であると考えることです。

離散群論では、G は離散位相を持ち、より単純な定義が使用されます。この設定では、任意の部分集合がG のどの程度の割合を占めるかを言うことができれば、その群は従順であると言えます。たとえば、整数群の任意の部分群は、何らかの整数によって生成されます。 の場合、部分群は 0 の割合を占めます。それ以外の場合は、群全体の を占めます。群と部分群の両方に無限の要素がある場合でも、割合の意味は明確に定義されています。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle 1/p}$

グループにFølner シーケンスがある場合、そのグループは自動的に従属的になります。

G を局所コンパクト ハウスドルフ 群とする。すると、それが唯一のスケールまで左 (または右) 平行移動不変な非自明な環測度、ハール測度を持つことはよく知られている。(これは、 Gが第 2 可算な場合のボレル正則測度である。Gがコンパクトな場合は、左測度と右測度の両方が存在している。)この測度空間内の本質的に有界な測定可能関数のバナッハ空間L ^∞ ( G )を考えてみよう(これはハール測度のスケールとは明らかに独立である)。

定義1. Hom( L ^∞ ( G ), R )の線形汎関数Λは、Λのノルムが1で非負である場合、つまりf ≥ 0 aeがΛ( f ) ≥ 0を意味する場合、平均と呼ばれます。

定義 2. Hom( L ^∞ ( G ), R )の平均 Λ が左不変(それぞれ右不変)であるとは、 GのすべてのgとL ^∞ ( G ) のすべてのfに対して Λ( g · f ) = Λ( f )が成り立ち、 g · f (x) = f ( g ⁻¹ x ) (それぞれf · g (x) = f ( xg ⁻¹ ))の左 (それぞれ右) シフト作用に関して成り立つときです。

定義 3.局所コンパクト ハウスドルフ群は、左 (または右) 不変平均を許容する場合、 従順であると呼ばれます。

Hom(L∞(G),R)を、G上のハール測度に関して絶対連続な有限加法ボレル測度の空間(ba空間)と同一視することで、用語がより自然になり^ます。つまり、Hom( L∞ ( G ), R )の平均は、 G上に左不変の有限加法ボレル測度を誘導し、グループ全体の重みが1になります ^。

コンパクト群の例として、円群を考えてみましょう。典型的な関数f ≥ 0 のグラフは、紙管の端をちぎって作った円の上のギザギザの曲線のように見えます。線型関数は、ある場所から紙を切り取って別の場所に貼り付けることで曲線を平均化し、再び平らな上部を作成します。これが不変平均、つまり平均値であり、ルベーグ測度です。 ${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f\ d\lambda }$${\displaystyle \lambda}$

左不変性は、チューブを回転させても、端の平らな部分の高さは変わらないことを意味します。つまり、チューブの形状だけが重要です。線形性、正値性、ノルム 1 と組み合わせると、これは、私たちが構築した不変平均が一意であることを証明するのに十分です。

局所コンパクト群の例として、整数群を考えてみましょう。有界関数f は単に型 の有界関数であり、その平均は移動平均です。 ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)}$

ピア（1984）は、第二可算局所コンパクト群Gにおける従属可能性と同値な条件についての包括的な説明を含んでいる： ^[2]

• L ^∞ ( G )上の左 (または右) 不変平均の存在。選択公理に依存する元の定義。
• 左不変状態の存在。G上の有界連続関数の任意の可分左不変単位 C* 部分代数には左不変状態が存在します。
• 不動点特性。連続アフィン変換による群の（可分な）局所凸位相ベクトル空間のコンパクトな凸部分集合への作用は、不動点を持つ。局所コンパクトなアーベル群の場合、この特性はマルコフ・角谷不動点定理の結果として満たされる。
• 既約双対。すべての既約表現はL ² ( G )上の左正規表現λに弱く含まれる。
• 自明な表現。Gの自明な表現は左正規表現に弱く含まれています。
• ゴデマン条件。G上のすべての有界正定値測度μ はμ (1) ≥ 0 を満たす。ヴァレットはこの基準を改良し、G上のすべての連続正定値コンパクトサポート関数fに対して、関数 Δ ^{– 1 ⁄ 2} f がハール測度に関して非負の積分を持つ（Δ はモジュラー関数を表す）ことを要求すれば十分であることを示した。 ^[3]
• デイの漸近的不変性条件。G上に積分1を持つ積分可能な非負関数 φ _nの列が存在し、 L ¹ ( G )上の弱位相でλ( g )φ _n − φ _{n が}0に近づく。
• ライターの条件。Gの任意の有限（またはコンパクト）部分集合 F に対して、積分可能な非負関数 φ が存在し、その積分値は 1 で、gがFに属する場合、 λ( g )φ − φ はL ¹ ( G )において任意に小さくなります。
• ディクスミアの条件。Gの任意の有限（またはコンパクト）部分集合Fに対して、 L ² ( G )に単位ベクトルfが存在し、 g がF内にある場合、 L ² ( G )において λ( g ) f − f が任意に小さくなります。
• グリックスバーグ−ライター条件。L 1 ( G )内の任意のfに対して、0とL ¹ ( G )内の左平行移動の閉じた凸包との間の距離λ( g ) fは^| ∫ f |に等しい。
• フォルナー条件。Gの有限（またはコンパクト）部分集合Fに対して、有限の正のハール測度を持つGの測定可能な部分集合Uが存在し、 gがFに属する場合、 m ( U Δ gU )/m( U ) は任意に小さくなります。
• レプチンの条件。Gの有限（またはコンパクト）部分集合Fごとに、有限の正のハール測度を持つGの測定可能な部分集合Uが存在し、 m ( FUΔU ) /m( U )は任意に小さい。
• ケステンの条件。G上の対称確率測度によるL ² ( G )上の左畳み込みは、演算子ノルム1の演算子を与える。
• ジョンソンのコホモロジー条件。バナッハ代数A = L ¹ ( G ) はバナッハ代数として従順である、つまり、バナッハA双対加群へのAの任意の有界微分は内部である。

離散群の場合、つまり離散位相を備えた群の場合、従順性の定義はより簡単になります。 ^{[4] [ 5]}

定義。 離散群Gが従属的であるとは、有限加法的測度（平均とも呼ばれる）（Gの各部分集合に0から1までの数値を割り当てる関数）が存在する場合である。

1. この測度は確率測度です。グループG全体の測度は1 です。
2. 測度は有限加法性があります。つまり、 Gの有限個の互いに素な部分集合が与えられた場合、集合の和の測度は測度の和になります。
3. 測度は左不変です。つまり、部分集合AとGの要素gが与えられた場合、 Aの測度はgAの測度に等しくなります。( gA はAの各要素aに対する要素の集合gaを表します。つまり、Aの各要素はgだけ左に移動します 。)

この定義は次のように要約できます: G は、有限加法的左不変確率測度を持つ場合、従順です。 GのサブセットAが与えられた場合、その測度は「 Gのランダムな要素がAに含まれる確率はどれくらいか?」 という質問に答えるものと考えることができます。

^{この定義は}L∞ ( G )による定義と同等であるという事実がある 。

G上の測度μ を持つことで、 G上の有界関数の積分を定義することができる 。有界関数f : G → Rが与えられたとき、積分

${\displaystyle \int _{G}f\,d\mu }$

はルベーグ積分で のように定義されます。(ここでの測定は有限加算のみであるため、ルベーグ積分のいくつかの特性はここでは満たされないことに注意してください。)

グループが左不変測度を持つ場合、自動的に双不変測度も持つ。左不変測度μが与えられた場合、関数μ ⁻ ( A ) = μ ( A ⁻¹ ) は右不変測度である。これら 2 つを組み合わせると、双不変測度が得られる。

${\displaystyle \nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.}$

可算離散群Γの場合、従順性に関する同値条件はより単純になる。そのような群では、以下の条件は同値である: ^[2]

• Γは従順である。
• Γ が（可分な）バナッハ空間Eに等長変換によって作用し、 E *の閉単位球の弱閉凸部分集合C が不変となる場合、 Γ はC内に不動点を持ちます。
• ^ℓ∞ (Γ)上には左不変ノルム連続関数μが存在し、 μ (1) = 1となる(これには選択公理が必要である)。
• ^ℓ∞ (Γ)の任意の左不変可分単位C*部分代数には左不変状態 μが存在する。
• Γ 上の確率測度μ _nの集合が存在し、Γ (MM 日) の各gに対して|| g · μ _n  −  μ _n || ₁が 0 に近づく。
• ℓ ^{2 (Γ)には単位ベクトル}x _nがあり、|| g · x _n  −  x _n || _{2 は}Γの各gに対して0に近づきます(J. Dixmier)。
• Γ の有限部分集合S _nが存在し、 Γ の各gに対して | g · S _n Δ S _n | / | S _n | が 0 に近づく(Følner)。
• μがΓ上の対称確率測度であり、Γが台生成である場合、 μによる畳み込みは^ℓ2 (Γ)上のノルム1の演算子を定義します(Kesten)。
• Γ が（可分な）バナッハ空間E上で等長変換によって作用し、 ℓ ^∞ (Γ, E *)内のfが有界な 1 次元コサイクル、すなわちf ( gh ) =  f ( g ) +  g · f ( h ) である場合、f は1 次元コ境界、すなわちE * 内の何らかの φ に対してf ( g ) = g ·φ − φ である（BE Johnson）。
• 被約群C*-代数(被約群 C*-代数C _r * ( G )を参照) は核です。
• 縮小群C*-代数は準対角である (J. Rosenberg、A. Tikuisis、S. White、W. Winter)。
• Γ のフォン・ノイマン群代数(群に関連するフォン・ノイマン代数を参照) は超有限である(A. Connes)。

なお、A. Connes は、任意の連結な局所コンパクト群のフォン・ノイマン群代数は超有限であることも証明したので、連結群の場合には最後の条件は適用されなくなることに注意してください。

従順性​​は特定の演算子のスペクトル理論に関連しています。たとえば、閉じたリーマン多様体の基本群が従順であるためには、多様体の普遍被覆のL2空間上のラプラシアンのスペクトルの底が0である必要があります^。[6]

• 従属群のすべての（閉じた）部分群は従属群である。
• 従属群のすべての商は従属的です。
• 従属群による従属群の群拡張もまた従属的である。特に、従属群の有限直積は従属的であるが、無限直積は従属的である必要はない。
• 従属群の直接極限は従属的です。特に、群が従属部分群の有向和として記述できる場合、その群は従属的です。
• 従属群はユニタリ化可能であるが、その逆は未解決の問題である。
• 可算離散群はオルンシュタイン同型定理に従う。^{[7] [8]}

• 有限群は従順です。離散定義で計数測度を使用します。より一般的には、コンパクト群は従順です。ハール測度は不変平均です (合計測度 1 を取る一意)。
• 整数群は従順です (長さが無限大に向かう区間の列はフォルナー列です)。 シフト不変で有限加法の確率測度がZ群上に存在することも、ハーン・バナッハの定理からこのようにして容易に導かれます。S を列空間ℓ ^∞ ( Z )上のシフト演算子とします。これは、すべてのx  ∈ ℓ ^∞ ( Z )に対して( Sx ) _i  =  x _{i +1}で定義され、u  ∈ ℓ ^∞ ( Z ) はすべてのi  ∈  Z に対してu _i = 1 となる定数列とします。 y  ∈ Y :=range( S  −  I ) の任意の要素は、 uから 1 以上の距離を持ちます(そうでない場合、y _i  = x _i+1  - x _{i は}正でゼロから離れた有界値になり、そのためx _{i は}有界値になりません)。これは、 tu + y をtに取る部分空間R u  + Y上に明確に定義されたノルム 1 の線形形式が存在することを意味します。ハーン-バナッハの定理により、後者は ℓ ^∞ ( Z )上のノルム 1 の線形拡張を許容し、これは構築によりZ上のシフト不変な有限加法確率測度になります。 
• 局所コンパクト群のすべての共役類がコンパクト閉包を持つ場合、その群は従順である。この性質を持つ群の例には、コンパクト群、局所コンパクトアーベル群、有限共役類を持つ離散群などがある。^[9]
• 上記の直接極限特性により、グループの有限生成部分群がすべて従順である場合、そのグループは従順です。つまり、局所的に従順なグループは従順です。
  • 有限生成アーベル群の基本定理により、アーベル群は従順であることが分かります。
• 上記の拡張プロパティから、グループが有限インデックスの従属サブグループを持つ場合、そのグループは従属的であることがわかります。つまり、実質的に従属的なグループは従属的です。
• さらに、すべての解けるグループは従順であるということになります。

上記の例はすべて基本的な従順な例です。以下の最初のクラスの例は、中間成長のグループの存在により、非基本的な従順な例を示すために使用できます。

• 指数関数的成長の有限生成群は従順である。適切な球の部分列はフォルナー列を提供する。^[10]
• 有限生成無限単純群は、基本的な従属群を構成するために使用されるブートストラップ構成では得られません。従属的なそのような単純群が存在するため、JuschenkoとMonod ^[11]により、これは再び非基本的な従属例を提供します。

可算離散群が 2 つの生成元上の (非可換)自由部分群を含む場合、その群は従順ではない。この主張の逆はいわゆるフォン・ノイマン予想であるが、これは1980 年にオルシャンスキーがタルスキ怪物を用いて反証した。その後、アディアンによって自由バーンサイド群は従順ではないことが示された。すなわち、それらは周期的であるため、2 つの生成元上の自由群を含むことができない。これらの群は有限生成であるが、有限提示ではない。しかし、2002 年にサピアとオルシャンスキーは有限提示の反例、すなわち整数の商を持つ周期正規部分群を持つ従順でない有限提示群を発見した。^[12]

しかし、有限生成線型群については、フォン・ノイマン予想はティッツの代替案によって成り立つ。^[13] kが体であるGL ( n , k )のすべての部分群は、有限指数の正規可解部分群を持つ (したがって従順である) か、2 つの生成元上の自由群を含む。ティッツの証明は代数幾何学を使用したが、後に Guivarc'h は V. Oseledets の乗法エルゴード定理に基づく解析的証明を見出した。^{[14]ティッツの代替案の類似物は、}非正曲率の2 次元単体複体の基本群など、他の多くのグループのグループに対して証明されている。^[15]

• 一様境界表現
• カジダンの財産（T）
• フォン・ノイマン予想

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• テリー・タオによる従順性に関するいくつかのメモ
• ガリド、アレハンドラ。従属群入門