位置（幾何学）

3次元空間では、任意の3次元座標とその対応する基底ベクトルを用いて、空間内の点の位置を定義することができる。その際、最も単純な方法を用いることができる。

一般的には、おなじみのデカルト座標系、あるいは球面極座標系、円筒座標系が用いられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

ここでtはパラメータであり、直交または円形の対称性によるものです。これらの異なる座標と対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表します。代わりに、より一般的な曲線座標を使用することもできます。これは、連続体力学や一般相対性理論などの文脈で使用されています（後者の場合は、追加の時間座標が必要です）。

線形代数では、 n次元の位置ベクトルを抽象化することができます。位置ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として表現できます。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

すべての位置ベクトルの集合は位置空間（要素が位置ベクトルであるベクトル空間）を形成します。なぜなら、位置は加算（ベクトル加算）や長さのスケーリング（スカラー乗算）によって、空間内の別の位置ベクトルを得ることができるからです。「空間」という概念は直感的です。各x _i ( i = 1, 2, …, n ) は任意の値をとることができ、値の集合が空間内の点を定義します。

位置空間の次元は n です( dim ( R ) = n とも表記されます)。基底ベクトルe _iに関するベクトルrの座標はx _iです。座標ベクトルは、座標ベクトルまたはnタプル( x ₁ , x ₂ , …, x _n )を形成します。

各座標x _{i は}、複数のパラメータtでパラメータ化できます。1 つのパラメータx _i ( t ) は曲線の 1 次元パスを表し、2 つのパラメータx _i ( t ₁ , t ₂ ) は曲線の 2 次元表面を表し、3 つのx _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) は曲線の 3 次元空間を表し、以下同様です。

基底集合B = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } の線形スパンは位置空間Rに等しく、span( B ) = Rと表記される。

位置ベクトル場は、連続的で微分可能な空間曲線を記述するために使用され、その場合、独立パラメータは時間である必要はなく、（例えば）曲線の弧長であることもできます。

運動方程式では、位置ベクトルr ( t ) が通常最も求められる量です。なぜなら、この関数は粒子 (つまり点質量) の運動、つまりある時刻tにおける特定の座標系に対する位置を定義するからです。

運動を位置の観点から定義するために、各座標は時間によってパラメータ化することができます。時間の連続する各値は、座標によって与えられる連続する空間位置のシーケンスに対応するため、多数の連続する位置の連続極限は、粒子が描く経路となります。

一次元の場合、位置は成分が一つしかないため、実質的にスカラー座標に退化します。例えば、x方向のベクトル、または半径方向のr方向のベクトルになります。同等の表記法には、

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$