円に内接する四角形の例 幾何学 において、円に内接する 四角形 とは、すべての頂点が 単一の円 上にあり、辺がその円の弦となる 四角形 （4辺の多角形 ）のことです。この円は外接 円 と呼ばれ、頂点は同心円 外心 と外半径と呼ばれます。通常、四角形は 凸で あると仮定されますが、交差円に内接する 四角形も存在します。以下に示す公式と性質は、凸の場合に有効です。
「cyclic」という言葉は、古代ギリシャ語の κύκλος kuklos ）に由来し、「円」または「車輪」を意味します。
すべての三角形は 外接円 を持ちますが、すべての四角形が外接円を持つわけではありません。円に内接できない四角形の例として、正方形でないひし形が 挙げられます。以下の節の特性説明で は、四角形が外接円を持つために満たすべき必要十分条件 を示します。
特徴付け 外心M を持つ円に内接する四角形ABCD
補角 円周角の 定理 言葉を用いずに証明する： 2θ + 2φ = θ φ 凸四角形ABCDは、その対角が 補角で ある場合に限り円に内接します。つまり、[ 1 ] [ 2 ] α + γ = β + δ = π ラジアン （ = 180 ∘ ） 。 {\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{ラジアン}}\ (=180^{\circ }).}
直接定理は、ユークリッド の『原論』 [ 3 ] 外角が対向する 内角 と等しい場合に限り円に内接する。
1836年にダンカン・グレゴリーはこの結果を次のように一般化しました。 任意の 凸円周2n角形が与えられた場合、錯角 の2つの和はそれぞれ( n - 1) π [ 4 ] この結果は ... A2n （ n > 1） が頂点 Ai → Ai + k Ai が Ai + k ） 場合 、 錯角 の （ ここ で m = n - k 、 k 1,2,3 ,... は全回転数です）。[ 5 ]
各角度の立体投影（半角正接）を取ると、これは次のように言い換えることができます。
タン α 2 + タン γ 2 1 − タン α 2 タン γ 2 = タン β 2 + タン δ 2 1 − タン β 2 タン δ 2 = ∞ 。 {\displaystyle {\dfrac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\dfrac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}
これは次のことを意味します[ 6 ]
タン α 2 タン γ 2 = タン β 2 タン δ 2 = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1}
辺と対角線の間の角度 凸四角形ABCDは、辺と 対角線の 間の角度が、反対側の辺ともう一方の対角線の間の角度と等しい場合に限り、円に内接します。[ 7 ] ∠ A C B = ∠ A D B 。 {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}
パスカルポイント ABCD は円に内接する四角形です。Eは 対角線の交点、F は辺 BC と辺AD の延長線の交点です。ω は円 EF です。PとQ は円ω △ FAB △ FCD 凸四角形ABCD が 円に内接するためのその他の必要十分条件は次のとおりです。Eを 対角線の交点、F を辺 AD とBC の延長線の交点、ω を EF である円、P とQ を 円ω AB とCD上の パスカル点 とします。
ABCD は、点 P とQ が円 ω O と同一線上にある場合に限り、円に内接する四角形である。ABCD が 円に内接する四角形であるのは、点P とQ が辺 AB とCD の中点である場合に限る。[ 2 ]
対角線の交点 線分ACを含む直線と線分 BD を含む直線の2 つがE で交わる場合、4 つの点A 、B 、C 、D は、次の場合に限り同一円周上にある。[ 8 ] A E ⋅ E C = B E ⋅ E D 。 {\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.} Eは 円の内側または外側にある場合があります。前者の場合、円に内接する四角形はABCD となり、後者の場合、円に内接する四角形はABDC となります。交点が内側にある場合、等式は、Eが 一方の対角線を分割する線分の長さの積が、もう一方の対角線の長さの積に等しいことを示しています。円に内接する四角形の対角線は外接円の弦であるため、これは交差弦定理として知られています。
プトレマイオスの定理は、円に内接する四角形の2つの対角線 e とf の長さの積が、対辺の積の和に等しいことを表しています。[ 9 ] ： [ 2 ] e f = 1 c + b d 、 {\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,} a 、b 、c 、d は順に辺の長さを表す。逆 もまた真である。つまり、凸四角形においてこの式が満たされる場合、円に内接する四角形が形成される。
対角線三角形 ABCD は円に内接する四角形である。△ EFG はABCD の対角線で構成される三角形である。ABCDの二分線の交点Tは 、 △ EFG の9点円に含まれる。凸四角形ABCD において、△ EFG を ABCD の対角三角形とし、ω を △ EFG の 9 点円とする。ABCD が円に内接するのは、 ABCD の二分線の交点が9 点円ω [ 10 ] [ 11 ] [ 2 ]
エリア 辺の長さがa b c d K は 、ブラフマグプタの公式 [ 9 ] : p.24 K = （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） {\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,}
どこで s = 1 2 （ 1 + b + c + d ） {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)} は 半周長 です。これは、円に内接する場合、対角が補角となるため、一般四角形に対するブレッチュナイダーの 公式の系です。また、 d = 0 の場合、円に内接する四角形は三角形になり、公式はヘロンの公式 に簡略化されます。
円に内接する四角形は、辺の長さが同じすべての四角形の中で最大の面積を持つ（順序に関係なく）。これはブレッチシュナイダーの公式のもう一つの系である。 微積分 を用いて証明することもできる。[ 12 ]
長さがそれぞれ異なる4つの辺は、他の3つの辺の合計よりも短く、互いに合同でない円に内接する3つの四角形の辺であり、[ 13 ] a b c d a は辺 b c d
連続する辺がa b c d a d A 、辺 a b B [ 9 ] : p.25 K = 1 2 （ 1 b + c d ） 罪 B {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}
または K = 1 2 （ 1 d + b c ） 罪 A {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}
または[ 9 ] ： K = 1 2 （ 1 c + b d ） 罪 θ {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}
ここで、θ 、 [ 9 ] ： K = 1 4 （ 1 2 − b 2 − c 2 + d 2 ） タン A 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}
別の公式は[ 14 ] ： K = 2 R 2 罪 A 罪 B 罪 θ {\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}
ここで、R は外接円 の半径である。直接的な結果として、[ 15 ]
K ≤ 2 R 2 \displaystyle K\leq 2R^{2}}
対角線 連続する頂点がA 、B 、C 、D で、辺がa = AB b = BC c = CD d = DA p = AC q = BD [ 9 ] : [ 16 ] [ 17 ] :
p = （ 1 c + b d ） （ 1 d + b c ） 1 b + c d 、 q = （ 1 c + b d ） （ 1 b + c d ） 1 d + b c 、 {\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\\[2pt]q&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}\,,\end{aligned}}}
プトレマイオスの定理 を示すp q = 1 c + b d 。 {\displaystyle pq=ac+bd.}
プトレマイオスの第二定理 によれば、[ 9 ] ： [ 16 ] p q = 1 d + b c 1 b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}
上記と同じ表記法を使用します。
対角線の合計については、次の不等式が成り立ちます[ 18 ] :
p + q ≥ 2 1 c + b d 。 {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}
等号が成立するのは、対角線の長さが等しい場合のみであり、これは AM-GM不等式 を用いて証明できる。
さらに、[ 18 ] ：
（ p + q ） 2 ≤ （ 1 + c ） 2 + （ b + d ） 2 。 {\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}
凸四角形においては、2本の対角線によって四角形は4つの三角形に分割されます。円に内接する四角形においては、これらの4つの三角形の対向するペアは互いに相似です。
ABCDが 円に内接する四角形で、ACと BDが E で交わる場合、[ 19 ]
A E C E = A B C B ⋅ A D C D 。 \displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}
円に内接する四角形を形成できる辺の組は、3つの異なる配列のいずれかで配置することができ、それぞれの配列は、同じ外接円内に同じ面積の円に内接する四角形を形成できる（面積はブラフマグプタの面積公式に従って同じである）。これらの円に内接する四角形のうち、任意の2つは1つの対角線の長さを共有する。[ 17 ] ：
連続する辺a 、b 、c 、d 、半周長 s 、辺a とdの間の角度 A を持つ円に内接する四角形の場合、A の三角関数は [ 20 ] コス A = 1 2 − b 2 − c 2 + d 2 2 （ 1 d + b c ） 、 罪 A = 2 （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） （ 1 d + b c ） 、 タン A 2 = （ s − 1 ） （ s − d ） （ s − b ） （ s − c ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},\\[2pt]\sin A&={\frac {2{\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}{(ad+bc)}},\\[2pt]\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {(sa)(sd)}{(sb)(sc)}}}.\end{aligned}}}
対角線a とcの 間の角度θは [ 9 ] ： p.26 タン θ 2 = （ s − b ） （ s − d ） （ s − 1 ） （ s − c ） 。 {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)}{(sa)(sc)}}}。
対辺a とc の延長線が角度φ で交わる場合、 コス φ 2 = （ s − b ） （ s − d ） （ b + d ） 2 （ 1 b + c d ） （ 1 d + b c ） {\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}
ここでsは 半周長 である。[ 9 ] ：
モルワイデの公式 を円に内接する四角形に一般化したものが次の 2 つの恒等式で与えられます。Bを辺 a とb の間の角度、Cを b とc の間の角度、D を c とd の間の角度とします。Eが 対角線の交点である場合、∠ CED = θ とすると、次のようになります。 [ 21 ]
1 + c b + d = 罪 1 2 （ A + B ） コス 1 2 （ C − D ） タン 1 2 θ 、 1 − c b − d = コス 1 2 （ A + B ） 罪 1 2 （ D − C ） ベビーベッド 1 2 θ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(CD)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {ac}{bd}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(DC)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}
さらに、円に内接する四角形の接線の法則の一般化は次のようになります。 [ 22 ]
（ 1 − c ） （ b − d ） （ 1 + c ） （ b + d ） = タン 1 2 （ A − B ） タン 1 2 （ A + B ） 。 {\displaystyle {\frac {(ac)(bd)}{(a+c)(b+d)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(AB)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}.}
連続する辺a b c d 半周長 s 外接円 の半径 ) が[ 16 ] [ 23 ]で与えられます。 R = 1 4 （ 1 b + c d ） （ 1 c + b d ） （ 1 d + b c ） （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） 。 {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}}.}
これは15世紀にインドの数学者ヴァタッセリ・パラメシュヴァラ によって導き出されたものです。（なお、半径は辺の長さを入れ替えても変化しません。）
ブラフマグプタの公式 を用いると、パラメーシュヴァラの公式は次のように言い換えられる。 4 K R = （ 1 b + c d ） （ 1 c + b d ） （ 1 d + b c ） {\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}
ここで、K
その他の物件 日本の定理 円に内接する四角形の辺の長さが等差数列 を形成する場合、その四角形は二中心四角形 ではない。 円に内接する四角形の対辺を延長して点E とF で交わらせると、点E とF における角の内角二等分線 は垂直になる。[ 13 ]
ブラフマグプタ四角形 ブラフマグプタ四角形 [ 28 ] 学的に相似な 四角形がこれらの値をすべて整数にしない場合、それは原始ブラフマグプタ 四角形です。辺の長さ、対角線の長さ、面積がすべて有理数である四角形は、この記事では 有理ブラフマグプタ四角形 と呼ばれます。すべての原始ブラフマグプタ四角形は有理ブラフマグプタ四角形です。逆に、すべての有理ブラフマグプタ四角形は、ちょうど1つの原始ブラフマグプタ四角形と幾何学的に相似です。
すべての原始ブラフマグプタ四角形は、有理パラメータt u v a b c d e f K R ( u 、 v ) > t > 0 の場合、ブラフマグプタ四角形は自己交差せず、退化しません。
1 = [ t （ u + v ） + （ 1 − u v ） ] [ u + v − t （ 1 − u v ） ] b = （ 1 + u 2 ） （ v − t ） （ 1 + t v ） c = t （ 1 + u 2 ） （ 1 + v 2 ） d = （ 1 + v 2 ） （ u − t ） （ 1 + t u ） e = u （ 1 + t 2 ） （ 1 + v 2 ） f = v （ 1 + t 2 ） （ 1 + u 2 ） K = u v [ 2 t （ 1 − u v ） − （ u + v ） （ 1 − t 2 ） ] [ 2 （ u + v ） t + （ 1 − u v ） （ 1 − t 2 ） ] R = 1 4 （ 1 + u 2 ） （ 1 + v 2 ） （ 1 + t 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\[2pt]b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\[2pt]c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\[2pt]d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\[2pt]e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\[2pt]f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\[2pt]K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\[2pt]R&={\tfrac {1}{4}}(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).\\[2pt]\end{aligned}}}
共円点 § 整数面積と辺の長さ を 参照してください。これは、 0 < c 1 < c 2 < c 3 の有理数に依存する、すべての非退化原始ブラフマグプタ四角形の異なるパラメータ化です。
直交対角線の場合
円周半径と面積 円に内接する四角形が直交対角線 （対角線が垂直）でもある場合、対角線の交点が一方の対角線を長さp 1 p 2の線分に分割し、もう一方の対角線を長さ q 1 q 2 [ 29 ] アルキメデス の補題集 D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = 1 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}
ここで、D は外接円 の直径 である。これは、対角線が円の垂直な弦 であるため成り立つ。これらの式は、外接半径 Rが R = 1 2 p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}
または、四角形の辺に関して言えば、[ 24 ] R = 1 2 1 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 。 {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}
また、次のことも導かれる[ 24 ] 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 。 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}
したがって、オイラーの四角形定理 によれば、外接円の半径は対角線p q xを用いて次のように表すことができる。 R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 。 {\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}
プトレマイオスの定理 と正対角四角形の面積の公式を組み合わせると、円に内接する正対角四角形の 面積 K [ 30 ] : p.222である。 K = 1 2 （ 1 c + b d ） 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}
円周を持つ球面四角形 球面幾何学 では、4 つの交差する大円から形成される球面四角形は、対角の和が等しい場合、すなわち、四角形の連続する角 α、β、γ、δ に対して α + γ = β + δ である場合に限り、円周を持つ。[ 31 ] Anders Johan Lexellによって証明された。 [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]
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さらに読む D. フレイヴェール：円周四角形に内接するパスカル点四角形 
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\\[2pt]q&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42b9c0aad995f01d2b21efeaaf98c5d11a51cad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},\\[2pt]\sin A&={\frac {2{\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}{(ad+bc)}},\\[2pt]\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {(sa)(sd)}{(sb)(sc)}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec571393330bdf473e983556226b0101e11ffc1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(CD)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {ac}{bd}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(DC)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352b6b1e241cb2859e694757c8245003b6b53148)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]\\[2pt]b&=(1+u^{2})(vt)(1+tv)\\[2pt]c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\[2pt]d&=(1+v^{2})(ut)(1+tu)\\[2pt]e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\[2pt]f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\[2pt]K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\[2pt]R&={\tfrac {1}{4}}(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).\\[2pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afb73bbd0cac2ef0ae45608a0919787eec0b320)
