アウト(Fn)

数学において、Out( F _n ) はn 個の生成元を持つ自由群の外部自己同型群である。これらの群は、任意の有限生成群の生成元を持つ表現の集合に作用するため、幾何学的群論では普遍段階にある。^[1]一般線型群や写像類群との幾何学的類似性にもかかわらず、その複雑さは一般により困難であると考えられており、この分野での新しい技術の開発を促進してきた。 ${\displaystyle n}$

を階数 の自由非可換群とします。の内部自己同型、つまり の元による共役として得られる自己同型の集合は、正規部分群です。 の外部自己同型群は商 です。の元は外部クラスと呼ばれます。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {宿} (F_{n})\triangleleft \mathrm {Aut} (F_{n})}$${\displaystyle F_{n}}$$${\displaystyle \mathrm {アウト} (F_{n}):=\mathrm {アウト} (F_{n})/\mathrm {イン} (F_{n})。}$$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

アーベル化写像は、一般線型群 への準同型写像を誘導する。一般線型群は の自己同型群である。この写像は全射であり、群拡大 を形成する。 ${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1}$。

カーネルは のTorelli 群です。 ${\displaystyle \mathrm {トール} (F_{n})}$${\displaystyle F_{n}}$

この写像は同型写像である。これは高階数では成立しなくなる。 のトレッリ群には、2 つの基底元を固定し、残りの 1 つを他の 2 つの交換子で乗算する自己同型写像​​が含まれる。 ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{2})\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle F_{3}}$

定義により、は による内部自己同型群の拡張です。内部自己同型群自体は、を核とする共役による作用の像です。 はに対して自明なので、これは短い完全列 を与えます。すべての に対して、追加の生成子を固定したの自己同型の拡張の外部クラスを取ることによって得られる埋め込みが存在します。したがって、部分群と商に継承される特性を調べる場合、との理論は本質的に同じです。 ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$${\displaystyle \mathrm {旅館} (F_{n})}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$ ${\displaystyle Z(F_{n})}$${\displaystyle Z(F_{n})}$${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle 1\rightarrow F_{n}\rightarrow \mathrm {Aut} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow 1.}$$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

はn個の円の花束の基本群であるため、閉曲面の基本群の外部自己同型群に同型である閉曲面の写像類群と同様に、ホモトピーカテゴリにおけるn個の円の花束の写像類群として位相的に記述できます。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

基本群 を持つ任意の有限グラフが与えられた場合、そのグラフは、グラフに収束する 1 つの境界要素を持つ曲面まで「厚く」することができます。ビルマン完全列は、写像類群 から写像を生成します。そのような写像のイメージにある の要素は、幾何学的と呼ばれます。そのような外部クラスは、境界に対応する巡回語を不変にしておく必要があるため、多くの非幾何学的外部クラスが存在します。逆は、いくつかの既約仮定の下では真であり、^[2]共役類を固定する外部クラスの幾何学的実現を提供します。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {MCG} (S)\longrightarrow \mathrm {アウト} (F_{n})}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

• は線形ではない、つまり体上の行列による忠実な表現は存在しない（Formanek, Procesi, 1992） ^[3]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$
• に対して、の等周関数は指数関数的である（Hatcher, Vogtmann, 1996）^[4]${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$
• ティッツ代替法は、各サブグループは実質的に解けるか、ランク2の自由群を含むかのいずれかである（ベストヴィナ、フェイン、ハンデル、2000）^[5]${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$
• のすべての可解な部分群は有限指数の有限生成自由アーベル部分群を持つ（Bestvina, Feighn, Handel, 2004）^[6]${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$
• に対して、数列によって誘導される^次数ホモロジー射の有限個を除いてすべては同型である（Hatcher and Vogtmann, 2004）；^[7]${\displaystyle i>0}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \ldots \rightarrow \mathrm {Out} (F_{n-1})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})\rightarrow \ldots }$$
• については、カジダンの性質（T）が成り立つ（ についてはKaluba, Nowak, Ozawa, 2019 、 についてはKaluba, Kielak, Nowak, 2021 ）；^[8]${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle n\geq 6}$
• 非対称性条件を満たす双曲複体への作用は、類群を写像するための曲線の複体のような複体と類似して構築された。 ^[9]

Out( F _n )は、Culler - Vogtmann Outer空間と呼ばれるセル複合体に幾何学的に作用します。これは、円の束のFricke-Teichmüller空間と考えることができます。

外部空間の点は、本質的には、Xからn個の円の花束へのホモトピー同値である自由ホモトピー類の特定の選択を伴う、n個の円の花束に同値な-グラフXホモトピーです。-グラフは、単に重みが にある重み付きグラフです。すべての重みの合計は 1 で、すべての重みは正である必要があります。曖昧さを回避するには (および有限次元空間を取得するには)、各頂点の価数が少なくとも 3 である必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ホモトピー同値性f を回避する、より記述的な見方は次のとおりです。n 個の円の花束の基本群を n 個の変数の自由群と同一視することができます。さらに、X内の極大木を選択し、残りの各辺に対して方向を選択できます。次に、残りの各辺eに次の方法で単語を割り当てます。極大木でeから始まり、 eの原点に戻る閉じたパスを考えます。このパスをfと合成すると、 n個の円の花束の閉じたパスが得られ、したがってその基本群の要素が得られます。この要素は明確に定義されていません。fを自由ホモトピーで変更すると、別の要素が得られます。これらの 2 つの要素は互いに共役であることが判明しているため、この共役クラスで唯一の巡回簡約要素を選択できます。これらのデータからfの自由ホモトピー型を再構築することができます。このビューには、 fの余分な選択を回避できるという利点がありますが、最大のツリーと残りのエッジの方向を選択する必要があるため、追加の曖昧さが生じるという欠点があります。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$

Out( F _n ) の外部空間への操作は次のように定義されます。のすべての自己同型g は、 n 個の円のブーケの自己ホモトピー同値g′ を誘導します。f をg′と合成すると、目的の動作が得られます。そして、他のモデルでは、それは単にgを適用し、結果の単語を巡回的に簡約するだけです。 ${\displaystyle F_{n}}$

外部空間のすべての点は、一意の長さ関数を決定します。 内の単語は、選択されたホモトピー同値を介して、X内の閉じたパスを決定します。 単語の長さは、その閉じたパスの自由ホモトピークラス内のパスの最小の長さです。 このような長さ関数は、各共役クラスで一定です。 この割り当ては、外部空間の無限次元射影空間への埋め込みを定義します。 ${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$

2 番目のモデルでは、開単体は、組み合わせ的に同じ基礎グラフを持ち、同じエッジに同じ単語がラベル付けされている (エッジの長さのみが異なる場合がある) すべての -グラフによって与えられます。このような単体の境界単体は、エッジを折りたたむことによってこのグラフから生じるすべてのグラフで構成されます。そのエッジがループである場合、グラフのホモトピー タイプを変更せずに折りたたむことはできません。したがって、境界単体はありません。したがって、外部空間を、いくつかの単体が削除された単体複合体として考えることができます。 の作用が単体であり、有限の等方性グループを持つことは簡単に確認できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {出力} (F_{n})}$

• 鉄道路線図
• 自由群の自己同型群
• 宇宙

• Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). 「グラフのモジュライと自由群の自己同型性」(PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. doi :10.1007/BF01388734. MR  0830040.
• Vogtmann, Karen (2002). 「自由群と宇宙空間の自己同型性」(PDF) . Geometriae Dedicata . 94 : 1–31. doi :10.1023/A:1020973910646. MR  1950871.
• ヴォクトマン、カレン（2008）「宇宙とは何か？」（PDF）、アメリカ数学会誌、55（7）：784–786、MR  2436509