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幾何学において、座標系は、1つ以上の数値、つまり座標を使用して、ユークリッド空間などの多様体上の点やその他の幾何学的要素の位置を一意に決定するシステムです。[1] [2]座標の順序は重要であり、座標は順序付けられた組内の位置によって識別される場合もあれば、「 x座標」のように文字によって識別される場合もあります。座標は初等数学では実数とみなされますが、複素数や可換環などのより抽象的なシステムの要素である場合もあります。座標系を使用すると、幾何学の問題を数値に関する問題に変換したり、その逆を行ったりすることができます。これが解析幾何学の基礎です。[3]
共通座標系
数直線
座標系の最も単純な例は、数直線を使用して直線上の点を実数で識別することです。このシステムでは、任意の点O (原点) が与えられた直線上で選択されます。点Pの座標は、 OからPまでの符号付き距離として定義されます。ここで、符号付き距離は、直線Pのどちら側にあるかに応じて正または負に取られる距離です。各点には一意の座標が与えられ、各実数は一意の点の座標です。[4]
直交座標系
座標系の典型的な例は、直交座標系です。平面では、2本の垂直な線が選択され、点の座標は線までの符号付き距離とされます。[5] 3次元では、3つの相互に直交する平面が選択され、点の3つの座標は各平面までの符号付き距離です。[6]これを一般化して、 n次元ユークリッド空間の任意の点に対してn個の座標を作成できます。
座標軸の方向と順序に応じて、3 次元システムは右手系または左手系になります。
極座標系
平面に対するもう 1 つの一般的な座標系は、極座標系です。[7]ある点が極として選択され、この点からの光線が極軸として取られます。与えられた角度θに対して、極を通る 1 本の直線と極軸との角度はθです(軸から直線まで反時計回りに測定)。次に、与えられた数rに対して、原点からの符号付き距離がrであるこの直線上に唯一の点があります。与えられた座標のペア ( r , θ ) に対して 1 つの点がありますが、どの点も複数の座標のペアによって表されます。たとえば、 ( r , θ )、 ( r , θ +2 π )、および (− r , θ + π ) はすべて同じ点の極座標です。極は、 θの任意の値に対して(0, θ )で表されます。
円筒座標系と球面座標系
極座標系を3次元に拡張する方法は2つあります。円筒座標系では、直交座標と同じ意味を持つz座標がrおよびθ極座標に追加され、( r , θ , z )の3つになります。[8]球面座標では、円筒座標のペア ( r , z ) を極座標 ( ρ , φ ) に変換することでこれをさらに一歩進め、( ρ , θ , φ )の3つになります。[9]
同次座標系
平面上の点は、x / zとy / zがその点の直交座標である3 つの座標 ( x、 y、 z )で同次座標系で表すことができます。 [10]平面上の点を指定するには 2 つの座標だけが必要なので、これにより「余分な」座標が導入されますが、このシステムは無限大を使用せずに射影平面上の任意の点を表すことができる点で便利です。一般に、同次座標系とは、座標の比率のみが重要であり、実際の値は重要ではない座標系です。
その他のよく使われるシステム
その他の一般的な座標系は次のとおりです。
- 曲線座標は一般に座標系の一般化であり、曲線の交差に基づいた座標系です。
- 対数極座標系は、平面上の点を原点からの距離の対数と、原点と交差する基準線から測定した角度で表します。
- プルッカー座標は、6 組の数値を同次座標として使用して 3D ユークリッド空間内の線を表す方法です。
- 一般化座標は、力学のラグランジアン処理で使用されます。
- 標準座標は、力学のハミルトン処理で使用されます。
- 三角図や、より一般的には三角形の解析に使用される重心座標系。
- 三線座標は三角形のコンテキストで使用されます。
曲率や弧の長さなどの不変量を使用する内部方程式を使用して、座標なしで曲線を記述する方法があります。これには次の方法が含まれます。
幾何学的オブジェクトの座標
座標系は点の位置を指定するためによく使用されますが、線、平面、円、球などのより複雑な図形の位置を指定するためにも使用されることがあります。たとえば、プルッカー座標は空間内の線の位置を決定するために使用されます。[11]必要に応じて、記述する図形の種類によって座標系の種類を区別します。たとえば、線の位置を指定する座標系には線座標という用語が使用されます。
2つの異なる幾何学的図形の座標系が、解析の点では同等である場合があります。その一例は、射影平面上の点と線の同次座標系です。このような場合の2つの座標系は、二元的であると言われています。二元的システムには、一方のシステムから得た結果をもう一方のシステムに引き継ぐことができるという性質があります。これは、これらの結果が同じ解析結果の異なる解釈にすぎないためです。これは、双対性の原理として知られています。[12]
変革
幾何学的図形を記述するための座標系は、多くの場合、数多く存在します。異なる座標系間の関係は、座標変換によって記述されます。座標変換では、ある座標系の座標を別の座標系の座標で表す式が与えられます。たとえば、平面上で、直交座標 ( x、 y ) と極座標 ( r、 θ ) の原点が同じで、極軸が正のx軸である場合、極座標から直交座標への座標変換は、x = r cos θおよびy = r sin θで表されます。
空間からその空間自体への すべての全単射には、 2 つの座標変換が関連付けられます。
- 各点の画像の新しい座標が元の点の古い座標と同じになるようにします（マッピングの式は座標変換の式の逆です）
- 各点の画像の古い座標が元の点の新しい座標と同じになるようにします（マッピングの式は座標変換の式と同じです）
たとえば、1Dでマッピングが右への 3 の移動である場合、最初のマッピングでは原点が 0 から 3 に移動するため、各点の座標は 3 小さくなり、2 番目のマッピングでは原点が 0 から -3 に移動するため、各点の座標は 3 大きくなります。
座標線/曲線
座標系が与えられた場合、点の座標の1つが変化し、他の座標が一定に保たれている場合、結果として得られる曲線は座標曲線と呼ばれます。座標曲線が直線である場合、それは座標線と呼ばれます。一部の座標曲線が直線ではない座標系は、曲線座標系と呼ばれます。[13] 直交座標は、曲線座標の特殊ですが非常に一般的なケースです。
他のすべての定数座標がゼロに等しい座標線は、座標軸と呼ばれ、座標を割り当てるために使用される有向線です。直交座標系では、すべての座標曲線は線であるため、座標と同じ数の座標軸が存在します。さらに、座標軸は互いに直交しています。
極座標系は、座標曲線が直線または円である曲線系です。ただし、座標曲線の 1 つは単一の点、つまり原点に縮小され、これは多くの場合、半径 0 の円として表示されます。同様に、球面座標系と円筒座標系には、直線、円、または半径 0 の円である座標曲線があります。
多くの曲線が座標曲線として現れます。たとえば、放物座標の座標曲線は放物線です。
座標平面/表面
3次元空間において、1つの座標を一定に保ち、他の2つの座標が変化することを許容する場合、結果として得られる面は座標面と呼ばれます。たとえば、球面座標系でρを一定に保つことによって得られる座標面は、原点を中心とする球です。3次元空間では、2つの座標面の交差は座標曲線です。直交座標系では、座標平面と呼ぶことがあります。同様に、座標超曲面は、 n次元座標系の1つの座標を固定することによって得られる( n −1)次元空間です。[14]
座標マップ
座標マップ、または座標チャートの概念は、多様体理論の中心です。座標マップは本質的に、各点が正確に 1 つの座標セットを持つという特性を持つ、与えられた空間の部分集合の座標系です。より正確には、座標マップは、空間Xの開部分集合からR nの開部分集合への同相写像です。[15]多くの場合、空間全体に対して 1 つの一貫した座標系を提供することはできません。この場合、座標マップのコレクションがまとめられて、空間をカバーするアトラスを形成します。このようなアトラスを備えた空間は多様体と呼ばれ、座標マップが重なり合う部分で構造が一貫している場合は、多様体上に追加の構造を定義できます。たとえば、微分可能多様体は、 1 つの座標マップから別の座標マップへの座標の変更が常に微分可能な関数である多様体です。
方向ベースの座標
幾何学と運動学では、座標系は点の（線形）位置と軸、平面、剛体の角度位置を記述するために使用されます。[16]後者の場合、ノードに固定された2番目の（通常「ローカル」と呼ばれる）座標系の方向は、最初の（通常「グローバル」または「ワールド」座標系と呼ばれる）座標系に基づいて定義されます。たとえば、剛体の方向は、 3つの点の直交座標を3つの列に含む方向行列で表すことができます。これらの点は、ローカルシステムの軸の方向を定義するために使用されます。これらは、それらの軸に沿った 3つの単位ベクトルの先端です。
地理システム
地球全体は、位置の正確な測定と座標系を必要とする最も一般的な幾何学的空間の 1 つです。ヘレニズム時代のギリシャ人から始まり、上記の種類に基づいて、次のようなさまざまな座標系が開発されました 。
- 地理座標系、緯度と経度の球面座標
- 投影座標系には、数千の直交座標系が含まれており、それぞれが地図投影に基づいて世界または地域の平面を作成します。
- 地心座標系は、地球を物体としてモデル化する3 次元直交座標系であり、全地球測位システムやその他の衛星ナビゲーションシステムを含む衛星の軌道をモデル化するために最も一般的に使用されます。
参照
相対論的座標系
参考文献
引用
- ^ ウッズ p. 1
- ^ Weisstein, Eric W.「座標系」。MathWorld。
- ^ Weisstein, Eric W.「座標」。MathWorld。
- ^ スチュワート、ジェームズ B. ; レドリン、ローター; ワトソン、サリーム (2008)。大学代数(第 5 版)。ブルックス コール。pp . 13–19。ISBN 978-0-495-56521-5。
- ^ アントン・ハワード、ビベンス・アーレルC、デイビス・スティーブン（2021年）。微積分学：多変数。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p.657。ISBN 978-1-119-77798-4。
- ^ Moon P、Spencer DE (1988)。「直交座標 (x、y、z)」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(訂正第 2、第 3 刷)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. 9–11 (表 1.01) 。ISBN 978-0-387-18430-2。
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- ^ マーゲナウ、ヘンリー、マーフィー、ジョージ M. (1956)。物理と化学の数学。ニューヨーク市: D. ヴァン ノストランド。p. 178。ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
- ^ モース, PM ;フェシュバッハ, H (1953).理論物理学の方法、第 1 部。ニューヨーク: マグロウヒル。p. 658。ISBN 0-07-043316-XLCCN 52011515 。
- ^ ジョーンズ、アルフレッド・クレメント（1912年）。代数幾何学入門。クラレンドン。
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- ^ ウッズ p. 2
- ^ Tang, KT (2006).エンジニアと科学者のための数学的手法. 第2巻. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9。
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- ^ Munkres, James R. (2000)トポロジープレンティスホールISBN 0-13-181629-2 .
- ^ Hanspeter Schaub ; John L. Junkins (2003). 「剛体運動学」.宇宙システムの解析力学. アメリカ航空宇宙学会. p. 71. ISBN 1-56347-563-4。
出典
外部リンク
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- 六角座標系