埋め込み

一般的な位相幾何学において、埋め込みとは、その像への同相写像のことである。^{[ 3 ]}より具体的には、単射連続写像である。${\displaystyle f:X\to Y}$位相空間間${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$位相埋め込みである場合${\displaystyle f}$は同相写像を生み出す${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f(X)}$（どこ${\displaystyle f(X)}$から継承された部分空間トポロジーを運ぶ${\displaystyle Y}$)直感的には、埋め込み${\displaystyle f:X\to Y}$私たちに${\displaystyle X}$部分空間として${\displaystyle Y}$すべての埋め込みは単射かつ連続です。単射で連続であり、かつ開いているか閉じているかのいずれかであるマップはすべて埋め込みですが、開いているか閉じていない埋め込みも存在します。後者は、画像が${\displaystyle f(X)}$は開集合でも閉集合でもない${\displaystyle Y}$。

与えられた空間に対して${\displaystyle Y}$埋め込みの存在${\displaystyle X\to Y}$は位相不変量である${\displaystyle X}$これにより、一方の空間が他方の空間に埋め込むことができ、他方の空間が埋め込むことができない場合、2つの空間を区別することができる。

微分位相において：${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$滑らかな多様体であり、${\displaystyle f:M\to N}$滑らかな地図である。${\displaystyle f}$導関数が至るところで単射である場合、それは埋め込みと呼ばれます。埋め込み、または滑らかな埋め込みは、上述の位相的な意味での埋め込み（つまり、その像への同相写像）である埋め込みとして定義されます。^{[ 4 ]}

言い換えれば、埋め込みの定義域はその像と微分同相であり、特に埋め込みの像は部分多様体でなければならない。埋め込みはまさに局所埋め込みであり、すなわち任意の点に対して${\displaystyle x\in M}$近隣地域があります${\displaystyle x\in U\subset M}$そのため${\displaystyle f:U\to N}$これは埋め込みです。

領域多様体がコンパクトな場合、滑らかな埋め込みの概念は、単射的埋め込みの概念と同等である。

重要な事例は${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ここでの関心は、その規模がどれくらい大きいかということである。${\displaystyle n}$次元の観点から、埋め込みのためのものである必要がある${\displaystyle m}$の${\displaystyle M}$ホイットニー埋め込み定理^{[ 5 ]}は、${\displaystyle n=2m}$で十分であり、最良の線形境界です。たとえば、実射影空間${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$寸法${\displaystyle m}$、 どこ${\displaystyle m}$2のべき乗であり、${\displaystyle n=2m}$埋め込みの場合。ただし、これはイマージョンには適用されません。たとえば、${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$浸ることができる$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ボーイの曲面が示すように、自己交差が存在する。ローマの曲面は、クロスキャップが含まれているため、埋め込みにはならない。

埋め込みが境界に関して適切に振る舞う場合、それはマップを必要とします。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$次のようなものである

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$、 そして
• ${\displaystyle f(X)}$は​​${\displaystyle \partial Y}$いかなる時点においても${\displaystyle f(\partial X)}$。

最初の条件は、${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$そして${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$2番目の条件は、大まかに言えば、${\displaystyle f(X)}$境界に接していない${\displaystyle Y}$。

リーマン幾何学および擬リーマン幾何学において：${\displaystyle (M,g)}$そして${\displaystyle (N,h)}$リーマン多様体、またはより一般的には擬リーマン多様体である。等長埋め込みは滑らかな埋め込みである。${\displaystyle f:M\rightarrow N}$それは、次のような意味で（擬似）計量を保持する。${\displaystyle g}$はプルバックに等しい${\displaystyle h}$による${\displaystyle f}$つまり${\displaystyle g=f^{*}h}$具体的には、任意の2つの接線ベクトルに対して${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$我々は持っています

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

同様に、等長埋め込みとは、（擬）リーマン多様体間の埋め込みであり、（擬）リーマン計量を保存するものである。

同様に、リーマン幾何学では、等長埋め込み（イマージョン）は曲線の長さを保存する滑らかな埋め込み（イマージョン）である（ナッシュ埋め込み定理を参照）。^{[ 6 ]}

場の理論において、場の埋め込みとは${\displaystyle E}$野原で${\displaystyle F}$環準同型である${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$。

核​​${\displaystyle \sigma }$理想は​${\displaystyle E}$これはフィールド全体ではない${\displaystyle E}$状態のため${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$さらに、どの体も、零イデアルと体全体のみをイデアルとして持ちます（イデアルに零でない体要素があれば、それは可逆であり、イデアルが体全体であることを示しています）。したがって、核は${\displaystyle 0}$したがって、任意の体の埋め込みは単射である。ゆえに、${\displaystyle E}$部分体と同型である${\displaystyle \sigma (E)}$の${\displaystyle F}$これは、任意の体準同型写像に対する埋め込みという名称を正当化するものである。

もし${\displaystyle \sigma }$署名であり${\displaystyle A,B}$は${\displaystyle \sigma }$-構造（別名）${\displaystyle \sigma }$普遍代数における代数、またはモデル理論におけるモデル）、そして写像${\displaystyle h:A\to B}$は${\displaystyle \sigma }$以下の条件がすべて満たされる場合、正確に埋め込みが行われます。

• ${\displaystyle h}$単射である、
• すべての${\displaystyle n}$-項関数記号${\displaystyle f\in \sigma }$そして${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$我々は持っています${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$、
• すべての${\displaystyle n}$-項関係記号${\displaystyle R\in \sigma }$そして${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$我々は持っています${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$もし${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

ここ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$は、以下のモデル理論表記と同等です。${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$モデル理論には、基本埋め込みというより強い概念も存在する。

重要な特殊なケースとして、ノルム空間が挙げられます。この場合、線形埋め込みを考えるのが自然です。

有限次元ノルム空間について問われる基本的な質問の1つは、${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$最大次元は何か${\displaystyle k}$ヒルベルト空間が${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$線形に埋め込むことができる${\displaystyle X}$常に歪みがある？

答えはドヴォレツキーの定理によって与えられる。