擬リーマン多様体

数理物理学において、擬リーマン多様体[ ¹^]^[²^] （半リーマン多様体とも呼ばれる）は、計量テンソルが至るところで非退化である微分可能な多様体である。これは、正^定値性の要件が緩和されたリーマン多様体の一般化である。

一般相対性理論で用いられる特殊なケースとして、時空をモデル化するための4次元ローレンツ多様体があり、接線ベクトルは時間的、ヌル、空間的に分類される。

導入

多様体

微分幾何学において、微分可能多様体とは、局所的にユークリッド空間と相似な空間のことである。n次元ユークリッド空間では、任意の点をn個の実数で表すことができる。これらの実数は、その点の座標と呼ばれる。

n次元微分可能多様体は、 n次元ユークリッド空間の一般化です。多様体においては、座標を局所的にしか定義できない場合があります。これは、座標パッチ、すなわちn次元ユークリッド空間に写像できる多様体の部分集合を定義することによって実現されます。

詳細については、「多様体」、「微分可能多様体」、「座標パッチ」を参照してください。

接空間と計量テンソル

各ポイントに関連付けられています $p$ で $n$ 次元微分可能多様体 $M$ は接空間（と表記される）である。 $T_{p}M$ これは $n$ 要素が点を通る曲線の同値類と考えることができる次元ベクトル空間 $p$ 。

計量テンソルは、多様体の各接空間における接ベクトルのペアに実数を割り当てる、非退化で滑らかで対称な双線形写像である。計量テンソルをで表す。 $g$ これを次のように表現できます。

g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .

この地図は対称かつ双線形なので、 $X,Y,Z\in T_{p}M$ は、ある点における接線ベクトルである。 $p$ 多様体へ $M$ すると、

$\,g(X,Y)=g(Y,X)$
$\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

任意の実数に対して $a\in \mathbb {R}$ 。

それ $g$ 非退化とは、非ゼロの $X\in T_{p}M$ そのため $g(X,Y)=0$ すべての人々のために $Y\in T_{p}M$ 。

メトリック署名

n次元実多様体上の計量テンソルgが与えられたとき、任意の直交基底の各ベクトルに適用される計量テンソルに関連付けられた二次形式q ( x ) = g ( x , x )はn個の実数値を生成します。シルベスターの慣性の法則により、このようにして生成される正、負、およびゼロの各値の数は、直交基底の選択に関係なく、計量テンソルの不変量となります。計量テンソルの符号( p , q , r )は、これらの数値を同じ順序で示します。非退化計量テンソルはr = 0であり、符号は( p , q )と表記できます。ここでp + q = n です。

意味

擬リーマン多様体( M , g )は、至るところで非退化で滑らかで対称な計量テンソルgを備えた微分可能な多様体Mです。

このような計量は擬リーマン計量と呼ばれます。ベクトル場に適用すると、多様体の任意の点における結果として得られるスカラー場の値は、正、負、またはゼロになります。

擬リーマン計量の符号は( p , q )であり、pとqはともに非負である。非退化条件と連続性から、pとq は多様体全体にわたって変化しないことがわかる（多様体が連結であると仮定した場合）。

ローレンツ多様体

ローレンツ多様体は、計量の符号が(1, n −1) (同等に、( n −1, 1)である擬リーマン多様体の重要な特殊な場合です(符号規約を参照)。このような計量はローレンツ計量と呼ばれます。その名前は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで付けられました。

物理学における応用

リーマン多様体に次いで、ローレンツ多様体は擬リーマン多様体の最も重要なサブクラスを形成する。これらは一般相対性理論の応用において重要である。

一般相対性理論の主要な前提は、時空が符号(3, 1)または同等に(1, 3)の 4 次元ローレンツ多様体としてモデル化できるということである。正定値計量を持つリーマン多様体とは異なり、不定符号では接線ベクトルを時間的、ヌル、または空間的に分類することができる。符号が( p , 1)または(1, q )の場合、多様体は局所的に (そしておそらく大域的に) 時間方向付け可能である (因果構造を参照)。