相対的に双曲的な群

数学において、相対双曲群の概念は、双曲群という幾何学的群論の概念の重要な一般化である。相対双曲群の動機となる例は、有限体積の完全非コンパクト双曲多様体の基本群である。

群Gが 部分群Hに関して相対双曲的であるとは、GのケイリーグラフをH-剰余類に沿って縮約した後、通常のグラフ計量を備えた結果のグラフがδ-双曲空間になり、さらに、共通の端点を持つ準測地線がほぼ同じ剰余類の集合を通過し、ほぼ同じ場所でこれらの剰余類に出入りするという技術的な条件を満たす場合である。

経路計量を備えたケイリーグラフΓ ( G ) とGの部分群H を持つ有限生成群 G が与えられた場合、次のようにして円錐化されたケイリーグラフを構築できます。各左剰余類gHに対して、ケイリーグラフΓ ( G ) に頂点 v ( gH ) を追加し、 gHの各要素xに対して、 xから頂点v ( gH ) までの長さ 1/2 の辺e ( x ) を追加します。この結果、適切ではない可能性のある計量空間が生成されます(つまり、閉じた球はコンパクトである必要はありません)。 ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(G,H)}$

Bowditchによって定式化された相対的に双曲的な群の定義は次のようになります。ケーリー グラフの円錐が次の特性を持つ 場合、群Gは部分群Hに対して双曲的で あると言えます。${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(G,H)}$

• これはδ双曲型であり、
• 問題ありません。各整数 L に対して、すべての辺は長さ L の有限個の単純サイクルにのみ属します。

最初の条件のみが成り立つ場合、群G はHに関して弱相対双曲的であると言われます。

ケーリーグラフの円錐の定義は、部分群の集合の場合に一般化することができ、相対双曲性という対応する概念を生み出します。相対双曲性を持つ部分群の集合を含まない群Gは、相対双曲性を持たない群と呼ばれます。

• 群G が双曲群Hに関して相対的に双曲的である場合、G自体も双曲的である。

• 群Gが群Hに対して相対的に双曲的である場合、それはコンパクト空間上の幾何学的に有限な収束群として作用し、そのボウディッチ境界は

• グループG が、解ける文章問題を持つグループHに関して相対的に双曲的である場合、G は解ける文章問題 (Farb) を持ち、H が解ける共役問題を持つ場合、G は解ける共役問題 (Bumagin) を持つ。

• 群G が群Hに関して捩れのない相対双曲的であり、H が有限の分類空間を持つ場合、G も同様である(Dahmani)

• 群G がファレル・ジョーンズ予想を満たす群Hに関して相対的に双曲的である場合、G はファレル・ジョーンズ予想 (Bartels) を満たします。

• より一般的には、多くの場合（ただしすべてではないし、容易または体系的でもない）、すべての双曲群とHが満たす性質は、Gも満たすと疑われることがある。

• 周辺部分群が有限生成冪零である場合の実質的に捩れのない相対双曲群の同型性問題 (Dahmani、Touikan )

• 有限階数の自由群や双曲面の基本群などの任意の双曲群は、自明な部分群に対して双曲的である。
• 有限体積の完全 双曲多様体の基本群は、そのカスプ部分群に対して双曲的です。同様の結果は、負の断面曲率を持つ任意の完全有限体積リーマン多様体に対しても当てはまります。
• 階数 2 の自由アーベル群 Z ^{2は、巡回部分群}Zに対して弱双曲的ですが、双曲的ではありません。つまり、グラフが双曲的であっても、それは正常ではありません。${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(\mathbb {Z} ^{2},\mathbb {Z} )}$
• 群Hと任意の双曲群との自由積は、 Hに対して相対的に双曲的である。
• 自由群の極限として現れる極限群は、いくつかの自由アーベル部分群に比べて相対的に双曲的です。
• 自由群と無限巡回群の半直積は、いくつかの標準部分群に比べて相対的に双曲的である。
• 組み合わせ定理と小さなキャンセル技術により、以前の例から新しい例を構築できます。
• 有向有限型曲面の写像類群は、双曲型（3 g + n <5 の場合、gは種数、nは穴の数）であるか、またはどの部分群に対しても相対的に双曲型ではありません。
• 少なくとも 3 の有限ランクの自由群の自己同型群と外部自己同型群は相対的に双曲的ではありません。

• ミハイル・グロモフ、「双曲群」、群論論文集、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、8、75-263、Springer、ニューヨーク、1987年。
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