小さな相殺理論

数学の分野である群論において、小相殺理論は、定義関係が互いに「小さな重なり」を持つ、小相殺条件を満たす群表示によって与えられる群を研究します。小相殺条件は、群の代数的、幾何学的、およびアルゴリズム的特性を示します。十分に強い小相殺条件を満たす有限表示群は、単語双曲的であり、デーンのアルゴリズムによって解ける単語問題を持ちます。小相殺法は、タルスキモンスターの構築や、バーンサイドの問題の解決にも使用されます。

小さな相殺理論の基礎となるアイデアのいくつかは、1910年代のマックス・デーンの研究に遡ります。 ^[1]デーンは、少なくとも種数が2である閉じた向き付け可能な曲面の基本群には、現在デーンのアルゴリズムと呼ばれているものによって解ける文章問題があることを証明しました。彼の証明では、そのような群のケイリーグラフを双曲平面に描き、ケイリーグラフ内の閉じたループに対してガウス・ボネの定理を介して曲率推定を実行し、そのようなループには定義関係の大部分（半分以上）が含まれているはずだと結論付けました。

1949 年の Tartakovskii の論文^[2]は、小相殺理論の直接の先駆けとなった。この論文は、小相殺型の仮定が重要な役割を果たした、複雑な組み合わせ条件のセットを満たすグループのクラスに対する単語問題の解決法を示した。今日使用されている小相殺理論の標準バージョンは、1960 年代初頭の一連の論文で Martin Greendlinger によって開発されたもので、^{[3] [4] [5]、}主に「計量」小相殺条件を扱っていた。特に、Greendlinger は、C ′(1/6) 小相殺条件を満たす有限に提示されたグループには、Dehn アルゴリズムで解ける単語問題が存在することを証明した。この理論は、その後の Lyndon、^[6]、 Schupp ^[7]、Lyndon-Schupp ^[8]の研究でさらに洗練され、形式化された。Lyndon-Schuppは、非計量小相殺条件の場合も扱い、融合自由積とHNN 拡張用の小相殺理論のバージョンを開発した。

小相殺理論は、アレクサンダー・オルシャンスキーによってさらに一般化され、彼は理論の「段階的」バージョンを開発しました^[9]。このバージョンでは、定義関係の集合にフィルターが装備され、特定の段階の定義関係子は、より高次の段階の定義関係子と大きな重複を持つことが許されます。オルシャンスキーは、段階的小相殺理論を使用して、タルスキモンスター^{[10]を含むさまざまな「モンスター」グループを構築し、大きな奇数指数の}自由バーンサイドグループが無限であるという新しい証明^[11]も示しました(この結果は、 1968 年にアディアンとノビコフによって、より組み合わせ的な方法を使用して最初に証明されました)。^{[12] [13] [14]}

小相殺理論は、グロモフが1987年に発表した画期的なモノグラフ「双曲群」で提唱した語双曲群の理論に、基本的な例とアイデアを提供した。 ^[15]

以下の解説は主にリンドンとシュップの著書の第5章に従っています。^[8]

させて

${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)}$

R  ⊆  F ( X ) は自由群F ( X )内の自由に簡約された語と巡回的に簡約された語の集合であり、Rは対称化されている、つまり巡回置換と逆置換をとった場合に閉じている。

F ( X )内の非自明な自由簡約語uは、 R内にuを最大共通初期セグメントとして _持つ2つの異なる要素r1、r2_が存在する場合、(∗)に関してピースと呼ばれる。

が定義関係子の集合Sが対称化されていないグループ表示である場合、Sの対称化された閉包R を常に取ることができることに注意してください。ここで、R はSとS ⁻¹の要素のすべての巡回置換で構成されます。この場合、R は対称化されており、Gの表現でもあります。 ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }$

0 <  λ  < 1とする。上記の表現(∗)は、uが(∗)に関するピースであり、uが何らかのr∈R の サブワードであるとき、| u | <  λ | r |であるとき、 C ′ ( λ )の小さなキャンセル条件を満たすと言われる。ここで、| v |は単語vの長さである。

条件C ′( λ )はメトリック小キャンセル条件と呼ばれることもあります。

p ≥ 3 を整数とする 。 上記のような群表現 ( ∗ )は、r ∈ Rかつ

${\displaystyle r=u_{1}\dots u_{m}}$

ここで、 u _{i は}ピースであり、上記の積が記述どおり自由に簡約される場合、m  ≥  p となります。つまり、定義関係子はp個未満の簡約積として記述することはできません。

q ≥ 3 を整数とする 。上記のような群表現 (∗) は、3 ≤ t < q かつ R の r 1 ,..., r t が r 1 ≠ r 2 −1 ,..., r t ≠ r 1 −1 となるようなときはいつでも、 積r 1 r ₂ , ... _, r t ₋  1  r _t ^, r t _r  1 の_{少なくとも}¹つが_次の_ように自由_に簡約_される場合、_T ( q ) の小さなキャンセル_{条件を満たす}と言われる。

幾何学的には、条件T( q )は本質的に、Dが(∗)上の簡約されたファン・カンペン図式である場合、 Dの次数3以上のすべての内部頂点は、実際に次数が少なくともqであることを意味します。

• を階数2の自由アーベル群の標準的な表現とします。この表現の対称化された閉包では、長さ1のワードのみが残ります。この対称化された形式は、C(4)–T(4)の小さな相殺条件と、任意の1 > λ > 1/4に対する C ′( λ )条件を満たします 。${\displaystyle G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$
• k ≥ 2を、種数kの閉じた向き付け可能な曲面の基本群 の標準表現とします。この表現の対称化では、長さ 1 の単語のみが部分となり、この対称化はC ′(1/7) および C(8) の小さなキャンセル条件を満たします。${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle }$
• とします。すると、反転を除けば、この表現の対称化されたバージョンの各部分は、0 ≤  i、j ≤ 100 の場合、 b ⁱ ab ^jまたはb ^{i の}形式を持ちます。 この対称化は、C ′(1/20) の小さなキャンセル条件を満たします。${\displaystyle G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle }$
• 対称化された表現がC ′(1/ m )条件を満たす場合、C( m )条件も満たします。
• r∈F ( X ) を F ( X )の適切な冪ではない非自明な巡回簡約語とし、n≥2とする。この とき、表現の対称化閉包はC(2n ) [ ^16]とC ′(1/ n )の小さなキャンセル条件を満たす。${\displaystyle G=\langle X\mid r^{n}\rangle }$

計量小キャンセル条件に関する主な結果は、 ^通常

グリーンリンガーの補題: (∗) を、0 ≤  λ  ≤ 1/6でC ′( λ ) の小さな相殺条件を満たす上記のような群表現とする。w  ∈  F ( X )を、 G においてw = 1 となるような非自明な自由簡約語とする 。 すると、wの部分語vと、vもrの部分語であり、

${\displaystyle \left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|}$

λ ≤ 1/6という仮定は (1 − 3 λ ) ≥ 1/2を意味し、wには何らかの定義関係子の半分を超えるサブワードが含まれることに注意する。

グリーンリンガーの補題は、次の幾何学的命題の系として得られます。

グリーンドリンガーの補題の仮定の下で、D を(∗) 上の縮約されたファン・カンペン図で、巡回的に縮約された境界ラベルを持ち、 D が少なくとも 2 つの領域を含むものとします。すると、Dには2 つの異なる領域D ₁とD _{2 が存在し、} j = 1,2に対して、 領域D _jはDの境界サイクル ∂ Dと、長さが (1 − 3 λ )|∂ D _j |より大きい単純な弧で交差します。

この結果は、 Dの双対図を考慮することによって証明されます。そこでは、曲率の組合せ論的概念（小さな相殺仮定により、すべての内部頂点で負になる）を定義し、ガウス・ボネの定理の組合せ論的バージョンを取得します。グリーンドリンガーの補題はこの分析の結果として証明され、このようにして、証明は、面群の場合のデーンの元の証明のアイデアを呼び起こします。

任意の対称化群表現(∗)に対して、次の抽象手順はデーンのアルゴリズムと呼ばれます。

• X ^±1上の自由に簡約された単語wが与えられた場合、次のように自由に簡約された単語のシーケンスw  =  w ₀、w ₁、w _{2 、... を構築します。}
• w _{j が}すでに構築されていると仮定します。それが空語である場合、アルゴリズムを終了します。それ以外の場合は、w _jにサブワードvが含まれていて、 vが、| v | > | r |/2となる定義関係子r  =  vu  ∈  Rのサブワードでもあるかどうかを確認します。いいえの場合は、出力w _jでアルゴリズムを終了します。はいの場合は、 w _jでv をu ⁻¹に置き換えてから自由に縮小し、結果として得られる自由に縮小されたワードをw _{j +1}で表して 、アルゴリズムの次のステップに進みます。

常に

| w ₀ | > | w1 |_​ > | w ₂ | >...

これは、プロセスが最大で | w | ステップで終了する必要があることを意味します。さらに、すべての単語w _{j は}wと同じGの要素を表すため、プロセスが空の単語で終了する場合、w はGの単位元を表します。

対称化された表現 (∗) に対して、デーンのアルゴリズムは Gの単語問題を、逆も真である場合にのみ解くと言われています。つまり、 F ( X )内の任意の自由に簡約された単語wに対して、この単語がGの単位元を表す場合と、wから始まるデーンのアルゴリズムが空の単語で終了する場合に限ります。

グリーンリンガーの補題は、C ′(1/6)表現の場合、デーンのアルゴリズムが単語問題を解決することを意味します。

C ′(1/6) 表現 (∗) が有限である場合(つまり、 XとR の両方が有限である場合)、 Dehn のアルゴリズムは、再帰理論の意味で実際の非決定性 アルゴリズムです。ただし、 (∗) が無限のC ′(1/6) 表現であっても、抽象手順として理解される Dehn のアルゴリズムは、生成子X ^{±1 のワードが}Gの単位元を表すかどうかを正しく決定します。

(∗) をC ′(1/6) またはより一般的には C(6) 表示とし、任意のr  ∈  RがF ( X )の真べき乗ではないとすると、 G は次の意味で非球面的である。 Sの対称閉包がRに等しいようなRの極小部分集合S を考える。したがって、rとsがSの異なる要素である場合、r はs ^±1の巡回置換ではなく、Gの別の表示である。Y をこの表示の表示複体とする。すると ( ^{[17]および[9]}の定理 13.3 を参照)、上記の (∗) の仮定の下で、YはGの分類空間、つまりG  =  π ₁ ( Y ) であり、Yの普遍被覆は収縮可能である。特に、これはGが捩れがなく、コホモロジー次元が2 であることを意味する。 ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$

より一般的には、あらゆるファン カンペン図のさまざまな種類の局所的な「曲率」を、非常に大まかに言うと、頂点 + 面 - 辺の平均過剰(オイラーの公式により、合計は 2 になる必要があります) として定義し、特定のグループで、これが内部的に常に非正 (または、さらに良いことには負) であることを示すことによって、曲率がすべて境界上またはその近くにある必要があることを示して、単語問題の解決を試みることが可能です。さらに、同じ境界を持つ「より小さな」領域が存在するような一連の「領域」を含まない図にのみ注意を向けることもできます。

• (∗) をC ′(1/6) 表現とする。すると、 Gの元gが位数n > 1 を持つのは、 Rにr  =  s ⁿという形式の関係子 r が存在し、 g が G の s と共役である場合に限ります。特に、Rのすべての元がF ( X ) の真冪でない場合、Gは捩れなしになります。
• (∗)が有限C ′(1/6)表現である場合、群Gは単語双曲的である。
• RとSがF ( X )の有限対称部分集合で、F ( X )に等しい正規閉包を持ち、両方の表現とがC ′(1/6)条件を満たす場合、 R  =  Sとなります。${\displaystyle \langle X\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle X\mid S\rangle }$
• 有限表現(∗)がC ′(1/6)、C ′(1/4)–T(4)、C(6)、C(4)–T(4)、C(3)–T(6)のいずれかを満たす場合、群Gは解ける単語問題と解ける共役問題を持つ。

小さなキャンセル理論の応用例には次のものがあります。

• 交代結び目の群の共役問題の解決（ ^{[18] [19]および[8]}の第5章定理8.5を参照）。このような結び目に対して、増分結び目群がC(4)-T(4)表現を許容することを示す。
• 有限に提示されたC ′(1/6) 小相殺群は、語双曲群の基本的な例です。語双曲群の同等の特徴付けの 1 つは、有限の提示を許容するもので、ここではデーンのアルゴリズムが語問題を解きます。
• 有限C(4)-T(4)表示によって与えられ、各部分の長さが1である有限に表示された群は、CAT(0)群の基本的な例である。このような表示の場合、表示複体の普遍被覆はCAT(0)正方複体である。
• 小相殺理論の初期の応用には、さまざまな埋め込み可能性の結果を得ることが含まれます。例としては、少なくとも3つの生成元を持つすべての1関係子群がSQ普遍的であることを証明したSacerdoteとSchuppの1974年の論文^[20]や、すべての可算群が2次の元と3次の元によって生成される単純群に埋め込むことができることを証明したSchuppの1976年の論文[21]などがあります。
• エリヤフ・リップスによるいわゆるリップス構成^[22]は、語双曲群のさまざまな部分群の性質 に関する反例の豊富な情報源を提供します。任意の有限生成群Qが与えられたとき、この構成は、Kが2生成であり、 Gが捩れがなく有限のC ′(1/6) 表現によって与えられる（したがってG は語双曲的である）短い完全列を生成します。この構成は、部分群の所属問題、生成問題、ランク問題など、語双曲群のいくつかのアルゴリズム問題の解決不可能性の証明をもたらします。[ ^23]また、いくつかの例外を除いて、リップス構成の群K は有限に表現可能ではありません。これは、有限に生成されるが有限に表現可能ではない部分群を含む、一貫性のない語双曲群が存在することを意味します。 ${\displaystyle 1\to K\to G\to Q\to 1}$
• ^{オルシャンスキー[9]}は、小さな消去法 (無限表現用) を使用して、タルスキ モンスターを含むさまざまな「モンスター」群を構築し、大きな奇数指数の自由バーンサイド群が無限であることを証明しました(同様の結果は、1968 年にアディアンおよびノビコフによって、より組み合わせ的な方法を使用して最初に証明されました)。この方法を使用してオルシャンスキーが構築した他の「モンスター」群には、無限単純 ノイザン群、すべての適切な部分群が素数位数を持ち、同じ位数の任意の 2 つの部分群が共役である無限群、すべての適切な部分群が巡回する非同名群などがあります。 ^[24]
• ボウディッチ^[25]は、無限小相殺表現を用いて、 2生成群の準等長変換型が連続的に存在することを証明した。
• トーマスとヴェリコビッチは小相殺理論を用いて2つの非同相漸近錐を持つ有限生成群を構築し^{[26] 、}グロモフの疑問に答えた。
• McCammondとWiseは、Rips構成によってもたらされる困難を克服し、一貫性のある（つまり、すべての有限生成部分群が有限に提示される）かつ局所的に準凸な（つまり、すべての有限生成部分群が準凸である）小さな相殺群の大きなクラスを生成する方法を示した。^{[27] [28]}
• 小さなキャンセル法は、「一般的な」または「ランダムな」有限提示群のさまざまなモデルの研究で重要な役割を果たします（^[29]を参照）。特に、生成元の固定数m  ≥ 2、定義関係の固定数t  ≥ 1、および任意のλ  < 1に対して、ランダムな m生成元t関係元群はC ′( λ )小さなキャンセル条件を満たします。定義関係tの数が固定ではなく、(2 m  − 1) ^εn（ ε ≥ 0は「ランダム」群のグロモフの密度モデルにおける 固定密度パラメータ、定義関係の長さ）として増加する場合でも、ε < 1/12であれば、 εランダム群はC ′(1/6)条件を満たします 。${\displaystyle n\to \infty }$
• グロモフ^[30]は、グラフに関する小相殺理論の一種を用いて、（適切な意味で）無限の展開子列を「含む」、したがってヒルベルト空間への均一な埋め込みを許さない有限提示群の存在を証明した。この結果は、ノビコフ予想に対する反例を探すための方向性（これまでのところ唯一のもの）を提供している。
• オシン^[31]は、小相殺理論の一般化を利用して、相対的に双曲的な群に対するサーストンの双曲的デーン手術定理の類似物を得た。

• 併合自由積の商群とHNN拡張に対する小さな相殺理論のバージョンは、SacerdoteとSchuppの論文で開発され、その後LyndonとSchuppの著書で開発されました。^[8]
• Rips ^[32]と Ol'shanskii ^[9]は、小さな相殺理論の「層化」バージョンを開発した。このバージョンでは、関係子の集合が層の上昇和集合としてフィルタリングされ (各層は小さな相殺条件を満たす)、ある層からの関係子rとより高次の層からの関係子sについて、それらの重なりは | s |に関して小さいことが要求されるが、| r |に関して大きいことは許容される。この理論により、Ol'shanskii はTarski モンスターを含むさまざまな「モンスター」群を構築し、大きな奇数指数の自由バーンサイド群が無限であるという新しい証明を与えることができた。
• オルシャンスキー^[33]とデルザント^{[34]は後に、}語双曲群の商に対する小相殺理論のバージョンを開発した。
• マッカモンドは小相殺理論の高次元版を提示した。^[35]
• マッカモンドとワイズは、小さな相殺表現上のファン・カンペン図の幾何学に関する標準的な小さな相殺理論（グリーンリンガーの補題など）の基本的な結果を大幅に推し進めた。^[36]
• グロモフはグラフに関する小相殺理論の一種を用いて、 （適切な意味で）無限の展開子列を「含む」有限に提示された群の存在を証明した^{。そのため、この群は}ヒルベルト空間への均一な埋め込みを許さない。^[37]
• オシン^[31]は、相対双曲群の商に対する小さな相殺理論のバージョンを与え、それを用いてサーストンの双曲的デーン手術定理の相対双曲的一般化を得た。

• Roger LyndonとPaul Schupp、組み合わせ群理論。 1977年版の復刻版。数学の古典。Springer-Verlag、ベルリン、2001 年。ISBN 3-540-41158-5 。
• Alexander Yu. Olʹshanskii、「群における関係を定義する幾何学」。1989年のロシア語原文から Yu. A. Bakhturin によって翻訳。数学とその応用 (ソビエトシリーズ)、70。Kluwer Academic Publishers Group、ドルドレヒト、1991 年。ISBN 0-7923-1394-1。 
• ラルフ・ストレベル、付録。少人数のキャンセルグループ。 Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern、1988)、pp. 227–273、Progress in Mathematics、83、Birkhäuser Boston、Boston、Massachusetts、1990。ISBN 0-8176-3508-4。 
• Milé Krajčevski、「平面のタイリング、双曲群、小さな相殺条件」。アメリカ数学会誌、第 154 巻 (2001 年)、第 733 号。

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