テッセレーション

テッセレーションまたはタイリングは、タイルと呼ばれる1 つ以上の幾何学的形状を使用して、重なりや隙間なく表面(多くの場合平面)を覆うことです。数学では、テッセレーションはより高次元やさまざまな幾何学に一般化できます。

周期的タイリングには、繰り返しパターンがあります。特殊な種類には、すべて同じ形状の正多角形タイルの規則的タイリングや、複数の形状の正多角形タイルがすべての角に同じ配置で並べられた半規則的タイリングなどがあります。周期的タイリングによって形成されるパターンは、17 の壁紙グループに分類できます。繰り返しパターンのないタイリングは、「非周期的」と呼ばれます。非周期的タイリングでは、繰り返しパターンを形成できないタイル形状の小さなセット (非周期的なプロトタイプセット) が使用されます。空間のモザイク化(空間充填またはハニカムとも呼ばれる) は、高次元の幾何学で定義できます。

実際の物理的なテッセレーションは、セメントで固めたセラミックの正方形や六角形などの材料で作られたタイル張りです。このようなタイル張りは装飾的なパターンである場合もあれば、耐久性や耐水性を備えた舗装、床、または壁の覆いを提供するなどの機能を持つ場合もあります。歴史的に、テッセレーションは古代ローマやイスラム美術で使用されており、モロッコ建築やアルハンブラ宮殿の装飾的な幾何学的タイル張りなどに見られます。20 世紀には、 MC エッシャーの作品で、通常のユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方でテッセレーションが芸術的効果のために頻繁に使用されました。テッセレーションはキルティングの装飾効果のために時々使用されます。テッセレーションは自然界でパターンの一種を形成し、たとえばハニカムに見られる六角形のセル配列がこれに該当します。

歴史

テッセレーションは、シュメール人（紀元前4000年頃）が粘土タイルの模様で作った壁面装飾の建築に使用しました。 ^[1]

テッセラと呼ばれる小さな四角いブロックで作られた装飾的なモザイクタイルは、古代ギリシャ時代に広く使われており、^[2]時には幾何学模様が描かれていました。^[3]^[4]

1619年、ヨハネス・ケプラーは、初期の記録に残るモザイク細工の研究を行った。彼は著書『世界の調和』の中で、規則的および半規則的なモザイク細工について書いている。彼はおそらく、蜂の巣や雪片の六角形構造を研究し、説明した最初の人物だった。^[5]^[6]^[7]

それから約200年後の1891年、ロシアの結晶学者エフグラフ・フョードロフは、平面上の周期的なタイル張りはどれも17の異なる等長群のいずれかを特徴としていることを証明した。^[8]^[9]フョードロフの研究は、非公式ながらタイル張りの数学的研究の始まりとなった。他の著名な貢献者には、アレクセイ・ヴァシリエヴィチ・シュブニコフとニコライ・ベロフの著書『Colored Symmetry』（1964年）、^[10]ハインリヒ・ヘーシュとオットー・キエンツレ（1963年）がいる。^[11]

語源

ラテン語で、テッセラは、モザイクを作るのに使われる粘土、石、またはガラスの小さな立方体です。^[12]「テッセラ」という言葉は「小さな正方形」を意味します（正方形を意味するテッセラから来ており、これはギリシャ語の4を意味するτέσσεραから来ています）。これは、釉薬をかけた粘土で作られることが多いモザイク模様の応用を指す日常用語の「タイル張り」に対応しています。

概要

菱形六角形のタイル張り：スペインのセビリア考古学博物館のタイル張りの床。正方形、三角形、六角形の原型が使われている。

2次元のテッセレーションは平面タイリングとも呼ばれ、幾何学のトピックであり、タイルと呼ばれる形状を、与えられた一連の規則に従って隙間なく平面を埋めるためにどのように配置できるかを研究する。これらの規則は変化する可能性がある。一般的な規則は、タイル間に隙間があってはならないこと、およびタイルの角が他のタイルの端に沿っていてはならないことである。^[13]結合されたレンガ積みによって作成されるテッセレーションは、この規則に従っていない。従うもののうち、正則テッセレーションは、^同一の正則タイルと同一の正則角または頂点を持ち、すべてのタイルの隣接する辺間の角度が同じである。^[14]このような正則テッセレーションを形成できる形状は、正三角形、正方形、正六角形の3つだけである。これら3つの形状のいずれも、平面を隙間なく埋めるために無限に複製することができる。 ^[6]

さまざまな制約の下では、他の多くのタイプのテッセレーションが可能です。たとえば、8 種類の半正多角形が存在します。これは、複数の種類の正多角形で構成されていますが、すべての角で同じ配置の多角形になっています。^{[15]不規則なテッセレーションは、}五角形、ポリオミノなど、他の形状から作成することもできます。実際、ほとんどすべての種類の幾何学的形状から作成できます。芸術家のMC エッシャーは、動物やその他の自然物のような形をした不規則に絡み合ったタイルでテッセレーションを作成することで有名です。^[16]異なる形状のタイルに適切な対照的な色を選択すると、印象的なパターンが形成され、教会の床などの物理的な表面を装飾するために使用できます。^[17]

より正式には、テッセレーションまたはタイリングは、タイルと呼ばれる可算数の閉集合によるユークリッド平面の被覆であり、タイルはその境界上でのみ交差する。これらのタイルは、多角形またはその他の形状であることができる。^[b]多くのテッセレーションは、テッセレーション内のすべてのタイルが所定のプロトタイプと合同である有限個のプロトタイプから形成される。幾何学的形状をプロトタイプとして使用してテッセレーションを作成できる場合、その形状は平面をテッセレーションまたはタイリングすると言われる。コンウェイ基準は、所定の形状が反射なしで平面を周期的にタイリングするかどうかを決定するための十分なルールセットであるが、必須ではない。いくつかのタイルはこの基準を満たさないが、それでも平面をタイリングする。^[19]所定の形状が平面をタイリングできるかどうかを判断するための一般的なルールは見つかっていないため、テッセレーションに関する未解決の問題が多数ある。^[18]

数学的には、タイル張りはユークリッド平面以外の空間にも拡張できる。^[6]スイスの幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリは、今日の数学者が多面体と呼ぶ多角形を定義することでこれを開拓した。これは、より次元の高い空間における多角形や多面体の類似物である。彼はさらに、多面体の記述を容易にするためにシュレーフリ記号表記法を定義した。例えば、正三角形のシュレーフリ記号は {3} で、正方形のシュレーフリ記号は {4} である。^[20]シュレーフリ表記法は、タイル張りを簡潔に記述することを可能にする。例えば、正六角形のタイル張りは、各頂点に 3 つの 6 辺の多角形を持つため、そのシュレーフリ記号は {6,3} である。^[21]

多角形のタイリングを記述する方法は他にもある。タイルが正多角形で構成されている場合、最も一般的な表記法は頂点構成であり、これは頂点の周りの多角形の辺の数を単純にリストしたものである。正方形のタイリングの頂点構成は4.4.4.4、つまり4 ⁴である。正六角形のタイリングは6.6.6、つまり6 ³と表記される。^[18]

数学では

テッセレーションの紹介

数学者はタイル張りについて議論するときにいくつかの専門用語を使います。辺は2 つの隣接するタイルの交点で、多くの場合直線です。頂点は 3 つ以上の隣接するタイルの交点です。これらの用語を使用すると、等角タイル張りまたは頂点推移タイル張りは、すべての頂点が同一であるタイル張りです。つまり、各頂点の周りのポリゴンの配置は同じです。^[18]基本領域は、タイル張りを形成するために繰り返される長方形などの形状です。^{[22]たとえば、正方形の平面の規則的なタイル張りでは}、すべての頂点で 4 つの正方形が交わります。^[18]

多角形の辺は、タイルの辺と必ずしも同じではありません。エッジツーエッジのタイリングとは、隣接するタイルが 1 つの辺のみを共有する多角形のテッセレーションです。つまり、タイルは他のタイルと部分的な辺や複数の辺を共有しません。エッジツーエッジのタイリングでは、多角形の辺とタイルのエッジは同じです。よく知られている「レンガの壁」のタイリングは、各長方形のレンガの長辺が 2 つの隣接するレンガと共有されるため、エッジツーエッジではありません。^[18]

通常のタイリングとは、すべてのタイルが位相的に円板と等価で、任意の2つのタイルの交差が連結集合または空集合であり、すべてのタイルが一様に境界付けられているタイル分割である。これは、タイリング全体のすべてのタイルに単一の外接半径と単一の内接半径を使用できることを意味する。この条件により、異常に長いタイルや細いタイルは許可されない。^[23]

一面体タイリングは、すべてのタイルが合同なタイル張りであり、プロトタイプは 1 つだけです。特に興味深い一面体タイル張りのタイプは、螺旋一面体タイリングです。最初の螺旋一面体タイリングは、1936 年に Heinz Voderberg によって発見されました。Voderberg タイリングには、非凸の9 角形の単位タイルがあります。^[1] 1985 年に Michael D. Hirschhorn と DC Hunt によって発表されたHirschhornタイリングは、不規則な五角形を使用した五角形タイリングです。正五角形は、正五角形の内角のようにユークリッド平面をタイリングすることはできません。⁠3π $$ /5⁠は $2π$ の約数ではない。^[24]^[25]

等面体タイリングは、単面体タイリングの特殊なバリエーションであり、すべてのタイルが同じ推移性クラスに属します。つまり、すべてのタイルは、タイリングの対称群の下で同じ原タイルの変換です。 ^[23]原タイルがタイリングを許容するが、そのようなタイリングが等面体でない場合、原タイルは異面体と呼ばれ、異面体タイリングを形成します。

正多角形タイル張りは、すべて同じ形の正多角形で構成される、非常に対称的な端から端までのタイル張りです。正多角形タイル張りは、正三角形、正方形、正六角形の3つだけです。これら3つのタイル張りはすべて等角形で一面体です。^[26]

半正則（またはアルキメデス）タイル張りでは、等角配置で複数の種類の正多角形を使用します。半正則タイル張りは 8 種類あります（鏡像のタイル張りのペアを 2 つと数えると 9 種類になります）。^{[27]これらは}頂点構成で説明できます。たとえば、正方形と正八角形を使用した半正則タイル張りの頂点構成は 4.8 ²です（各頂点には 1 つの正方形と 2 つの八角形があります）。^[28]ユークリッド平面のエッジからエッジまでのタイル張りではないものは多数あり、ピタゴラスタイル張りのファミリーも含まれます。ピタゴラスタイル張りは、2 つの（パラメーター化された）サイズの正方形を使用し、各正方形が他のサイズの 4 つの正方形に接するタイル張りです。^[29]エッジテッセレーションとは、各タイルをエッジ上で反射させて、正三角形や二等辺三角形の配列のように、隣接するタイルの位置を占めることができるタイルのことです。^[30]

壁紙グループ

2つの独立した方向に平行移動対称性を持つタイルは、壁紙グループに分類でき、17のグループが存在します。^{[31]これらのグループ17すべてが}スペインのグラナダにあるアルハンブラ宮殿に表されていると言われています。これは異論があるものの、^[32]アルハンブラ宮殿のタイルの多様性と洗練さは現代の研究者の関心を集めています。^[33] 3つの通常のタイルのうち、2つはp6m壁紙グループに属し、1つはp4mに属します。1方向のみに平行移動対称性を持つ2次元のタイルは、可能なフリーズパターンを記述する7つのフリーズグループに分類できます。^{[34]ユークリッド平面の壁紙グループを記述するために、}オービフォールド記法を使用できます。^[35]

非周期的なタイリング

ペンローズ・タイリングは、2つの異なる四辺形プロトタイプを使用し、非周期的なパターンを強制的に作成するタイルの最もよく知られた例です。ペンローズ・タイリングは、周期的にテッセレーションできないタイルを使用する非周期的タイリングの一般的なクラスに属します。置換タイリングの再帰プロセスは、非周期的タイリングを生成する方法です。この方法で生成できるクラスの1つがレプタイルです。これらのタイリングは予期しない自己複製特性を持っています。^[36]風車タイリングはレプタイル構造を使用した非周期的なタイリングです。タイルは無限の方向に表示されます。^[37]非周期的なパターンにはまったく対称性がないように思われるかもしれませんが、そうではありません。非周期的タイリングは並進対称性がないが、タイリングの境界パッチの無限反復と、それらのパッチの回転または反射の特定の有限群によって、他のタイプの対称性を持つ。^[38]菱形と呼ばれるタイルの集合を使用してペンローズパターンを生成するために使用できる置換規則は、スケーリング対称性を示している。^[39]フィボナッチ数列は、非周期的タイリングを構築し、非周期的秩序を持つ構造である準結晶を研究するために使用できる。 ^[40]

平面を非周期的にタイル張りする 13 個のWang タイルのセット

ワングタイルは各辺が色分けされた正方形で、隣接するタイルの接合辺が同じ色になるように配置される。そのため、ワングドミノと呼ばれることもある。適切なワングドミノのセットは平面を敷き詰めることができるが、非周期的である。これは、チューリングマシンが停止しない場合に限り、平面を敷き詰めるワングドミノのセットとして任意のチューリングマシンを表現できるためである。停止問題は決定不可能であるため、ワングドミノセットが平面を敷き詰めることができるかどうかを決定する問題も決定不可能である。^[41]^[42]^[43]^[44]^[45]

トルシェタイルは、回転対称性を持たない模様で装飾された正方形のタイルです。1704年にセバスチャン・トルシェは、対照的な色の2つの三角形に分割された正方形のタイルを使用しました。これらは、平面を周期的にまたはランダムにタイル張りすることができます。^[46]^[47]

アインシュタインタイルは、非周期的なタイリングを強制する単一の形状です。そのようなタイルの最初のものは「ハット」と呼ばれ、2023年に趣味で数学を学んでいるデイビッド・スミスによって発見されました。^[48]^{[49]この発見は専門家によるレビュー中であり、確認されれば長年の}数学的問題を解決したものとみなされます。^[50]

モザイク模様と色彩

タイルの色はタイリングの一部として理解されることもありますが、後で任意の色を適用することもあります。色で表示されるタイリングについて議論する場合、曖昧さを避けるために、色がタイリングの一部なのか、それとも単にその図の一部なのかを明確にする必要があります。これは、同じ形だが色が異なるタイルが同一とみなされるかどうかに影響し、対称性の問題にも影響します。4色定理は、通常のユークリッド平面の4色のセットでタイルをタイル分割する場合、各タイルを1色で着色して、同じ色のタイルが正の長さの曲線で交わらないようにすることができると述べています。4色定理によって保証される着色は、一般にタイル分割の対称性を尊重しません。対称性を尊重した着色を行うには、色をタイル分割の一部として扱う必要があります。ここでは、左の図に示すように、最大7色が必要になる場合があります。^[51]

ポリゴンによるテッセレーション

正多角形による様々なタイリングに加え、他の多角形によるタイリングも研究されてきました。

任意の三角形または四辺形（非凸でも）は、多くの場合複数の方法で、一面体のタイル張りを形成するためのプロトタイプとして使用できます。任意の四辺形のコピーは、すべての辺の中点に中心がある、並進対称性と2回回転対称性を持つタイル張りを形成できます。非対称四辺形の場合、このタイル張りは壁紙群p2に属します。基本領域として四辺形があります。同様に、回転中心から始めて、最小の並進ベクトルのセットによって囲まれる平行四辺形を構築できます。これを1つの対角線で分割し、半分（三角形）を基本領域として取ります。このような三角形は四辺形と同じ面積を持ち、切り取りと貼り付けによって四辺形から構築できます。^[52]

タイルの形状が 1 つだけ許可される場合、Nが 3、4、5、および 6 の場合に凸N角形のタイルが存在します。 N = 5の場合は五角形のタイルを、N = 6 の場合は六角形のタイルを、N = 7の場合は七角形のタイルを、N = 8の場合は八角形のタイルをそれぞれ参照してください。

非凸多角形の場合、1 つの形状しか許可されない場合でも、辺の数に関する制限ははるかに少なくなります。

ポリオミノは凸型または非凸型のタイルの例であり、さまざまな組み合わせ、回転、反射を使用して平面をタイル張りすることができます。ポリオミノを使用して平面をタイル張りした結果については、「ポリオミノ § ポリオミノの使用」を参照してください。

ボロノイタイル

ボロノイまたはディリクレのタイル分割は、各タイルが定義点の離散集合内の点の 1 つに最も近い点の集合として定義されるタイル分割です。(各地域が特定の都市または郵便局に最も近いすべての点として定義される地理的領域を考えてください。) ^[53]^[54]各定義点のボロノイセルは凸多角形です。ドロネー三角形分割は、ボロノイタイル分割の双対グラフであるタイル分割です。ドロネー三角形分割は、定義点のあらゆる可能な三角形分割の中で、ドロネー三角形分割がエッジによって形成される角度の最小値を最大化することから、数値シミュレーションに役立ちます。^[55]ランダムに配置された点を持つボロノイタイル分割を使用して、平面のランダムタイルを作成できます。^[56]

高次元のテッセレーション

モザイク細工は3次元にまで拡張できる。立方体（プラトン多面体では唯一）、菱形十二面体、切頂八面体、三角形、四角形、六角柱など、特定の多面体は規則的な結晶パターンで積み重ねて3次元空間を埋める（またはタイル状に並べる）ことができる。[ 57 ]この^{基準に適合する多面体は}プレシオヘドロンと呼ばれ、4～38面体を持つ。^{[58]自然界に産する菱形十二面体は、}アンドラダイト（ガーネットの一種）や蛍石の結晶として発見されている。^[59]^[60]

3次元以上の多面体におけるタイル張りはハニカムと呼ばれます。3次元では、各多面体の頂点に8つの立方体がある正ハニカムは1つだけです。同様に、3次元では、各多面体の頂点に8つの四面体と6つの八面体がある準正ハニカム^[c]は1つだけです。しかし、 3次元では半正ハニカムは多数存在します。 ^{[61]均一なハニカムは、}ウィトフ構成を使用して構築できます。^[62]

シュミット・コンウェイ・バイプリズムは、空間を非周期的にのみタイル張りする性質を持つ凸多面体である。^[63]

シュワルツ三角形は球面を敷き詰めるために使用できる球面三角形である。^[64]

非ユークリッド幾何学におけるテッセレーション

双曲幾何学のような非ユークリッド幾何学でもタイル張りは可能である。双曲平面（正多角形、準正多角形、半正多角形）における均一なタイル張りは、正多角形を面として双曲平面を端から端まで埋め尽くすものである。これらは頂点推移的（頂点上で推移的）かつ等角的（任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長写像が存在する）である。 ^[65]^[66]

双曲空間における一様ハニカムは、一様多面体セルの一様モザイクである。3次元（3-D）双曲空間には、コンパクトな凸一様ハニカムのコクセター群族が9つあり、これらはウィトフ構成として生成され、各族のコクセター図の環の順列によって表される。 ^[67]

芸術では

建築では、古代からモザイク模様が装飾モチーフとして使われてきました。モザイクタイルには幾何学模様がよく見られました。^[4]後の文明では、無地または個別に装飾されたより大きなタイルも使用されました。最も装飾的なものには、イスラム建築のムーア人の壁タイルがあり、アルハンブラ宮殿^[68]やメスキータ^[69]などの建物でギリフタイルやゼリジェタイルが使用されていました。

モザイク模様はMCエッシャーのグラフィックアートに頻繁に登場した。彼は1936年にスペインを訪れた際に、アルハンブラ宮殿などのムーア人がシンメトリーを用いていたことに触発された。 ^[70]エッシャーは双曲幾何学を用いたタイル張りの「円の限界」の絵を4枚描いた。 ^[71]^[72]木版画「円の限界IV」（1960年）のために、エッシャーは必要な幾何学を示す鉛筆とインクの習作を準備した。^[73]エッシャーは「無限に遠くからロケットのように垂直に上昇し、最後には限界の中で消えてしまう一連の作品のどの要素も境界線に到達することはない」と説明した。^[74]

モザイク模様は織物、縫い付け、プリントなど、さまざまな形で織物によく見られます。モザイク模様はキルトでパッチワークのモチーフをデザインするのに使われてきました。^[75]^[76]

テッセレーションは折り紙の主要なジャンルでもあり、ひだを使ってねじり折りなどの分子を繰り返し接続します。^[77]

製造業

テッセレーションは、自動車のドアや飲料缶などの形状を切り出す際に、板金などの材料の無駄（歩留まり損失）を減らすために製造業で使用されています。^[78]

薄膜の泥割れのような亀裂にはモザイク模様が見られる^[79]^{[80] 。}マイクロテクノロジーやナノテクノロジーを用いることで、ある程度の自己組織化が観察されている^[81]。

自然の中で

ハニカムは六角形の細胞を持つ自然界のモザイク構造のよく知られた例である。^[82]

植物学では、「モザイク模様」という用語は、花びら、樹皮、果実などの市松模様を表します。ヒョウモンダケ[ ^83]やコルチカム属のいくつかの種を含む花は、モザイク模様が特徴です。^[84]

自然界の多くのパターンは、物質のシートの亀裂によって形成されます。これらのパターンは、ギルバートのモザイク状構造^[85]、またはランダム亀裂ネットワーク^{[86]によって記述できます。ギルバートのモザイク状構造は、}泥亀裂、針状結晶、および類似の構造の形成に関する数学モデルです。エドガー・ギルバートにちなんで名付けられたこのモデルでは、亀裂が平面上にランダムに散らばることから始まり、亀裂が形成されます。各亀裂は、開始点を通る線に沿って2つの反対方向に伝播し、その傾斜はランダムに選択され、不規則な凸多角形のモザイク状構造を形成します。^[87] 玄武岩質の溶岩流は、溶岩が冷えるにつれて収縮力によって亀裂が生じるため、柱状節理を示すことがよくあります。広範囲に及ぶ亀裂ネットワークが発達し、多くの場合、六角形の溶岩柱を形成します。このような柱の配列の一例は、北アイルランドのジャイアンツ・コーズウェイです。 ^[88]タスマニア島のタスマン半島にあるイーグルホークネックで見られる特徴的なモザイク状の舗装は、岩石が長方形のブロックに割れた珍しい堆積岩の形成です。^[89]

泡には他の自然なパターンも見られます。これらはプラトーの法則に従って詰め込まれており、最小限の表面積を必要とします。このような泡では、セルをできるだけ密に詰める方法が問題となります。1887年、ケルビン卿は、わずかに曲がった面を持つ二面切立方ハニカムという1つの固体のみを使用した詰め方を提案しました。1993年、デニス・ウィアーとロバート・フェランはウィアー・フェラン構造を提案しました。これはケルビンの泡よりも表面積が少なく、同じ体積のセルを分離できる構造です。^[90]

パズルやレクリエーション数学

タイル張りパズルは、伝統的なジグソーパズル（不規則な木片や厚紙を使用）^[91]やタングラム^{[92]から、数学的根拠を持つことが多いより現代的なパズルまで、多くの種類の}タイル張りパズルを生み出してきました。たとえば、ポリアモンドやポリオミノは、タイル張りパズルでよく使用される正三角形と正正方形の図形です。^[93]^[94]ヘンリー・デュードニーやマーティン・ガードナーなどの著者は、レクリエーション数学でタイル張りをさまざまな方法で使用しています。たとえば、デュードニーはヒンジ付き分割を発明し、^[95]ガードナーは「レップタイル」について書いています。これは、同じ形の小さなコピーに分割できる形状です。 ^[96]^{[97]ガードナーの}Scientific Americanの記事に触発されて、アマチュア数学者のマージョリー・ライスは、五角形を使った4つの新しいタイル張りを発見しました。^[98]^[99]正方形の二乗は、整数の正方形（辺の長さが整数である正方形）を他の整数の正方形のみを使用してタイル張りする問題です。^[100]^[101]拡張は平面の二乗であり、重複のない自然数のサイズの正方形でタイル張りします。ジェームズとフレデリック・ヘンレはこれが可能であることを証明しました。^[102]

例

三角形のタイル張り。平面上の3つの規則的なタイル張りの1つ。
スナブ六角形タイル張り、平面の半規則的なタイル張り
小花五角形タイル、半正五角形タイルの双対であり、15 個の一面五角形タイルの 1 つである。
タイル要素はすべて、色や装飾を無視すれば同一の擬似三角形である。
ヴォーデルベルグタイルは、七角形からなる螺旋状の一面体タイルである。
交互八角形または三四角形のタイル張りは、双曲面の均一なタイル張りである。
位相幾何学的な正方形のタイル、等面体で歪んで I 字型になっている

参照

説明脚注

^ 同一の形状を表す数学用語は「合同」です。数学において、「同一」とは、同じタイルであることを意味します。
^ タイルは通常、閉じた円板と同相（位相的に同値）であることが要求される。つまり、穴や垂れ下がった線分、無限の面積を持つ奇妙な形状は除外される。^[18]
^ この文脈では、準規則的とは、セルが規則的（立体）であり、頂点図形が半規則的であることを意味します。

参考文献

^ ピックオーバー、クリフォード A. (2009)。『数学の本：ピタゴラスから57次元まで、数学の歴史における250のマイルストーン』スターリング、p.372。ISBN 978-1-4027-5796-9。
^ ダンバビン、キャサリンMD（2006年）。ギリシャとローマの世界のモザイク。ケンブリッジ大学出版局。280ページ。
^ 「ブランティンガム幾何学モザイク」ハル市議会。2008年。 2015年5月26日閲覧。
^ ab フィールド、ロバート (1988)。ローマのモザイクの幾何学模様。タルクィン。ISBN 978-0-906-21263-9。
^ ケプラー、ヨハネス（1619）。『宇宙の調和』。
^ abc Gullberg 1997、395ページ。
^ スチュワート2001、13ページ。
^ ジジェフ、フリスト;ポトコンニャク、ミオドラグ（2012）。「センサーネットワークにおける動的カバレッジの問題」(PDF)。ロスアラモス国立研究所。 p. ２．2013 年4 月 6 日に取得。
^ フョードロフ、Y. (1891)。「Simmetrija na ploskosti [平面の対称性]」。Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [帝国サンクトペテルブルク鉱物学会の議事録]。 2 (ロシア語)。28 : 245–291。
^ シュブニコフ、アレクセイ・ヴァシリエヴィチ;ベロフ、ニコライ・ヴァシレーヴィチ（1964年）。色の対称性。マクミラン。
^ ヒーシュ、H. Kienzle、O. (1963)。Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (ドイツ語)。スプリンガー。
^ 「Tessellate」。Merriam -Webster Online 。 2015年5月26日閲覧。
^ Conway, R.; Burgiel, H.; Goodman-Strauss, G. (2008). The Symmetries of Things . Peters.
^ コクセター 1973.
^ Cundy and Rollett (1961).数学モデル（第2版）. オックスフォード. pp. 61–62.
^ エッシャー 1974年、11-12頁、15-16頁。
^ “サンマルコ大聖堂”.セクション: モザイク状の床。サンマルコ大聖堂。2013 年4 月 26 日に取得。
^ abcdef Grünbaum & Shephard 1987、59ページ。
^ Schattschneider, Doris (1980 年 9 月)。「タイル張りは可能か? コンウェイ基準を試してみよう!」。数学雑誌。第 53 巻、第 4 号。pp. 224–233。doi : 10.2307/2689617。JSTOR 2689617。
^ コクセター、HSM ( 1948)。正多面体。メチューエン。pp. 14、69、149。ISBN 978-0-486-61480-9。
^ Weisstein, Eric W.「テッセレーション」。MathWorld。
^ エマー、ミシェル;シャッツシュナイダー、ドリス (2007 年 5 月 8 日)。 MC エッシャーの遺産: 100 周年記念。ベルリン・ハイデルベルク：シュプリンガー。 p. 325.ISBN 978-3-540-28849-7。
^ ab Horne, Clare E. (2000).パターンとタイルの幾何学的対称性。Woodhead Publishing。pp. 172, 175。ISBN 978-1-85573-492-0。
^ Dutch, Steven (1999年7月29日). 「Some Special Radial and Spiral Tilings」. ウィスコンシン大学. 2013年4月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月6日閲覧。
^ Hirschhorn, MD; Hunt, DC (1985). 「平面を敷き詰める正凸五角形」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 39 (1): 1–18. doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
^ Weisstein, Eric W.「Regular Tessellations」。MathWorld。
^ スチュワート2001、75ページ。
^ NRICH (ミレニアム数学プロジェクト) (1997–2012). 「Schläfli Tessellations」. ケンブリッジ大学. 2013年4月26日閲覧。
^ ウェルズ、デイビッド (1991)。「2 つの正方形のテッセレーション」。ペンギンの不思議で興味深い幾何学辞典。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 260–261。ISBN 978-0-14-011813-1。
^カービー、マシュー、 アンブル、ロナルド (2011)。「エッジテッセレーションとスタンプ折りパズル」。数学マガジン。84 (4): 283–89。doi : 10.4169 /math.mag.84.4.283。S2CID 123579388。
^ アームストロング、MA (1988)。群と対称性。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-3-540-96675-3。
^ Grünbaum, Branko (2006 年 6 月 - 7 月)。「アルハンブラ宮殿にはどのような対称群が存在するのか?」( PDF)。アメリカ数学会誌53 (6): 670-673。
^ Lu, Peter J.; Steinhardt (2007 年 2 月 23 日). 「中世イスラム建築における十角形および準結晶タイル」. Science . 315 (5815): 1106–10. Bibcode :2007Sci...315.1106L. doi :10.1126/science.1135491. PMID 17322056. S2CID 10374218.
^ ワイスタイン、エリック・W.「フリーズ・グループ」。マスワールド。
^ Huson, Daniel H. (1991). 「2次元対称性変異」. プリンストン大学. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – CiteSeerX経由.
^ ガードナー 1989年、1-18頁。
^ Radin, C. (1994 年 5 月). 「平面の風車タイル」. Annals of Mathematics . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . doi :10.2307/2118575. JSTOR 2118575.
^ オースティン、デイビッド。「ペンローズタイルはマイルを越えて話す」アメリカ数学会。 2015年5月29日閲覧。
^ Harriss, EO「Aperiodic Tiling」（PDF）。ロンドン大学およびEPSRC。 2017年8月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2015年5月29日閲覧。
^ Dharma-wardana, MWC; MacDonald, AH; Lockwood, DJ; Baribeau, J.-M.; Houghton, DC (1987). 「フィボナッチ超格子におけるラマン散乱」. Physical Review Letters . 58 (17): 1761–1765. Bibcode :1987PhRvL..58.1761D. doi :10.1103/physrevlett.58.1761. PMID 10034529.
^ 王昊(1961). 「パターン認識による定理の証明—II」.ベルシステム技術ジャーナル. 40 (1): 1–41. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x.
^ Wang, Hao (1965年11月). 「ゲーム、ロジック、コンピュータ」. Scientific American . pp. 98–106.
^ Berger, Robert (1966). 「ドミノ問題の決定不可能性」アメリカ数学会誌66 ( 66): 72. doi :10.1090/memo/0066.
^ Robinson, Raphael M. (1971). 「平面のタイリングにおける決定不能性と非周期性」. Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode :1971InMat..12..177R. doi :10.1007/bf01418780. MR 0297572. S2CID 14259496.
^ Culik, Karel II (1996). 「13 個の Wang タイルの非周期的集合」.離散数学. 160 (1–3): 245–251. doi : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . MR 1417576.
^ Browne, Cameron (2008). 「トルシェ曲線と表面」. Computers & Graphics . 32 (2): 268–281. doi :10.1016/j.cag.2007.10.001.
^ スミス、シリル・スタンレー(1987)。「セバスチャン・トルシェのタイリングパターンと構造階層のトポロジー」。レオナルド。20 (4): 373–385。doi : 10.2307/1578535。JSTOR 1578535。S2CID 192944820 。
^ Conover, Emily (2023年3月24日). 「数学者がついに、とらえどころのない「アインシュタイン」タイルを発見」.サイエンスニュース. 2023年3月25日閲覧。パターンの画像付き
^ スミス、デイビッド; マイヤーズ、ジョセフ・サミュエル; カプラン、クレイグ・S.; グッドマン・ストラウス、チャイム（2023年3月）。「非周期的モノタイル」arXiv:2303.10798
^ ロバーツ、ソイバン、「謎の『アインシュタイン』が長年の数学の難問を解決」、ニューヨークタイムズ、2023年3月28日、パターンの画像付き
^ 「4色問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
^ ジョーンズ、オーウェン（1910）[1856]。装飾の文法（フォリオ版）。バーナード・クォリッチ。
^ Aurenhammer, Franz (1991). 「ボロノイ図 - 基本的な幾何学的データ構造の調査」ACM Computing Surveys . 23 (3): 345–405. doi :10.1145/116873.116880. S2CID 4613674.
^ 岡部篤之、ブーツ・バリー、杉原厚吉、チウ・ソン・ノック（2000年）。空間テッセレーション - ボロノイ図の概念と応用（第2版）。ジョン・ワイリー。ISBN 978-0-471-98635-5。
^ George, Paul Louis; Borouchaki, Houman (1998). Delaunay 三角形分割とメッシュ化: 有限要素への応用. Hermes . pp. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0。
^ モラー、ジェスパー (1994)。ランダムボロノイ分割に関する講義。シュプリンガー。ISBN 978-1-4612-2652-9。
^ Grünbaum, Branko (1994). 「3次元空間の均一なタイリング」. Geombinatorics . 4 (2): 49–56.
^ ピーター、エンゲル (1981)。「クビッシャー・シンメトリーのユーバー・ヴィルクングスベライヒシュタイルンゲン」。水晶写真、水晶幾何学、水晶物理学、水晶化学に関するツァイツシュリフト。154 (3-4): 199-215。Bibcode :1981ZK....154..199E。土井：10.1524/zkri.1981.154.3-4.199。MR0598811 。。
^ オールダーショウ、キャリー（2003年）。『Firefly Guide to Gems』。Firefly Books。p. 107。ISBN 978-1-55297-814-6。
^ カーカルディ、JF (1968)。鉱物と岩石の色彩（第2版）。ブランドフォード。pp.138-139。
^ コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド; シャーク、F. アーサー; カナダ数学協会 (1995)。万華鏡: HSM コクセターの選集。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 3 および以下参照。ISBN 978-0-471-01003-6。
^ Weisstein, Eric W.「Wythoff 構築」。MathWorld。
^ セネシャル、マージョリー（1996年9月26日）。準結晶と幾何学。CUPアーカイブ。p.209。ISBN 978-0-521-57541-6。
^ ハワイ州シュワルツ (1873)。「超幾何学的超幾何学を実現するために、関数を理解することができます。」数学に関するジャーナル。1873 (75): 292–335。土井：10.1515/crll.1873.75.292。ISSN 0075-4102。S2CID 121698536。
^ Margenstern, Maurice (2011年1月4日). 「双曲面の新しい三角形タイリングの座標」. arXiv : 1101.0530 [cs.FL].
^ Zadnik, Gašper. 「双曲面を正多角形でタイリングする」 Wolfram . 2015年5月27日閲覧。
^ Coxeter, HSM (1999). 「第 10 章: 双曲空間における正則ハニカム」.幾何学の美: 12 のエッセイ. Dover Publications . pp. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1。
^ 「芸術と建築における数学」シンガポール国立大学。 2015年5月17日閲覧。
^ ウィテカー、アンドリュー（2008年）。『文化を語る：スペイン』ソログッド出版。153ページ。ISBN 978-1-85418-605-8。
^ エッシャー 1974年、5、17頁。
^ Gersten, SM「双曲群と自動群の紹介」（PDF）。ユタ大学。 2015年5月27日閲覧。図1はユークリッド平面のタイル張りの一部で、すべての方向に連続していると想像されます。図2[円の限界IV]は、天使を表す白いタイルと悪魔を表す黒いタイルで双曲平面のポアンカレ単位円板モデルの美しいタイル張りです。2番目の重要な特徴は、すべての白いタイルがすべての黒いタイルと同様に互いに合同であることです。もちろんこれはユークリッド計量には当てはまりませんが、ポアンカレ計量には当てはまります。
^ Leys, Jos (2015). 「Hyperbolic Escher」2015年5月27日閲覧。
^ エッシャー 1974年、142-143頁。
^ エッシャー 1974年、16ページ。
^ ポーター、クリスティン（2006）。テッセレーションキルト：インターロッキングパターンからのセンセーショナルなデザイン。F+Wメディア。pp.4-8。ISBN 978-0-7153-1941-3。
^ Beyer, Jinny (1999).テッセレーションのデザイン: インターロッキングパターンの秘密. Contemporary Book. pp. Ch. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9。
^ エリック、ジェルデ (2008)。折り紙のテッセレーション。テイラーとフランシス。ISBN 978-1-568-81451-3。
^ 「収量損失の削減: 同じものを作るのに使う金属の量を減らす」UIT Cambridge。2015年5月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月29日閲覧。
^ Thouless, MD (1990). 「弾性基板上の脆性膜の亀裂間隔」J. Am. Chem. Soc . 73 (7): 2144–2146. doi :10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x.
^ Xia, ZC; Hutchinson, JW (2000). 「薄膜の亀裂パターン」J. Mech. Phys. Solids . 48 (6–7): 1107–1131. Bibcode :2000JMPSo..48.1107X. doi :10.1016/S0022-5096(99)00081-2.
^ Seghir, R.; Arscott, S. (2015). 「ポリジメチルシロキサンエラストマー表面の制御された泥割れパターン形成と自己組織化亀裂」Sci. Rep . 5 : 14787. Bibcode :2015NatSR...514787S. doi :10.1038/srep14787. PMC 4594096. PMID 26437880 .
^ Ball, Philip (2013). 「ハニカムはどのようにして自らを構築するのか」. Nature . doi :10.1038/nature.2013.13398. S2CID 138195687. 2014年11月7日閲覧。
^ ショートオックスフォード英語辞典（第6版）。イギリス：オックスフォード大学出版局。2007年。3804ページ。ISBN 978-0-19-920687-2。
^ パーディ、キャシー（2007年）。「コルチカム：秋の秘密」アメリカン・ガーデナー（9月/10月）：18～22ページ。
^ シュライバー、トマシュ;ソジャ、ナタリア (2010)。「平面ギルバートテッセレーションの極限理論」。arXiv : 1005.0023 [数学.PR]。
^ Gray, NH; Anderson, JB; Devine, JD; Kwasnik, JM (1976). 「ランダムクラックネットワークの位相特性」.数理地質学. 8 (6): 617–626. doi :10.1007/BF01031092. S2CID 119949515.
^ Gilbert, EN (1967)。「ランダム平面ネットワークと針状結晶」。Noble, B. (編)。工学における学部数学の応用。ニューヨーク: Macmillan。
^ Weaire, D. ; Rivier, N. (1984). 「石鹸、細胞、統計: 2次元のランダムパターン」. Contemporary Physics . 25 (1): 59–99. Bibcode :1984ConPh..25...59W. doi :10.1080/00107518408210979.
^ Branagan, DF (1983)。Young, RW; Nanson, GC (編)。モザイク舗装。オーストラリアの砂岩景観の特徴。特別出版第1号、オーストラリアおよびニュージーランドの地形学。ウーロンゴン、ニューサウスウェールズ州：ウーロンゴン大学。pp. 11–20。ISBN 978-0-864-18001-8. OCLC 12650092.
^ ボール、フィリップ（2009）。シェイプス。オックスフォード大学出版局。pp.73-76。ISBN 978-0-199-60486-9。
^ ダニエル・マクアダム。「ジグソーパズルの歴史」。アメリカジグソーパズル協会。2014年2月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月28日閲覧。
^ スローカム、ジェリー (2001)。タングラムの道。バーンズ＆ノーブル。p. 9。ISBN 978-1-4351-0156-2。
^ ゴロム、ソロモン W. (1994)。ポリオミノ（第 2 版）。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-02444-8。
^ マーティン、ジョージ E. (1991)。ポリオミノ：タイル張りのパズルと問題ガイド。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-501-0。
^ フレデリックソン、グレッグ・N. (2002)。ヒンジ付き解剖：揺れとねじれ。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-81192-7。
^ ガードナー、マーティン(1963 年 5 月)。「自分自身のより大きなコピーやより小さなコピーを作成できるポリゴンである「レプタイル」について」。サイエンティフィック・アメリカン、第 208 巻、5 月号、pp. 154–164。
^ ガードナー、マーティン（2006年12月14日）。Aha! 2巻コレクション：Aha! Gotcha Aha! Insight。MAA。p. 48。ISBN 978-0-88385-551-5。
^ Suri, Mani (2015年10月12日). 「レクリエーション数学の重要性」.ニューヨークタイムズ.
^ Schattschneider, Doris (1978). 「同形五角形による平面のタイリング」(PDF) .数学雑誌. 51 (1). MAA: 29–44. doi :10.2307/2689644. JSTOR 2689644.
^ Tutte, WT「Squaring the Square」。Squaring.net 。 2015年5月29日閲覧。
^ ガードナー、マーティン; タット、ウィリアム T. (1958 年 11 月)。「数学ゲーム」。サイエンティフィック・アメリカン。
^ Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008). 「平面の正方形化」(PDF) . American Mathematical Monthly . 115 (1): 3–12. doi :10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR 27642387. S2CID 26663945. 2006年6月20日時点のオリジナル(PDF)よりアーカイブ。

出典

Coxeter, HSM (1973)。「セクション IV: テッセレーションとハニカム」。Regular Polytopes。Dover Publications。ISBN 978-0-486-61480-9。
エッシャー、MC (1974)。 JL ロッチャー (編)。MC エッシャーの世界(New Concise NAL 編)。エイブラムス。ISBN 978-0-451-79961-6。
ガードナー、マーティン（1989年）。ペンローズタイルからトラップドア暗号まで。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-88385-521-8。
グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-1193-3。
ガルバーグ、ヤン(1997)。数の誕生からの数学。ノートン。ISBN 978-0-393-04002-9。
スチュワート、イアン（2001）。雪の結晶の形は？ワイデンフェルドとニコルソン。ISBN 978-0-297-60723-6。

外部リンク

Tegula (平面、球面、双曲面の 2 次元タイリングを探索するためのオープンソースソフトウェア。数百万のタイリングを含むデータベースが含まれています)
Wolfram MathWorld: テッセレーション (優れた参考文献、正則、半正則、半正則のテッセレーションの図)
Dirk Frettlöh とEdmund Harriss。「タイル百科事典」(図面、人物、参考文献を含む代替タイルに関する広範な情報)
Tessellations.org (ハウツーガイド、エッシャーのテッセレーションギャラリー、他のアーティストによるテッセレーションのギャラリー、レッスンプラン、歴史)
エップスタイン、デイビッド。「ジオメトリジャンクヤード：双曲タイル張り」。（記事やギャラリーを含むウェブリソースのリスト）

[14] 同一の形状を表す数学用語は「合同」です。数学において、「同一」とは、同じタイルであることを意味します。

[20] タイルは通常、閉じた円板と同相（位相的に同値）であることが要求される。つまり、穴や垂れ下がった線分、無限の面積を持つ奇妙な形状は除外される。^[18]

[63] この文脈では、準規則的とは、セルが規則的（立体）であり、頂点図形が半規則的であることを意味します。

[Pickover2009-1] ピックオーバー、クリフォード A. (2009)。『数学の本：ピタゴラスから57次元まで、数学の歴史における250のマイルストーン』スターリング、p.372。ISBN 978-1-4027-5796-9。

[2] ダンバビン、キャサリンMD（2006年）。ギリシャとローマの世界のモザイク。ケンブリッジ大学出版局。280ページ。

[3] 「ブランティンガム幾何学モザイク」ハル市議会。2008年。 2015年5月26日閲覧。

[Field1988-4] フィールド、ロバート (1988)。ローマのモザイクの幾何学模様。タルクィン。ISBN 978-0-906-21263-9。

[5] ケプラー、ヨハネス（1619）。『宇宙の調和』。

[FOOTNOTEGullberg1997395-6] Gullberg 1997、395ページ。

[FOOTNOTEStewart200113-7] スチュワート2001、13ページ。

[8] ジジェフ、フリスト;ポトコンニャク、ミオドラグ（2012）。「センサーネットワークにおける動的カバレッジの問題」(PDF)。ロスアラモス国立研究所。 p. ２．2013 年4 月 6 日に取得。

[9] フョードロフ、Y. (1891)。「Simmetrija na ploskosti [平面の対称性]」。Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [帝国サンクトペテルブルク鉱物学会の議事録]。 2 (ロシア語)。28 : 245–291。

[ShubnikovBelov1964-10] シュブニコフ、アレクセイ・ヴァシリエヴィチ;ベロフ、ニコライ・ヴァシレーヴィチ（1964年）。色の対称性。マクミラン。

[11] ヒーシュ、H. Kienzle、O. (1963)。Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (ドイツ語)。スプリンガー。

[12] 「Tessellate」。Merriam -Webster Online 。 2015年5月26日閲覧。

[13] Conway, R.; Burgiel, H.; Goodman-Strauss, G. (2008). The Symmetries of Things . Peters.

[FOOTNOTECoxeter1973-15] コクセター 1973.

[16] Cundy and Rollett (1961).数学モデル（第2版）. オックスフォード. pp. 61–62.

[FOOTNOTEEscher197411–12,_15–16-17] エッシャー 1974年、11-12頁、15-16頁。

[18] “サンマルコ大聖堂”.セクション: モザイク状の床。サンマルコ大聖堂。2013 年4 月 26 日に取得。

[FOOTNOTEGrünbaumShephard198759-19] Grünbaum & Shephard 1987、59ページ。

[21] Schattschneider, Doris (1980 年 9 月)。「タイル張りは可能か? コンウェイ基準を試してみよう!」。数学雑誌。第 53 巻、第 4 号。pp. 224–233。doi : 10.2307/2689617。JSTOR 2689617。

[22] コクセター、HSM ( 1948)。正多面体。メチューエン。pp. 14、69、149。ISBN 978-0-486-61480-9。

[MathWorldTessellation-23] Weisstein, Eric W.「テッセレーション」。MathWorld。

[EmmerSchattschneider2007-24] エマー、ミシェル;シャッツシュナイダー、ドリス (2007 年 5 月 8 日)。 MC エッシャーの遺産: 100 周年記念。ベルリン・ハイデルベルク：シュプリンガー。 p. 325.ISBN 978-3-540-28849-7。

[Horne2000-25] Horne, Clare E. (2000).パターンとタイルの幾何学的対称性。Woodhead Publishing。pp. 172, 175。ISBN 978-1-85573-492-0。

[26] Dutch, Steven (1999年7月29日). 「Some Special Radial and Spiral Tilings」. ウィスコンシン大学. 2013年4月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月6日閲覧。

[Hirschhorn1985-27] Hirschhorn, MD; Hunt, DC (1985). 「平面を敷き詰める正凸五角形」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 39 (1): 1–18. doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .

[threeregular-28] Weisstein, Eric W.「Regular Tessellations」。MathWorld。

[FOOTNOTEStewart200175-29] スチュワート2001、75ページ。

[30] NRICH (ミレニアム数学プロジェクト) (1997–2012). 「Schläfli Tessellations」. ケンブリッジ大学. 2013年4月26日閲覧。

[31] ウェルズ、デイビッド (1991)。「2 つの正方形のテッセレーション」。ペンギンの不思議で興味深い幾何学辞典。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 260–261。ISBN 978-0-14-011813-1。

[32] ^カービー、マシュー、 アンブル、ロナルド (2011)。「エッジテッセレーションとスタンプ折りパズル」。数学マガジン。84 (4): 283–89。doi : 10.4169 /math.mag.84.4.283。S2CID 123579388。

[armstrong-33] アームストロング、MA (1988)。群と対称性。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-3-540-96675-3。

[34] Grünbaum, Branko (2006 年 6 月 - 7 月)。「アルハンブラ宮殿にはどのような対称群が存在するのか?」( PDF)。アメリカ数学会誌53 (6): 670-673。

[35] Lu, Peter J.; Steinhardt (2007 年 2 月 23 日). 「中世イスラム建築における十角形および準結晶タイル」. Science . 315 (5815): 1106–10. Bibcode :2007Sci...315.1106L. doi :10.1126/science.1135491. PMID 17322056. S2CID 10374218.

[36] ワイスタイン、エリック・W.「フリーズ・グループ」。マスワールド。

[37] Huson, Daniel H. (1991). 「2次元対称性変異」. プリンストン大学. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – CiteSeerX経由.

[FOOTNOTEGardner19891–18-38] ガードナー 1989年、1-18頁。

[39] Radin, C. (1994 年 5 月). 「平面の風車タイル」. Annals of Mathematics . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . doi :10.2307/2118575. JSTOR 2118575.

[Austin-40] オースティン、デイビッド。「ペンローズタイルはマイルを越えて話す」アメリカ数学会。 2015年5月29日閲覧。

[41] Harriss, EO「Aperiodic Tiling」（PDF）。ロンドン大学およびEPSRC。 2017年8月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2015年5月29日閲覧。

[42] Dharma-wardana, MWC; MacDonald, AH; Lockwood, DJ; Baribeau, J.-M.; Houghton, DC (1987). 「フィボナッチ超格子におけるラマン散乱」. Physical Review Letters . 58 (17): 1761–1765. Bibcode :1987PhRvL..58.1761D. doi :10.1103/physrevlett.58.1761. PMID 10034529.

[43] 王昊(1961). 「パターン認識による定理の証明—II」.ベルシステム技術ジャーナル. 40 (1): 1–41. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x.

[44] Wang, Hao (1965年11月). 「ゲーム、ロジック、コンピュータ」. Scientific American . pp. 98–106.

[45] Berger, Robert (1966). 「ドミノ問題の決定不可能性」アメリカ数学会誌66 ( 66): 72. doi :10.1090/memo/0066.

[46] Robinson, Raphael M. (1971). 「平面のタイリングにおける決定不能性と非周期性」. Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode :1971InMat..12..177R. doi :10.1007/bf01418780. MR 0297572. S2CID 14259496.

[47] Culik, Karel II (1996). 「13 個の Wang タイルの非周期的集合」.離散数学. 160 (1–3): 245–251. doi : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . MR 1417576.

[48] Browne, Cameron (2008). 「トルシェ曲線と表面」. Computers & Graphics . 32 (2): 268–281. doi :10.1016/j.cag.2007.10.001.

[49] スミス、シリル・スタンレー(1987)。「セバスチャン・トルシェのタイリングパターンと構造階層のトポロジー」。レオナルド。20 (4): 373–385。doi : 10.2307/1578535。JSTOR 1578535。S2CID 192944820 。

[50] Conover, Emily (2023年3月24日). 「数学者がついに、とらえどころのない「アインシュタイン」タイルを発見」.サイエンスニュース. 2023年3月25日閲覧。パターンの画像付き

[51] スミス、デイビッド; マイヤーズ、ジョセフ・サミュエル; カプラン、クレイグ・S.; グッドマン・ストラウス、チャイム（2023年3月）。「非周期的モノタイル」arXiv:2303.10798

[52] ロバーツ、ソイバン、「謎の『アインシュタイン』が長年の数学の難問を解決」、ニューヨークタイムズ、2023年3月28日、パターンの画像付き

[Hazewinkel2001-53] 「4色問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[54] ジョーンズ、オーウェン（1910）[1856]。装飾の文法（フォリオ版）。バーナード・クォリッチ。

[55] Aurenhammer, Franz (1991). 「ボロノイ図 - 基本的な幾何学的データ構造の調査」ACM Computing Surveys . 23 (3): 345–405. doi :10.1145/116873.116880. S2CID 4613674.

[56] 岡部篤之、ブーツ・バリー、杉原厚吉、チウ・ソン・ノック（2000年）。空間テッセレーション - ボロノイ図の概念と応用（第2版）。ジョン・ワイリー。ISBN 978-0-471-98635-5。

[George1998-57] George, Paul Louis; Borouchaki, Houman (1998). Delaunay 三角形分割とメッシュ化: 有限要素への応用. Hermes . pp. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0。

[58] モラー、ジェスパー (1994)。ランダムボロノイ分割に関する講義。シュプリンガー。ISBN 978-1-4612-2652-9。

[59] Grünbaum, Branko (1994). 「3次元空間の均一なタイリング」. Geombinatorics . 4 (2): 49–56.

[60] ピーター、エンゲル (1981)。「クビッシャー・シンメトリーのユーバー・ヴィルクングスベライヒシュタイルンゲン」。水晶写真、水晶幾何学、水晶物理学、水晶化学に関するツァイツシュリフト。154 (3-4): 199-215。Bibcode :1981ZK....154..199E。土井：10.1524/zkri.1981.154.3-4.199。MR0598811 。。

[Oldershaw2003-61] オールダーショウ、キャリー（2003年）。『Firefly Guide to Gems』。Firefly Books。p. 107。ISBN 978-1-55297-814-6。

[62] カーカルディ、JF (1968)。鉱物と岩石の色彩（第2版）。ブランドフォード。pp.138-139。

[CoxeterSherk1995-64] コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド; シャーク、F. アーサー; カナダ数学協会 (1995)。万華鏡: HSM コクセターの選集。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 3 および以下参照。ISBN 978-0-471-01003-6。

[65] Weisstein, Eric W.「Wythoff 構築」。MathWorld。

[Senechal1996-66] セネシャル、マージョリー（1996年9月26日）。準結晶と幾何学。CUPアーカイブ。p.209。ISBN 978-0-521-57541-6。

[67] ハワイ州シュワルツ (1873)。「超幾何学的超幾何学を実現するために、関数を理解することができます。」数学に関するジャーナル。1873 (75): 292–335。土井：10.1515/crll.1873.75.292。ISSN 0075-4102。S2CID 121698536。

[68] Margenstern, Maurice (2011年1月4日). 「双曲面の新しい三角形タイリングの座標」. arXiv : 1101.0530 [cs.FL].

[69] Zadnik, Gašper. 「双曲面を正多角形でタイリングする」 Wolfram . 2015年5月27日閲覧。

[70] Coxeter, HSM (1999). 「第 10 章: 双曲空間における正則ハニカム」.幾何学の美: 12 のエッセイ. Dover Publications . pp. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1。

[71] 「芸術と建築における数学」シンガポール国立大学。 2015年5月17日閲覧。

[72] ウィテカー、アンドリュー（2008年）。『文化を語る：スペイン』ソログッド出版。153ページ。ISBN 978-1-85418-605-8。

[FOOTNOTEEscher19745,_17-73] エッシャー 1974年、5、17頁。

[74] Gersten, SM「双曲群と自動群の紹介」（PDF）。ユタ大学。 2015年5月27日閲覧。図1はユークリッド平面のタイル張りの一部で、すべての方向に連続していると想像されます。図2[円の限界IV]は、天使を表す白いタイルと悪魔を表す黒いタイルで双曲平面のポアンカレ単位円板モデルの美しいタイル張りです。2番目の重要な特徴は、すべての白いタイルがすべての黒いタイルと同様に互いに合同であることです。もちろんこれはユークリッド計量には当てはまりませんが、ポアンカレ計量には当てはまります。

[75] Leys, Jos (2015). 「Hyperbolic Escher」2015年5月27日閲覧。

[FOOTNOTEEscher1974142–143-76] エッシャー 1974年、142-143頁。

[FOOTNOTEEscher197416-77] エッシャー 1974年、16ページ。

[78] ポーター、クリスティン（2006）。テッセレーションキルト：インターロッキングパターンからのセンセーショナルなデザイン。F+Wメディア。pp.4-8。ISBN 978-0-7153-1941-3。

[79] Beyer, Jinny (1999).テッセレーションのデザイン: インターロッキングパターンの秘密. Contemporary Book. pp. Ch. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9。

[80] エリック、ジェルデ (2008)。折り紙のテッセレーション。テイラーとフランシス。ISBN 978-1-568-81451-3。

[81] 「収量損失の削減: 同じものを作るのに使う金属の量を減らす」UIT Cambridge。2015年5月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月29日閲覧。

[82] Thouless, MD (1990). 「弾性基板上の脆性膜の亀裂間隔」J. Am. Chem. Soc . 73 (7): 2144–2146. doi :10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x.

[83] Xia, ZC; Hutchinson, JW (2000). 「薄膜の亀裂パターン」J. Mech. Phys. Solids . 48 (6–7): 1107–1131. Bibcode :2000JMPSo..48.1107X. doi :10.1016/S0022-5096(99)00081-2.

[84] Seghir, R.; Arscott, S. (2015). 「ポリジメチルシロキサンエラストマー表面の制御された泥割れパターン形成と自己組織化亀裂」Sci. Rep . 5 : 14787. Bibcode :2015NatSR...514787S. doi :10.1038/srep14787. PMC 4594096. PMID 26437880 .

[85] Ball, Philip (2013). 「ハニカムはどのようにして自らを構築するのか」. Nature . doi :10.1038/nature.2013.13398. S2CID 138195687. 2014年11月7日閲覧。

[86] ショートオックスフォード英語辞典（第6版）。イギリス：オックスフォード大学出版局。2007年。3804ページ。ISBN 978-0-19-920687-2。

[87] パーディ、キャシー（2007年）。「コルチカム：秋の秘密」アメリカン・ガーデナー（9月/10月）：18～22ページ。

[88] シュライバー、トマシュ;ソジャ、ナタリア (2010)。「平面ギルバートテッセレーションの極限理論」。arXiv : 1005.0023 [数学.PR]。

[89] Gray, NH; Anderson, JB; Devine, JD; Kwasnik, JM (1976). 「ランダムクラックネットワークの位相特性」.数理地質学. 8 (6): 617–626. doi :10.1007/BF01031092. S2CID 119949515.

[90] Gilbert, EN (1967)。「ランダム平面ネットワークと針状結晶」。Noble, B. (編)。工学における学部数学の応用。ニューヨーク: Macmillan。

[91] Weaire, D. ; Rivier, N. (1984). 「石鹸、細胞、統計: 2次元のランダムパターン」. Contemporary Physics . 25 (1): 59–99. Bibcode :1984ConPh..25...59W. doi :10.1080/00107518408210979.

[92] Branagan, DF (1983)。Young, RW; Nanson, GC (編)。モザイク舗装。オーストラリアの砂岩景観の特徴。特別出版第1号、オーストラリアおよびニュージーランドの地形学。ウーロンゴン、ニューサウスウェールズ州：ウーロンゴン大学。pp. 11–20。ISBN 978-0-864-18001-8. OCLC 12650092.

[93] ボール、フィリップ（2009）。シェイプス。オックスフォード大学出版局。pp.73-76。ISBN 978-0-199-60486-9。

[94] ダニエル・マクアダム。「ジグソーパズルの歴史」。アメリカジグソーパズル協会。2014年2月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年5月28日閲覧。

[95] スローカム、ジェリー (2001)。タングラムの道。バーンズ＆ノーブル。p. 9。ISBN 978-1-4351-0156-2。

[96] ゴロム、ソロモン W. (1994)。ポリオミノ（第 2 版）。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-02444-8。

[97] マーティン、ジョージ E. (1991)。ポリオミノ：タイル張りのパズルと問題ガイド。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-501-0。

[98] フレデリックソン、グレッグ・N. (2002)。ヒンジ付き解剖：揺れとねじれ。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-81192-7。

[99] ガードナー、マーティン(1963 年 5 月)。「自分自身のより大きなコピーやより小さなコピーを作成できるポリゴンである「レプタイル」について」。サイエンティフィック・アメリカン、第 208 巻、5 月号、pp. 154–164。

[Gardner2006-100] ガードナー、マーティン（2006年12月14日）。Aha! 2巻コレクション：Aha! Gotcha Aha! Insight。MAA。p. 48。ISBN 978-0-88385-551-5。

[101] Suri, Mani (2015年10月12日). 「レクリエーション数学の重要性」.ニューヨークタイムズ.

[102] Schattschneider, Doris (1978). 「同形五角形による平面のタイリング」(PDF) .数学雑誌. 51 (1). MAA: 29–44. doi :10.2307/2689644. JSTOR 2689644.

[103] Tutte, WT「Squaring the Square」。Squaring.net 。 2015年5月29日閲覧。

[104] ガードナー、マーティン; タット、ウィリアム T. (1958 年 11 月)。「数学ゲーム」。サイエンティフィック・アメリカン。

[105] Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008). 「平面の正方形化」(PDF) . American Mathematical Monthly . 115 (1): 3–12. doi :10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR 27642387. S2CID 26663945. 2006年6月20日時点のオリジナル(PDF)よりアーカイブ。