鏡映対称性（弦理論）

代数幾何学と理論物理学において、ミラー対称性は、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる幾何学的オブジェクト間の関係です。この用語は、2つのカラビ・ヤウ多様体が幾何学的には非常に異なって見えるが、弦理論の追加次元として使用された場合に同等である状況を指します。

ミラー対称性の初期の例は物理学者によって発見されました。数学者がこの関係に興味を持つようになったのは、フィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスが、幾何学的な問題に対する解の数を数える数学の一分野である数え上げ幾何学のツールとしてこの関係を使用できることを示してから1990年頃でした。キャンデラスと彼の協力者は、ミラー対称性を使用してカラビ・ヤウ多様体上の有理曲線を数えることができることを示し、長年の問題を解決しました。ミラー対称性に対する当初のアプローチは、数学的に正確に理解されていなかった物理的な概念に基づいていましたが、その数学的予測のいくつかはその後厳密に証明されました。

今日、ミラー対称性は純粋数学の主要な研究テーマであり、数学者は物理学者の直感に基づいた関係について数学的な理解を深めるために取り組んでいます。ミラー対称性は弦理論の計算を行うための基本的なツールでもあり、物理学者が素粒子を記述するために使用する形式である量子場の理論の側面を理解するために使用されてきました。ミラー対称性への主要なアプローチには、マキシム・コンツェビッチのホモロジーミラー対称性プログラムや、アンドリュー・ストロミンガー、シン・トン・ヤウ、エリック・ザスローのSYZ予想などがあります。

物理学において、弦理論は、素粒子物理学の点状粒子を弦と呼ばれる1次元の物体に置き​​換える理論的枠組みである。これらの弦は、通常の弦の小さなセグメントまたはループのように見える。弦理論は、弦が空間を伝播し、互いに相互作用する仕組みを説明する。弦スケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子とまったく同じように見え、質量、電荷、およびその他の特性は弦の振動状態によって決定される。弦の分裂と再結合は粒子の放出と吸収に対応し、粒子間の相互作用を引き起こす。^[1]

弦理論によって記述される世界と日常の世界の間には顕著な違いがある。日常生活では、空間にはよく知られた3つの次元（上下、左右、前後）があり、時間には1つの次元（後/前）がある。したがって、現代物理学の言葉で言えば、時空は4次元であると言われる。^[2]弦理論の独特な特徴の1つは、数学的な一貫性を保つために時空の余分な次元を必要とすることである。超対称性と呼ばれる理論的アイデアを取り入れた理論のバージョンである超弦理論では、日常の経験からよく知られている4つの次元に加えて、時空の余分な6つの次元がある。^[3]

弦理論における現在の研究の目標の 1 つは、弦が高エネルギー物理学の実験で観測される粒子を表すモデルを開発することです。このようなモデルが観測と一致するためには、その時空は関連する距離スケールで 4 次元でなければならないため、余分な次元をより小さなスケールに制限する方法を探す必要があります。弦理論に基づく物理学の最も現実的なモデルでは、これはコンパクト化と呼ばれるプロセスによって達成され、余分な次元は「閉じて」円を形成すると想定されます。^[4]これらの丸まった次元が非常に小さくなる限界では、時空の次元数が実質的に少なくなる理論が得られます。これに対する標準的な類推は、庭のホースなどの多次元オブジェクトを考えることです。ホースを十分な距離から見ると、長さという 1 つの次元しかないように見えます。しかし、ホースに近づくと、ホースには 2 番目の次元、つまり円周が含まれていることがわかります。したがって、ホースの表面を這うアリは 2 次元で動きます。^[5]

コンパクト化は、時空が実質的に 4 次元であるモデルを構築するために使用できます。ただし、余分な次元をコンパクト化するすべての方法で、自然を記述するのに適した特性を持つモデルが生成されるわけではありません。粒子物理学の実行可能なモデルでは、コンパクトな余分な次元はカラビ-ヤウ多様体のような形になっている必要があります。^[4]カラビ-ヤウ多様体は、弦理論への応用では通常 6 次元であるとされる特殊な空間です。数学者のエウジェニオ・カラビとシン・トン・ヤウにちなんで名付けられました。^[6]

カラビ・ヤウ多様体が余剰次元をコンパクト化する方法として物理学に登場した後、多くの物理学者がこれらの多様体を研究し始めた。1980年代後半、ランス・ディクソン、ヴォルフガング・レルヒェ、クムルン・ヴァファ、ニック・ワーナーは、弦理論のそのようなコンパクト化を考えると、対応するカラビ・ヤウ多様体を一意に再構築することは不可能であることに気付いた。 ^[7]代わりに、IIA型弦理論とIIB型と呼ばれる2つの異なるバージョンの弦理論を、まったく異なるカラビ・ヤウ多様体上にコンパクト化して、同じ物理学を生み出すことができる。^[a]このような状況では、多様体はミラー多様体と呼ばれ、2つの物理理論の関係はミラー対称性と呼ばれる。^[9]

鏡映対称関係は、物理学者が物理的双対性と呼ぶものの特別な例である。一般的に、物理的双対性という用語は、一見異なる2つの物理理論が、自明ではない方法で同等であることが判明する状況を指す。1つの理論を別の理論とまったく同じように見えるように変換できる場合、2つの理論はその変換の下で双対であると言われる。言い換えれば、2つの理論は同じ現象を数学的に異なる形で記述したものである。^[10]このような双対性は、現代物理学、特に弦理論で重要な役割を果たしている。^[b]

弦理論のカラビ・ヤウコンパクト化が自然を正しく記述するかどうかに関わらず、異なる弦理論間の鏡像双対性の存在は重要な数学的帰結をもたらす。^{[11]弦理論で用いられるカラビ・ヤウ多様体は}純粋数学において興味深いものであり、鏡像対称性により数学者は幾何学的問題に対する解の数を数える数学の一分野である列挙代数幾何学の問題を解くことができる。列挙幾何学の古典的な問題は、上に示したようなカラビ・ヤウ多様体上の有理曲線を列挙することである。鏡像対称性を適用することにより、数学者はこの問題を鏡像カラビ・ヤウの同等の問題に変換し、より簡単に解けるようになった。^[12]

物理学では、ミラー対称性は物理的な根拠に基づいて正当化される。^[13]しかし、数学者は一般に、物理的な直感に訴える必要のない厳密な証明を要求する。数学的な観点からは、上記のミラー対称性のバージョンはまだ推測に過ぎないが、位相弦理論の文脈ではミラー対称性の別のバージョンがあり、これはエドワード・ウィッテンによって導入された弦理論の簡略化されたバージョンであり、^[14]数学者によって厳密に証明されている。^[15]位相弦理論の文脈では、ミラー対称性は、AモデルとBモデルと呼ばれる2つの理論が、それらを関連付ける双対性があるという意味で同等であると述べています。^[16]今日、ミラー対称性は数学の活発な研究分野であり、数学者は物理学者の直感に基づいてミラー対称性のより完全な数学的理解を開発するために取り組んでいます。^[17]

ミラー対称性の考え方は、半径の円上を伝播する弦が、適切な単位で半径の円上を伝播する弦と物理的に等価であることが注目された 1980 年代半ばにまで遡ることができます。^{[18]この現象は現在}T 双対性として知られており、ミラー対称性と密接に関連していると理解されています。^[19] 1985 年の論文で、フィリップ・キャンデラス、ゲイリー・ホロウィッツ、アンドリュー・ストロミンガー、エドワード・ウィッテンは、弦理論をカラビ・ヤウ多様体上にコンパクト化することで、超対称性と呼ばれるアイデアも一貫して取り入れた、素粒子物理学の標準モデルとほぼ同様の理論が得られることを示しました。^[20]この展開に続いて、多くの物理学者がカラビ・ヤウのコンパクト化を研究し始め、弦理論に基づく素粒子物理学の現実的なモデルを構築することを望んでいました。カムラン・ヴァファらは、そのような物理モデルが与えられた場合、対応するカラビ・ヤウ多様体を一意に再構築することは不可能であることに気付きました。代わりに、同じ物理学を生み出す2つのカラビ・ヤウ多様体が存在する。^[21]${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$

ブライアン・グリーンとロネン・プレッサーは、カラビ・ヤウ多様体とゲプナー模型と呼ばれる特定の共形場理論との関係を研究することで、鏡像関係の重要な例を発見した。^[22]この関係のさらなる証拠は、フィリップ・キャンデラス、モニカ・リンカー、ロルフ・シムリッグの研究から得られ、彼らはコンピューターで多数のカラビ・ヤウ多様体を調査し、それらが鏡像のペアになっていることを発見した。^[23]

数学者がミラー対称性に興味を持つようになったのは、物理学者のフィリップ・キャンデラス、クセニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスが、ミラー対称性を使えば、何十年も解決できなかった数え上げ幾何学の問題^{[24]を解けることを示した1990年頃だった。 [25]これらの結果は、1991年5月に}カリフォルニア州バークレーの数理科学研究所(MSRI)で開催された会議で数学者に発表された。この会議中に、キャンデラスが有理曲線を数えるために計算した数値の1つが、ノルウェーの数学者ゲイル・エリングスルードとスタイン・アリルド・ストロメが明らかにより厳密な手法を使って得た数値と一致しないことが注目された。^[26]会議に出席した多くの数学者は、キャンデラスの研究は厳密な数学的議論に基づいていないため、間違いがあると考えていた。しかし、エリングスルードとストロムは、自分たちの解法を検討した後、コンピュータコードに誤りを発見し、コードを修正したところ、カンデラスとその協力者が得た答えと一致する答えを得た。^[27]

1990年、エドワード・ウィッテンは弦理論の簡略版である位相弦理論^[14]を発表し、物理学者は位相弦理論にミラー対称性のバージョンがあることを示した。^[28]位相弦理論に関するこの記述は、数学文献におけるミラー対称性の定義としてよく受け止められている。^{[29] 1994年の}国際数学者会議での講演で、数学者マキシム・コンツェビッチは位相弦理論におけるミラー対称性の物理的概念に基づく新しい数学的予想を発表した。ホモロジーミラー対称性として知られるこの予想は、ミラー対称性を2つの数学的構造、すなわちカラビ・ヤウ多様体上のコヒーレント層の導来カテゴリとそのミラーの深谷カテゴリの同値性として形式化する。^[30]

また、1995年頃、コンツェビッチは、五次三次多様体上の有理曲線を数える問題の一般的な公式を与えたカンデラスの結果を分析し、これらの結果を正確な数学的予想として再定式化した。^[31] 1996年、アレクサンダー・ギブンタルは、コンツェビッチのこの予想を証明すると主張する論文を発表した。^[32]当初、多くの数学者はこの論文を理解するのが難しく、その正しさに疑問があった。その後、ボン・リアン、ケフェン・リウ、シン・トン・ヤウは、一連の論文で独立した証明を発表した。^[33]誰が最初の証明を発表したかについては論争があったが、これらの論文は現在、物理学者がミラー対称性を使用して最初に得た結果の数学的証明を提供していると総括されている。^[34] 2000年、ケンタロウ・ホリとカムルン・ヴァファは、T双対性に基づくミラー対称性の別の物理的証明を示した。^[13]

ミラー対称性に関する研究は今日も続けられており、境界を持つ表面上の弦の文脈で大きな進展が見られています。 ^{[17]さらに、ミラー対称性は、}マッケイ対応、位相的量子場理論、安定条件の理論など、数学研究の多くの活発な分野に関連しています。^[35]同時に、基本的な疑問は依然として残っています。たとえば、この問題の理解は進んでいますが、数学者はまだミラーカラビ・ヤウ対の例をどのように構築するかを理解しきれていません。^[36]

鏡面対称性の重要な数学的応用の多くは、数え上げ幾何学と呼ばれる数学の分野に属している。数え上げ幾何学では、幾何学的な問題に対する解の数を数えることに関心があり、通常は代数幾何学の技法を使用する。数え上げ幾何学の最も初期の問題の一つは、紀元前200年頃に古代ギリシャの数学者アポロニウスによって提起されたもので、平面上で与えられた3つの円に接する円がいくつあるかを問うものであった。一般に、アポロニウスの問題の解は、そのような円は8つあるというものである。^[37]

数学における数え上げの問題は、多項式の消滅によって定義される代数多様体と呼ばれる幾何学的オブジェクトのクラスに関係することが多い。例えば、クレプシュ三次式（図を参照）は、4つの変数を持つ3次の特定の多項式を使用して定義される。19世紀の数学者アーサー・ケイリーとジョージ・サルモンの有名な結果によると、そのような表面上に完全に横切る直線は正確に27本あるという。^[38]

この問題を一般化すると、上に示したような 5 次多項式で定義される 5 次カラビ・ヤウ多様体上に何本の直線を引くことができるかという問題になります。この問題は 19 世紀ドイツの数学者ヘルマン・シューベルトによって解決され、彼はそのような直線がちょうど 2,875 本あることを発見しました。1986 年、幾何学者シェルドン・カッツは、 2 次多項式で定義され、完全に 5 次多項式に含まれる円などの曲線の数は 609,250 であることを証明しました。^[37]

1991年までに、数え上げ幾何学の古典的な問題のほとんどは解決され、数え上げ幾何学への関心は薄れ始めました。数学者マーク・グロスによると、「古い問題が解決されたため、人々はシューベルトの数を現代の技術で検証し直しましたが、それはかなり陳腐になっていました。」^[39]物理学者のフィリップ・カンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスがミラー対称性を使用して5次カラビ・ヤウ上の次数3の曲線の数を数えることができることを示した1991年5月、この分野は再び活気を取り戻しました。カンデラスと彼の協力者は、これらの6次元カラビ・ヤウ多様体に次数3の曲線が正確に3億1720万6375個含まれることを発見しました。^[39]

カンデラスと彼の協力者は、五次三次多様体上の三次曲線を数えることに加えて、有理曲線を数えることについて、数学者が得た結果をはるかに超える、より一般的な結果を数多く得た。^[40]この研究で使用された方法は物理的な直感に基づいたものであったが、数学者は鏡面対称性の予測のいくつかを厳密に証明した。特に、鏡面対称性の列挙予測は現在厳密に証明されている。^[34]

ミラー対称性は、数え上げ幾何学への応用に加えて、弦理論の計算を行うための基本的なツールです。位相弦理論の A モデルでは、物理的に興味深い量が、グロモフ-ウィッテン不変量と呼ばれる無限の数で表現されますが、これは計算が非常に困難です。B モデルでは、計算は古典的な積分に還元でき、はるかに簡単です。^[41]ミラー対称性を適用することで、理論家は A モデルの難しい計算を、同等だが技術的に簡単な B モデルの計算に変換できます。これらの計算は、弦理論のさまざまな物理プロセスの確率を決定するために使用されます。ミラー対称性を他の双対性と組み合わせて、1 つの理論の計算を別の理論の同等の計算に変換できます。このように計算をさまざまな理論にアウトソーシングすることで、理論家は双対性を使用せずには計算できない量を計算できます。^[42]

弦理論以外では、ミラー対称性は量子場理論の側面を理解するために使われます。量子場理論は物理学者が素粒子を記述するために使う形式論です。例えば、ゲージ理論は、粒子物理学の標準モデルや理論物理学の他の部分に現れる、高度に対称的な物理理論の一種です。標準モデルの一部ではないが理論的には重要なゲージ理論の中には、ほぼ特異な背景上を伝播する弦から生じるものがあります。そのような理論にとって、ミラー対称性は便利な計算ツールです。^{[43]実際、ミラー対称性は、}ネイサン・ザイバーグとエドワード・ウィッテンによって研究され、数学ではドナルドソン不変量の文脈でもおなじみの、4次元時空における重要なゲージ理論の計算に使うことができます。^[44]また、 3次元時空における量子場理論のペアを関連付ける3Dミラー対称性と呼ばれるミラー対称性の一般化もあります。 ^[45]

弦理論や物理学の関連理論では、ブレーンは点粒子の概念を高次元に一般化した物理的オブジェクトです。たとえば、点粒子は次元 0 のブレーンとして見ることができますが、弦は次元 1 のブレーンとして見ることができます。高次元のブレーンを考えることもできます。ブレーンという単語は、2 次元ブレーンを指す「膜」という単語に由来しています。^[46]

弦理論では、弦は開いた状態（2つの端点を持つ線分を形成）または閉じた状態（閉じたループを形成）になる。Dブレーンは、開いた弦を考えるときに生じる重要なブレーンのクラスである。開いた弦が時空を伝播するとき、その端点はDブレーン上にある必要がある。Dブレーンの文字「D」は、それが満たす条件、ディリクレ境界条件を指す。^[47]

数学的には、ブレーンはカテゴリーの概念を使って記述できる。^[48]これは、オブジェクトと、任意のオブジェクトのペアに対してそれらの間の射の集合からなる数学的構造である。ほとんどの例では、オブジェクトは数学的構造（集合、ベクトル空間、位相空間など）であり、射はこれらの構造間の関数である。 ^[49]オブジェクトが D ブレーンであり、2 つのブレーンとの間の射がとの間に張られた開いた弦の状態であるカテゴリーも考えられる。^[50]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

位相弦理論の B モデルでは、D ブレーンは、弦の端点に電荷があることから物理的に生じる追加のデータを伴う、カラビ・ヤウの複素部分多様体です。 ^[50]直感的には、部分多様体はカラビ・ヤウの中に埋め込まれた面と考えることができますが、部分多様体は 2 次元以外の次元に存在することもできます。^[25]数学的な言語では、これらのブレーンを対象とするカテゴリは、カラビ・ヤウ上のコヒーレント層の導来カテゴリとして知られています。^[51] A モデルでは、D ブレーンは再びカラビ・ヤウ多様体の部分多様体と見なすことができます。大まかに言えば、数学者が特殊ラグランジアン部分多様体と呼ぶものです。^[51]これは、とりわけ、それらが配置されている空間の半分の次元を持ち、長さ、面積、または体積を最小化することを意味します。^[52]これらの膜を対象とするカテゴリは深谷カテゴリと呼ばれます。^[51]

連接層の導来カテゴリは、代数的な用語で幾何学的曲線を記述し、代数方程式を使用して幾何学的問題を解く数学の分野である複素幾何学のツールを使用して構築されます。^[53]一方、深谷カテゴリは、古典物理学の研究から生まれた数学の分野であるシンプレクティック幾何学を使用して構築されます。シンプレクティック幾何学は、 2次元の例で面積を計算するために使用できる数学的ツールであるシンプレクティック形式を備えた空間を研究します。 ^[16]

マキシム・コンツェビッチのホモロジーミラー対称性予想は、あるカラビ・ヤウ多様体上のコヒーレント層の導来カテゴリは、ある意味でそのミラーの深谷カテゴリと同値であると述べています。^[54]この同値性は、位相弦理論におけるミラー対称性の正確な数学的定式化を提供します。さらに、複素幾何学とシンプレクティック幾何学という2つの幾何学の分野の間に予期せぬ橋渡しを提供します。^[55]

ミラー対称性を理解するための別のアプローチは、 1996年にアンドリュー・ストロミンガー、シン・トン・ヤウ、エリック・ザスローによって提案されました。 ^[19]現在SYZ予想として知られている彼らの予想によれば、ミラー対称性は、カラビ・ヤウ多様体を単純な部分に分割し、それらを変換してミラーカラビ・ヤウを得ることによって理解できます。^[56]

カラビ・ヤウ多様体の最も単純な例は、2次元のトーラスまたはドーナツ形状です。^[57]この表面上に、ドーナツの穴を1回通過する円を考えてみましょう。例として、図の赤い円があります。トーラス上には、このような円が無限に存在します。実際、表面全体がそのような円の集合体です。^[58]

トーラスを分解する無限個の円のそれぞれが の点を通過するような補助円（図のピンクの円）を選ぶことができる。この補助円は分解の円をパラメータ化すると言われており、つまり、それらの円と の点の間には対応関係がある。しかし、この円は単なるリストではなく、これらの円がトーラス上でどのように配置されるかを決定する。この補助空間は SYZ 予想において重要な役割を果たす。^[52]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

トーラスを補助空間によってパラメータ化された部分に分割するというアイデアは一般化できる。次元を 2 次元から 4 次元に増やすと、カラビ・ヤウはK3 面になる。トーラスが円に分解されたのと同じように、4 次元の K3 面は 2 次元トーラスに分解できる。この場合、空間は通常の球である。球上の各点は、2 次元トーラスの 1 つに対応するが、24 個の「不良」点は「挟まれた」または特異なトーラスに対応する。^[52]${\displaystyle B}$

弦理論で主に関心のあるカラビ・ヤウ多様体は6次元である。このような多様体は、3次元球面（ 球面の3次元一般化）によってパラメータ化された3次元トーラス（トーラスの概念を一般化した3次元オブジェクト）に分割することができる。 の各点は、カラビ・ヤウ上のグリッド状の線分パターンを形成し、特異なトーラスに対応する無限の「悪い」点を除いて、3次元トーラスに対応する。^[59]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

カラビ・ヤウ多様体がより単純な部分に分解されると、鏡映対称性を直感的な幾何学的方法で理解できるようになります。例として、上記のトーラスを考えてみましょう。このトーラスが物理理論の「時空」を表していると想像してください。この理論の基本的な対象は、量子力学のルールに従って時空を伝搬する弦です。弦理論の基本的な双対性の 1 つは T 双対性で、これは、半径の円の周りを伝搬する弦は、1 つの記述のすべての観測可能な量が双対記述の量と同一視されるという意味で、半径の円の周りを伝搬する弦と同等であると述べています。^[60]たとえば、弦は円の周りを伝搬するときに運動量を持ち、円の周りを 1 回以上巻き付くこともできます。弦が円の周りを巻き付く回数は巻き数と呼ばれます。弦が 1 つの記述で運動量と巻き数を持つ場合、双対記述でも運動量と巻き数を持ちます。 ^[60]トーラスを分解するすべての円に同時にT双対性を適用すると、これらの円の半径は反転し、元のトーラスよりも「太い」または「細い」新しいトーラスが残ります。このトーラスは元のカラビ・ヤウの鏡像です。^[61]${\displaystyle R}$${\displaystyle 1/R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

T-双対性は円から、K3 曲面の分解で現れる 2 次元トーラス、または 6 次元カラビ・ヤウ多様体の分解で現れる 3 次元トーラスに拡張できます。一般に、SYZ 予想は、ミラー対称性はこれらのトーラスに T-双対性を同時に適用することと同等であるとしています。いずれの場合も、空間はこれらのトーラスがカラビ・ヤウ多様体にどのように組み立てられるかを説明する一種の青写真を提供します。^[62]${\displaystyle B}$

• ドナルドソン・トーマス理論
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