代数多様体の次元

数学、特に代数幾何学では、代数多様体の次元はさまざまな同等の方法で定義できます。

これらの定義には幾何学的な性質を持つものもあれば、純粋に代数的で可換代数に依存するものもあります。代数多様体に限定されるものもあれば、任意の代数集合にも適用されるものもあります。多様体のアフィン空間や射影空間への埋め込みとは独立して固有のものもあれば、そのような埋め込みに関連するものもあります。

K を体とし、L ⊇ Kを代数的に閉じた拡大とする。

アフィン代数集合 V は、多項式環のイデアルIの元のL ⁿにおける共通零点の集合です。 をV上の多項式関数のK代数とします。 Vの次元は、次のいずれかの整数です。Kが拡大されても、L がKの別の代数的に閉じた拡大で置き換えられても、I が同じ零点を持つ (つまり、同じ根基を持つ) 別のイデアルで置き換えられても、次元は変化しません。 また、次元は座標の選択とは無関係です。つまり、 x i_がそれらの 線型独立な線型結合で置き換えられても次元は変化しません。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots,x_{n}].}$${\displaystyle A=R/I}$

Vの次元は

• Vの異なる空でない（既約な）部分多様体の連鎖の最大長。${\displaystyle d}$${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}}$

この定義は、ユークリッド空間またはベクトル空間の次元の特性を一般化します。したがって、これはおそらく概念を最も簡単に直感的に説明する定義です。

• 座標環Aのクルル次元。

これは前述の定義を可換代数の言語で書き起こしたもので、クルル次元はAの素イデアルの連鎖の最大長です。 ${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$

• Vの点における局所環の最大クルル次元。

この定義は、 が既約な場合、次元は局所的な性質であることを示しています。${\displaystyle V}$が既約な場合、 Vの点におけるすべての局所環は同じクルル次元を持つことがわかります( ^[1]を参照)。したがって、 ${\displaystyle V}$

• Vが多様体である場合、 Vの任意の点における局所環のクルル次元

これは、以前の定義をより幾何学的な言葉で言い換えたものです。

• Vの非特異点における接ベクトル空間の最大次元。

これは、多様体の次元を微分可能多様体の次元に関連付けます。より正確には、V が実数上で定義されている場合、その実数正則点の集合は、空でなければ、多様体および多様体と同じ次元を持つ微分可能多様体です。

• Vが多様体の場合、 Vの任意の非特異点における接ベクトル空間の次元。

これは、連結多様体が定数次元を持つという事実の代数的類似物です。これは、3 番目の定義の下で述べられている結果と、接空間の次元が任意の非特異点における Krull 次元に等しいという事実からも推測できます ( Zariski 接空間を参照)。

• Vとの交差を持つために必要な一般位置の超平面または超曲面の数。これは、ゼロでない有限個の点に削減されます。

この定義は、アフィン空間または射影空間に明示的に埋め込まれた代数集合にのみ適用されるため、本質的ではありません。

• 座標環Aにおける正規列の最大長。

これは前述の定義の代数的翻訳です。

• nとIに含まれる正規配列の最大長との差。

これは、 n – d 個の一般超曲面の交差がd次元の代数集合であるという事実の代数的翻訳です。

• Aのヒルベルト多項式の次数。
• Aのヒルベルト級数の分母の次数。

これにより、グレブナー基底計算を通じて、与えられた多項式方程式系によって定義される代数集合の次元を計算することができる。さらに、グレブナー基底の多項式をそれらの主要な単項式に置き換えても、またこれらの主要な単項式をそれらの根号（指数を除去して得られる単項式）に置き換えても、次元は変化しない。したがって、次のようになる。^[2]

• スタンレー・ライスナー環 のクルル次元。ここで は、任意の許容される${\displaystyle R/J}$${\displaystyle J}$単項式順序付けに対するの${\displaystyle I}$初期イデアルの根基です(の初期イデアルは、の元のすべての主要な単項式の集合です)。${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• このスタンレー・ライスナー環によって定義される単体複体の次元。
• I が素イデアル（つまり、Vが代数多様体）である場合、 Aの分数体のK上の超越次数。

これにより、次元が双有理同値性の下で不変であることが簡単に証明されます。

V を体K上の多項式環における同次イデアルIの共通零点の集合として定義される射影代数集合とし、A = R / I をV上の多項式の次数付き代数とする。 ${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

前のセクションのすべての定義が適用されますが、定義にAまたはI が明示的に現れる場合、次元の値は 1 だけ減らされる必要があるという点が異なります。たとえば、Vの次元はAの Krull 次元より 1 小さくなります。

代数的に閉じた体上の多項式方程式系が与えられた場合、それが定義する代数集合の次元を計算するのは難しい場合があります。 ${\displaystyle K}$

システムに関する詳細情報がない場合、実用的な方法は 1 つしかなく、それはグレブナー基底を計算し、方程式によって生成されたイデアルの ヒルベルト級数の分母の次数を推定することです。

2 番目のステップは通常最も高速ですが、次の方法で高速化できます。まず、グレブナー基底がその主要な単項式のリストに置き換えられます (これはヒルベルト級数の計算で既に行われています)。次に、次のような各単項式がその中の変数の積に置き換えられます。すると、次元は変数のサブセットSの最大サイズになり、これらの変数の積のいずれもS内の変数のみに依存しなくなります。 ${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$

このアルゴリズムは、いくつかのコンピュータ代数システムで実装されています。たとえば、 Mapleでは関数Groebner[HilbertDimension] であり、Macaulay2では関数dimです。

実数点の集合（典型的には半代数集合）の実次元は、そのザリスキ閉包の次元である。半代数集合Sの場合、実次元は次の等しい整数のいずれかである: ^[3]

• の実次元はそのザリスキー閉包の次元です。${\displaystyle S}$
• の実数次元は、においての同相写像が存在するような最大の整数です。${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle [0,1]^{d}}$${\displaystyle S}$
• の実次元は、内部が空でない - 次元部分空間上にの射影が存在するような最大の整数です。${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$

実数上で定義された代数集合（実係数を持つ多項式によって定義される）の場合、その実数点の集合の実次元が半代数集合としての次元よりも小さくなることがあります。たとえば、方程式の代数曲面は次元 2 の代数多様体であり、実数点 (0, 0, 0) が 1 つだけあるため、実次元は 0 になります。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

実次元は代数次元よりも計算が難しい。実超曲面（単一の多項式方程式の実解の集合）の場合、その実次元を計算する確率的アルゴリズムが存在する。 ^[4]

• 次元（ベクトル空間）
• 次元理論（代数学）
• スキームの次元