正多角形

正多角形

エッジと頂点	${\displaystyle n}$
シュレーフリ記号	${\displaystyle \{n\}}$
コクセター・ディンキン図
対称グループ	D n、2n次の
デュアルポリゴン	自己双対
面積 （辺の長さ）${\displaystyle s}$	${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
内角	${\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}$
内角の合計	${\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi}}$
内接円直径	${\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
外接円の直径	${\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸

ユークリッド幾何学では、正多角形は、一直線に等角（すべての角度が等しい）かつ正三角形（すべての辺の長さが同じ）である多角形です。正多角形は、凸型、星型、または斜め型のいずれかです。極限では、辺の数が増える正多角形の列は、周囲または面積が固定されている場合は円に近似し、辺の長さが固定されている場合は正多角形（実質的には直線）に近似します。

これらの特性は、凸型であろうと星型であろうと、すべての正多角形に適用されます。

正n辺形の多角形はn次回転対称性を持ちます。

正多角形のすべての頂点は共通の円（外接円）上にあります。つまり、それらは同心円上の点です。つまり、正多角形は円周多角形です。

辺の長さが等しいという性質と合わせて、これはすべての正多角形には、中点ですべての辺に接する内接円または内接円が存在することを意味します。したがって、正多角形は接線多角形です。

正n辺の多角形は、 nの奇数の素因数が異なるフェルマー素数である場合に限り、コンパスと定規で作図できます。作図可能な多角形を参照してください。

正n角形を折り紙で作れるのは、ある に対して の場合のみであり、各 はピアポント素数である。^[1]${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p_{i}}$

n辺の正多角形の対称群は、二面体群D _n (位数 2 n ) です: D ₂、D ₃、D _{4 、... これは、 C n}の回転と、中心を通過するn軸の反射対称性で構成されます。 nが偶数の場合、これらの軸の半分は 2 つの反対の頂点を通過し、残りの半分は反対側の辺の中点を通過します。nが奇数の場合、すべての軸は頂点と反対側の辺の中点を通過します。

すべての正多角形（単純な多角形とは、どこにも交差しない多角形）は凸多角形です。辺の数が同じ多角形も相似多角形です。

n辺の凸正多角形は、シュレーフリ記号 { n } で表されます。n < 3の場合、次の 2 つの退化したケースがあります。

モノゴン{1}

通常の空間では退化します。(ほとんどの専門家は、この理由の他に、以下の公式が機能せず、その構造が抽象的な多角形のものではないことから、モノゴンを真の多角形とは見なしていません。)

二角形{2}; 「二重線分」

通常の空間では退化します。(このため、一部の専門家は二角形を真の多角形とは見なしません。)

特定の状況では、考慮されるすべての多角形が正多角形になります。そのような状況では、接頭辞の「正多角形」を省略するのが通例です。たとえば、均一な多面体のすべての面は正多角形でなければならず、面は単に三角形、正方形、五角形などと記述されます。

正凸n角形の場合、各内角の角度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}$度;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ラジアン; または

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$フルターン、​

そして、各外角（つまり、内角の補角）には度数があり、外角の合計は 360 度、つまり 2π ラジアン、つまり 1 回転に等しくなります。 ${\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}$

n が無限大に近づくと、内角は 180 度に近づきます。10,000 辺を持つ正多角形 (無数角形) の場合、内角は 179.964 度です。辺の数が増えると、内角は 180 度に非常に近づき、多角形の形状は円に近づきます。ただし、多角形が円になることはありません。内角の値が 180 度に等しくなることは決してありません。円周が実質的に直線になるためです (アペイロゴンを参照)。このため、円は辺の数の無限大の多角形ではありません。

n > 2の場合、対角線の数は、三角形、正方形、五角形、六角形などの場合、0、2、5、9、...となります。対角線は、多角形を 1、4、11、24、... 個の部分に分割しますOEIS : A007678。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

単位半径の円に内接する正n角形の場合、特定の頂点から他のすべての頂点（隣接する頂点や対角線で接続された頂点を含む）までの距離の積はnに等しくなります。

円周半径R、平面上の任意の点から頂点までの距離d _{i を}持つ正単純n角形の場合、 ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.}$

平面上の任意の点から正多角形の頂点までの距離の高次の累乗については、 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$、

その後^[3]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$、

そして

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$、

ここで はより小さい正の整数です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

が平面上の任意の点から円周半径 の正多角形の重心までの距離である場合、^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}}$、

ここで= 1, 2, …, . ${\displaystyle m}$${\displaystyle n-1}$

正n角形の場合、任意の内部点からn辺への垂線距離の合計は、n×近似線[ ^{4] : p. 72}（近似線とは中心から任意の辺までの距離）である。これは、n = 3の場合のヴィヴィアーニの定理の一般化である。^{[5] [6]}

正多角形の中心から頂点の一つまでの円周半径 Rは、辺の長さsまたは円周長 aと次の式で関係付けられる。

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

作図可能な多角形の場合、これらの関係を表す代数式が存在します（「双心多角形 § 正多角形」を参照）。

正n角形の頂点から外接円に接する線への垂線の合計は、外接半径のn倍に等しい。 ^{[4] : p. 73}

正n角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離の二乗の合計は2nR2に等しく^、ここでRは外接半径である。^{[4] ：p.73}

正n角形の辺の中点から外接円上の任意の点までの距離の二乗の合計は2 nR ² − ⁠1/4⁠ ns ²、ここでsは辺の長さ、Rは円周半径である。^{[4] ：p. 73}

正多角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離が[ ^3]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（2m角形で、向かい合う辺が平行で長さが等しいもの）は、またはに分割できると述べています。${\displaystyle {\tbinom {m}{2}}}$1/2⁠ m ( m − 1)個の平行四辺形。これらのタイリングは、直交投影m立方体の頂点、辺、面のサブセットとして含まれています。 ^[7] 特に、これは辺の数が偶数である任意の正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。リストOEIS : A006245 には、より小さな多角形の解の数が示されています。

辺がs、円周半径がR 、近似線がa、周長がpである凸正n角形面積Aは^{[8] [9]}で与えられる。

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$

辺s = 1、円周半径R = 1、または近似曲線a = 1の正多角形の場合、次の表が生成されます。^[10]（のとき、のときの面積は のとき、大きくなる傾向があるため${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$。） ${\displaystyle s=1}$${\displaystyle n^{2}/4\pi }$${\displaystyle n}$

与えられた周囲長を持つn角形の中で、面積が最大となるものが正多角形である。^[19]

いくつかの正多角形はコンパスと定規で簡単に作図できますが、まったく作図できない正多角形もあります。古代ギリシャの数学者は、 3、4、または5辺を持つ正多角形の作成方法を知っていました^{[20] : p. xi}また、与えられた正多角形の2倍の辺を持つ正多角形の作成方法も知っていました^{[20] : pp. 49–50}これにより、「コンパスと定規を使用してすべての正n角形を作成することができるか」という疑問が提起されました。不可能な場合、どのn角形が作成可能で、どのn角形が作成できないのでしょうか。

カール・フリードリヒ・ガウスは1796 年に正17 角形の構成可能性を証明しました。5 年後、彼は著書『Disquisitiones Arithmeticae』でガウス周期の理論を展開しました。この理論により、彼は正多角形の構成可能性に関する 十分な条件を定式化できました。

n が2 の累乗と任意の数の異なるフェルマー素数（0 個を含む）の積である場合、コンパスと定規を使用して正n角形を作成できます。

(フェルマー素数はの形式の素数である。) ガウスは証明なしにこの条件も必要であると述べたが、その証明は公表しなかった。必要性の完全な証明は 1837 年にピエール・ワンツェルによって与えられた。その結果はガウス・ワンツェルの定理として知られている。 ${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

同様に、正n角形は、その共通角の余弦が構成可能な数である場合、つまり、四則演算と平方根の抽出で表すことができる場合にのみ構成可能です。

3 次元空間の正斜多角形は、一様な反プリズムの側辺として定義される 2 つの平行平面の間をジグザグに進む非平面パスとして見ることができます。すべての辺と内角は等しいです。

より一般的には、正多角形はn空間で定義できます。例としては、正多面体を2 つに分割するエッジの多角形パスであり、正射影では正多角形として表示されるペトリー多角形があります。

無限の極限では、通常の歪んだ多角形は歪んだアピアロンになります。

正星型多角形

2 < 2q < p、最大公約数(p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
シュレーフリ記号	{p/q}
頂点と辺	p
密度	q
コクセター図
対称グループ	二面角(D p )
デュアルポリゴン	自己双対
内角 （度）	${\displaystyle 180-{\frac {360q}{p}}}$[21]

非凸正多角形は正星型多角形です。最も一般的な例は五芒星で、五角形と同じ頂点を持ちますが、交互の頂点を接続します。

n辺の星型多角形の場合、Schläfli 記号は、{ n / m }のように、多角形の密度または「星型度」m を示すように変更されます。たとえば、mが 2 の場合、2 点ごとに結合されます。mが3 の場合、3 点ごとに結合されます。多角形の境界は、中心の周りをm回曲がります。

最大 12 辺の (非縮退の) 正則星は次のとおりです。

• 五芒星– {5/2}
• 七芒星– {7/2} と {7/3}
• 八芒星– {8/3}
• エニアグラム– {9/2} と {9/4}
• デカグラム– {10/3}
• 十卦– {11/2}、{11/3}、{11/4}、{11/5}
• 十二星座– {12/5}

mとn は互いに素でなければなりません。そうでない場合、図形は退化します。

最大 12 面の縮退した正則星は次のとおりです。

• テトラゴン – {4/2}
• 六角形 – {6/2}、{6/3}
• 八角形 – {8/2}、{8/4}
• エニアゴン – {9/3}
• 十角形 – {10/2}、{10/4}、{10/5}
• 十二角形 – {12/2}、{12/3}、{12/4}、{12/6}

シュレーフリ記号の正確な導出に応じて、退化した図形の性質に関する意見は異なります。たとえば、{6/2} は次の 2 つの方法のいずれかで扱われます。

• 20世紀のほとんどの間（例えばCoxeter（1948）を参照）、/2は凸包{6}の各頂点を2ステップ離れた近傍の頂点と結合して、2つの三角形の正則な合成、つまり六芒星を得ることを意味すると一般的に考えられてきました。
  コクセターは、この正則な複合語{p/k}を{kp}[k{p}]{kp}と表記することで明確にしており、この六芒星は{6}[2{3}]{6}と表される。^[23]コクセターは、より簡潔に、六芒星を正多角形の交互の複合語として2 {3}のように2 {n/2}と書き、一致する解釈と区別するために先頭の因数を斜体で表記している。^[24]
• グリュンバウム (2003) などの現代の幾何学者の多くは、^[22]これを誤りとみなしている。彼らは /2 を、各ステップで {6} の周りを 2 つ移動することを示すものと解釈し、各コーナー ポイントに 2 つの頂点が重なり、各線分に 2 つの辺がある「二重巻き」三角形を得る。これは、抽象多面体の現代の理論とよりよく適合するだけでなく、ポアンソ (1809) が星型多角形を作成した方法、つまり 1 本の針金を同じ角度で連続する点で曲げて図形が閉じるまで曲げる方法をより正確にコピーしている。

すべての正多角形は合同性と自己双対であり、n が奇数の場合は単位元性と自己双対です。

さらに、正多角形から構成される正星形（複合図形）も自己双対です。

一様多面体は面として正多角形を持ち、2 つの頂点ごとに、一方を他方にマッピングする等長変換が存在します(正多角形の場合と同じです)。

準正多面体は、各頂点の周りに 2 種類の面が交互に並ぶ均一な多面体です。

正多面体は、 1種類の面だけを持つ均一な多面体です。

残りの（不均一な）正多面体と正多面体はジョンソン立体として知られています。

正三角形を面として持つ多面体は三角面体と呼ばれます。

• 凸正多角形によるユークリッドタイル張り
• プラトン立体
• 正多面体と複合物の一覧
• 正多角形
• カーライルサークル

• Lee, Hwa Young、「折り紙で作れる数字」。
• Coxeter, HSM (1948)。正多面体。Methuen and Co.
• Grünbaum, B.; あなたの多面体は私の多面体と同じですか?、Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift、Ed. Aronov et al.、Springer (2003)、pp. 461–488。
• ポインソ、L. ;ポリゴンとポリエードルに関するメモワール。J. de l'École Polytechnique 9 (1810)、16–48 ページ。

• Weisstein、Eric W.「正多角形」。MathWorld。
• 正多角形の説明 インタラクティブアニメーション付き
• 正多角形の内接円 インタラクティブアニメーション付き
• 正多角形の面積 インタラクティブなアニメーション付きの3つの異なる公式
• コンバージェンスにおけるルネサンス芸術家による正多角形の構築