共線法

射影幾何学において、共線化とは、ある射影空間から別の射影空間、または射影空間からそれ自身への一対一かつ全射な写像（全単射）であり、共線上の点の像自体が共線的であるようなものである。したがって、共線化は射影空間間の同型、または射影空間からそれ自身への自己同型である。共線化の定義を自己同型の場合に限定する著者もいる。^[1]ある空間からそれ自身へのすべての共線化の集合は、共線化群と呼ばれる群を形成する。

簡単に言えば、共線化とは、ある射影空間から別の射影空間への、または射影空間からそれ自身への 1 対 1 の写像であり、共線上の点の像はそれ自体共線上にあります。これは、射影空間を表現するさまざまな方法を使用して形式化できます。また、射影直線の場合は特殊であるため、通常は異なる方法で扱われます。

線型代数で定義された射影空間（ベクトル空間の射影化として）の場合、共線化は部分空間の包含に関して順序を保存する射影空間間の写像です。

形式的には、V を体 K上のベクトル空間、W を体L上のベクトル空間とします。 VとWのベクトル直線からなる射影空間PG ( V ) とPG ( W ) を考えます。D ( V ) とD ( W ) をそれぞれVとWの部分空間の集合と呼びます。 PG ( V ) からPG ( W )への共線写像は、次の式を満たす α: D ( V ) → D ( W ) です。

• αは全単射です。
• A ⊆ B ≡ α( A ) ⊆ α( B ) であり、すべてのA、B はD ( V )に属する。^[2]

射影空間が接続構造（点の集合P、直線L、およびどの点がどの直線上にあるかを指定する接続関係 I 、特定の公理を満たす）によって公理的に定義されると、このように定義された射影空間間の共線関係は、接続関係を保存する点の集合間の全単射関数fと直線の集合間の全単射関数gになります。 ^[3]

3 次元以上のすべての射影空間は、分割環上の線型空間の射影化と同型であるため、これらの次元ではこの定義は上記の線型代数の定義よりも一般的ではありませんが、2 次元では他の射影平面、つまり非デザルグ平面があり、この定義により、そのような射影平面での共線化を定義できます。

次元 1 の場合、単一の射影直線上にある点の集合は射影空間を定義し、結果として得られる共線化の概念はその集合の任意の一対一になります。

1 次元の射影空間 (射影直線、2次元のベクトル空間の射影化) では、すべての点が共線的であるため、共線群は射影直線の点の対称群とまったく同じになります。これは高次元での挙動とは異なり、射影幾何学の基本定理が成り立つように指定された、より制限的な定義が与えられます。

この定義では、V が2次元の場合、PG ( V )からPG ( W ) への共線写像は、α  : D ( V ) → D ( W )となり、次のようになります。

• Vのゼロ部分空間はWのゼロ部分空間にマッピングされます。
• V はWにマッピングされます。
• VからWへの非特異半線型写像 βが存在し、 V内の任意のvに対して、$${\displaystyle \alpha (\langle v\rangle )=\langle \beta (v)\rangle }$$

この最後の要件により、共線写像がすべて半線形写像であることが保証されます。

共線変換の主な例としては、射影線型変換（ホモグラフィとも呼ばれる）と保型共線変換があります。 線型空間から派生した射影空間の場合、射影幾何学の基本定理によれば、すべての共線変換は以下に示すようにこれらの組み合わせになります。

射影線型変換（ホモグラフィ）は共線変換（ベクトル空間の平面は関連する射影空間の線に対応し、線型変換は平面を平面に写像し、射影線型変換は線を線に写像する）ですが、一般にすべての共線変換が射影線型変換であるわけではありません。射影線型変換群（PGL）は一般に共線群の 適切な部分群です。

アン自己同型共線写像は、座標において、座標に 体自己同型を写像です

パピアン射影空間の幾何学的次元が少なくとも 2 である場合、すべての共線化はホモグラフィ (射影線型変換) と保型共線化の積になります。より正確には、共線化群は射影半線型群であり、ホモグラフィと保型共線化の 半直積です。

特に、実射影平面 PG(2, R )の共線写像は、R が非自明な自己同型を持たないため、まさにホモグラフィです (自己同型#例および実数の脚注dを参照)。

φ がVからWへの非特異半線型写像で、 Vの次元が少なくとも3であるとします。 α : D ( V ) → D ( W ) を、 D ( V ) 内のすべての Z に対して Z α = { φ ( z ) : z ∈ Z } と定義します。φ は半線型なので、この写像が適切に定義されている^ことは簡単に確認できます。さらに、 φは特異でないので、全単射です。これでα が共線写像であることは明らかです。 α はφによって誘導されると言います。

射影幾何学の基本定理は逆のことを述べています。

Vが少なくとも 3 次元の体K上のベクトル空間であり、 W が体L上のベクトル空間であり、α がPG( V ) から PG( W ) への共線写像であるとします。これは、KとLが同型体であり、VとW が同じ次元を持ち、 φ がα を誘導するような半線型写像φが存在することを意味します。

n ≥ 3の場合、共線群は射影半線型群PΓL です。これは PGL を体の自己同型によってねじったものです。正式には、半直積 PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k )です。ここで、k はKの素体です。

したがって、K が素体 (または) の場合、PGL = PΓLとなりますが、K が素体でない場合 ( n ≥ 2の場合のまたは など)、射影線型群は一般に共線群の適切な部分群であり、「射影半線型構造を保存する変換」と考えることができます。これに対応して、商群PΓL / PGL ≅ Gal( K / k )は「線型構造の選択」に対応し、恒等式 (基点) は既存の線型構造です。線型空間の射影化としての同一性のない射影空間が与えられた場合、共線群と PΓL の間に自然な同型性はなく、線型構造の選択 (線型空間の射影化としての実現) は部分群PGL < PΓLの選択に対応し、これらの選択はGal( K / k ) 上のトルサーを形成します。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$

直線の概念は、共線性（単一の直線上にある点）によって決定される三元関係に抽象化されました。ヴィルヘルム・ブラシュケ^[4]によると、この幾何学的変換の本質を最初に抽象化したのは アウグスト・メビウスでした。

我々の幾何学的変換は今や何を意味するのだろうか？ メビウスは、すでに彼の著書『重心微積分』 （1827年）の中でこの問題を提起し、それに答えている。そこで彼は、変換ではなく順列[Verwandtschaften] について語り、ある領域から抽出された2つの要素は、任意の方程式によって入れ替えられると、入れ替わると述べた。我々の特定のケース、すなわち同次点座標間の線型方程式において、メビウスは、特に両方の点空間の順列 [Verwandtschaften] を共線化と呼んだ。この意味は、後にシャスルによってホモグラフィに変更された。メビウスの表現は、点が同じ線上にあるときに共線的であると言うメビウスに従えば、直ちに理解される。メビウスの指定は、共線上の点は順列によって共線上の点にマッピングされる、または平易に言えば、直線は直線のままである、と表現できる。

現代の数学者は、幾何学を、接続を保存する基礎空間のマッピングで構成される自己同型群を持つ接続構造と見なしています。このようなマッピングは接続構造の線を並べ替え、共線化の概念が存続します。

Blaschke と Klein が述べたように、Michel Chasles は共線化よりもホモグラフィ という用語を好んでいました。これらの用語の区別は、実射影平面と複素射影直線の区別が明確になったときに生じました。実数体には非自明な体自己同型が存在しないため、すべての共線化は実射影平面におけるホモグラフィです。^{[5]しかし、}複素共役 の体自己同型のため、複素射影直線のすべての共線化がホモグラフィであるわけではありません。基礎となる体が実数体であるコンピューター ビジョンなどのアプリケーションでは、ホモグラフィと共線化は同じ意味で使用できます。

複素平面上で複素共役をとる操作は、実数直線上での鏡映変換に相当する。zの共役をz ^∗と表記すると、逆ホモグラフィは次のように表される。

${\displaystyle f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.}$

したがって、反ホモグラフィはホモグラフィとの共役の合成であり、ホモグラフィではない共線化の例です。たとえば、幾何学的には、マッピングは円反転に相当します。^[6]平面の逆幾何学の変換は、複素平面のすべてのホモグラフィと反ホモグラフィの集合として頻繁に説明されます。^[7]${\displaystyle f(z)=1/z^{*}}$

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• PlanetMathの投影性。