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数学において、変換幾何学（または変形幾何学）とは、幾何学的変換群と、それらの変換の下で不変となる性質に焦点を当てることで幾何学を研究する、数学的かつ教育的なアプローチのことである。これは、定理の証明に焦点を当てるユークリッド幾何学の古典的な総合幾何学的アプローチとは対照的である。
例えば、変換幾何学では、二等辺三角形の性質は、ある直線に関する鏡映によって自身に写像されるという事実から導き出されます。これは、三角形の合同条件による古典的な証明とは対照的です。[ 1 ]
幾何学の基礎として変換を用いる最初の体系的な試みは、19 世紀にフェリックス・クラインによってエアランゲン計画という名で行われた。ほぼ 1 世紀にわたり、このアプローチは数学研究サークル内に留まっていた。20 世紀には、これを数学教育に活用する試みがなされた。 アンドレイ・コルモゴロフは、このアプローチを（集合論とともに）ロシアの幾何学教育改革案の一部として取り入れた。[ 2 ] これらの取り組みは、1960 年代に新数学運動として知られる数学教育の全面的な改革で頂点に達した。
変換幾何学の探求は、日常生活で見られる鏡映対称性の研究から始まることが多い。最初の実際の変換は、直線に関する鏡映、または軸に関する鏡映である。2つの鏡映の合成は、直線が交差する場合は回転を、平行な場合は平行移動をもたらす。このように、変換を通して、学生はユークリッド平面の等長性について学ぶ。例えば、垂直線と水平面に対して45°傾いた直線に関する鏡映を考えてみよう。一方の合成では反時計回りの90°回転が得られるのに対し、逆の合成では時計回りの90°回転が得られることがわかる。このような結果は、変換幾何学には非可換なプロセスが含まれることを示している。
直線に関する反射の興味深い応用例として、あらゆる三角形に存在する面積が7分の1の三角形の証明が挙げられる。
幼い生徒に紹介されるもう一つの変換は拡大縮小である。しかし、円に関する鏡映変換は低学年には不適切と思われる。そのため、小学校の変換幾何学よりも高度な内容である反転幾何学は、通常は大学生向けに扱われる。
具体的な対称群を用いた実験は、抽象的な群論への道を開く。その他の具体的な活動では、複素数、超複素数、または行列を用いた計算によって変換幾何学を表現する。このような変換幾何学の授業は、古典的な総合幾何学とは対照的な別の視点を提供する。その後、学生が解析幾何学に触れると、座標回転と鏡映の概念は容易に理解できる。これらの概念はすべて、鏡映の概念が拡張される線形代数への準備となる。
教育者たちは、幼稚園から高校までの子供たちの変換幾何学に関するプロジェクトや経験に関心を示し、説明してきました。非常に幼い子供たちの場合、新しい用語を導入することを避け、具体的な物体を使った生徒の日常的な経験と関連付けるために、線反射を「反転」、平行移動を「スライド」、回転を「回転」など、子供たちが慣れ親しんでいる言葉を使うことが推奨されることもありましたが、これらは厳密な数学用語ではありません。いくつかの提案では、生徒はまず具体的な物体を使って操作を行い、その後、図形の各点のマッピングの定義を通して抽象的な変換を行います。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
ロシアの幾何学のカリキュラムを再構築しようとしたコルモゴロフは、変換の観点から幾何学を提示することを提案し、幾何学のカリキュラムは集合論に基づいて構成された。これにより、以前は「等しい」と呼ばれていた図形に対して、「合同」という用語が学校で使われるようになった。図形は点の集合と見なされていたため、それ自身としか等しくならず、等長変換によって重ね合わせることができる2つの三角形は合同であると言われていた。[ 2 ]
ある著者は、群論が変換幾何学にとって重要であることを次のように述べている。