プラトン立体

多面体の要素は構成行列で表すことができます。行と列は頂点、辺、面に対応します。対角線上の数値は、多面体全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角線上の数値は、列の要素が行の要素内またはその位置に存在する数を示します。多面体の双対ペアは、構成行列が互いに180度回転しています。^{[ 8 ]}

以下の幾何学的議論は、ユークリッドが『原論』で述べた議論と非常によく似ている。

立体に関する組み合わせ情報のみを用いて、純粋に位相幾何学的な証明を行うことができる。鍵となるのは、オイラーの観察であるV  − E + F = 2と、 pF = 2 E = qVという事実である。ここで、p は各面の辺の数、q は各頂点で交わる辺の数を表す。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる。         

$$\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$$

簡単な代数操作により、

$${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$$

Eは厳密に正であるため、

$$\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$$

pとqは両方とも少なくとも3でなければならないという事実を用いると、{ p , q }には5つの可能性しかないことが容易にわかる。 

プラトン立体にはそれぞれ複数の角度が関連付けられています。二面角とは、任意の2つの面間の内角のことです。立体{ p , q }の二面角θは、次の式で与えられます。

$${\displaystyle \sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$$

これは、接線を用いて次のように表現するとより便利になる場合がある。

$${\displaystyle \tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.}$$

量h（コクセター数と呼ばれる）は、正四面体、正立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体に対してそれぞれ 4、6、6、10、10 である。

多面体の頂点における角度の欠損は、その頂点における面角の合計と 2π の差である。プラトン立体 { p , q }の任意の頂点における欠損δは、

$${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$$

デカルトの定理によれば、これは 4π を頂点の数で割った値に等しい（つまり、すべての頂点における欠陥の合計は 4π である）。

平面角の三次元版は立体角である。プラトン立体の頂点における立体角Ωは、二面角を用いて次のように表される。

$${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$$

これは、球面多角形の球面超過公式と、多面体 { p , q } の頂点図形が正q角形であるという事実から導かれる。

正多面体の中心から面がなす立体角は、完全な球の立体角（4πステラジアン）を面の数で割った値に等しい。これは、その双対の角度欠損に等しい。

プラトン立体に関連するさまざまな角度を以下の表に示します。立体角の数値はステラジアンで表されます。定数φ = ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠は黄金比です。

規則性のもう一つの利点は、プラトン立体はすべて3つの同心円状の球体を持っていることである。

• すべての頂点を通る外接球、
• 各辺の中点で各辺に接する中心球、そして
• 各面の中心で各面に接する内接球。

これらの球の半径は、外接半径、内接半径、内接半径と呼ばれます。これらは、多面体の中心からそれぞれ頂点、辺の中点、面の中心までの距離です。辺の長さがaの立体 { p , q }の外接半径Rと内接半径rは、次のように与えられます。 

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、θは二面角である。中位半径ρは次式で与えられる。

$$\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$$

ここで、hは二面角の定義で上記で使用した量です ( h = 4、6、6、10、または 10)。外接半径と内接半径の比はpとqに関して対称です。

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$$

プラトン立体 { p , q } の表面積Aは、正p角形の面積に面の数Fを掛けることで簡単に計算できます。これは次のようになります。 

$${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$$

体積は、底面が正p角形で高さが内半径rであるピラミッドの体積にFを掛けたものとして計算されます。つまり、

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$$

以下の表は、プラトン立体のさまざまな半径と、それらの表面積および体積を示しています。全体のサイズは、辺の長さaを 2 に等しくすることで固定されています。

上記の定数φとξは次のように与えられる。

$${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$$

プラトン立体の中で、正十二面体または正二十面体は、球に最も近い形状とみなすことができます。正二十面体は面の数と二面角が最も大きく、内接球に最も密着しており、表面積と体積の比率が同じ大きさの球（つまり、表面積または体積が同じ球）に最も近い形状です。一方、正十二面体は角の欠陥が最も小さく、頂角が最も大きく、外接球を最もよく満たしています。

プラトン立体の周囲半径Rの空間内の任意の点について、プラトン立体の重心およびn 個の頂点までの距離がそれぞれLおよびd _iであり、

$${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$$、

^[ 9 ^]​

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$$ 5つのプラトン立体すべてについて、次のようになります^{[ 9 ]}

$${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$$

d _{i が}プラトン立体のn個の頂点からその外接球上の任意の点までの距離である場合、 ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$$

多面体P は、 Pと同じかそれ以上の大きさで同じ形状の多面体がPの穴を通過できる場合、ルパート特性を持つと言われます。^{[ 10 ]} 5 つのプラトン立体はすべてこの特性を持っています。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

二重化合物

すべての多面体には、面と頂点が入れ替わった双対（または「極」）多面体 が存在する。すべてのプラトン立体の双対は別のプラトン立体であるため、5つの立体を双対のペアに分類することができる。

• この正四面体は自己双対である（つまり、その双対は別の正四面体である）。
• 立方体と正八面体は双対関係にある。
• 正十二面体と正二十面体は双対関係にある。

多面体のシュレーフリ記号が{ p , q }であれば、その双対多面体の記号は{ q , p }となる。実際、あるプラトン立体のあらゆる組み合わせ的性質は、その双対多面体の別の組み合わせ的性質として解釈することができる。  

双対多面体は、元の図形の面の中心を双対多面体の頂点とすることで構成できる。元の図形の隣接する面の中心を結ぶことで双対多面体の辺が形成され、辺の数は維持されたまま、面と頂点の数が入れ替わる。

より一般的には、プラトン立体を、その立体と同心円状の半径dの球に関して双対化することができる。立体の半径 ( R、ρ、r ) とその双対 ( R *、ρ *、r * ) の半径は、次の関係式で表される。    

$${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$$

中心球 ( d  = ρ )に関して双対化することは、中心球が両方の多面体に対して同じ関係を持つため、しばしば便利です。d 2 = Rr とすると、同じ外接半径と内接半径 (つまりR * = Rおよびr * = r )^を持つ双対立体が得られます。       

数学において、対称性の概念は数学群の概念を用いて研究されます。すべての多面体には、関連する対称群が存在します。対称群とは、多面体を不変に保つすべての変換（ユークリッド等長変換）の集合です。対称群の位数は、多面体の対称性の数です。対称群は、鏡映を含む完全な対称群と、回転のみを含む真の対称群とに区別されることがよくあります。

プラトン立体の対称群は、多面体群として知られる特殊なクラスの3次元点群です。プラトン立体の高い対称性は、さまざまな方法で解釈できます。最も重要なのは、各立体の頂点は、対称群の作用の下ですべて等価であり、辺や面も同様であるということです。つまり、対称群の作用は頂点、辺、面に対して推移的であると言えます。実際、これは多面体の正則性を定義する別の方法でもあります。多面体は、頂点が一様で、辺が一様で、面が一様である場合に限り、正則です。

プラトン立体には、5つではなく3つの対称群しか存在しません。これは、どの多面体の対称群もその双対多面体の対称群と一致するためです。双対多面体の構成を調べれば、これは容易に理解できます。元の多面体の対称性は必ず双対多面体の対称性であり、その逆もまた然りです。3つの多面体群は以下のとおりです。

• 四面体群T、
• 八面体群O（これは立方体の対称群でもある）と
• 正二十面体群I（正十二面体の対称群でもある）。

固有（回転）群の位数はそれぞれ 12、24、60 であり、それぞれの多面体の辺の数のちょうど 2 倍です。完全対称群の位数はさらにその 2 倍（24、48、120）です。これらの事実の導出については、（Coxeter 1973）を参照してください。正四面体を除くすべてのプラトン立体は中心対称であり、原点を通る鏡映によって保存されます。

以下の表は、プラトン立体のさまざまな対称性を示しています。記載されている対称群は完全な群であり、括弧内に回転部分群が示されています（対称性の数についても同様です）。ウィトフの万華鏡構成法は、多面体をその対称群から直接構成する方法です。参考のために、各プラトン立体のウィトフ記号を記載しています。

液晶と呼ばれる中間物質相については、このような対称性の存在が1981年にH. KleinertとK. Makiによって初めて提唱された。^{[ 15 ] [ 16 ]}アルミニウムでは、その3年後にDan Shechtman によって正二十面体構造が発見され、2011年にノーベル化学賞を受賞した。

建築家たちは、物質世界の事物の中に魂が見ることができるプラトンの時代を超越した形態の考え方を気に入ったが、それらの形状を建築に適した球体、円柱、円錐、四角錐に変えた。^{[ 17 ]}特に、新古典主義の指導者の一人であるエティエンヌ＝ルイ・ブーレーは、建築家版の「プラトン立体」に心を奪われていた。^{[ 18 ]}

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  アムステルダムにあるスピノザ記念碑の一部である正二十面体
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  ディスカバリーキューブ・オレンジカウンティのソーラーキューブ
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  オーストリアで建設中の正八面体
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  ボトロップの正四面体
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  ブダペストの正十二面体

凸面ではない正多面体は4種類存在し、これらはケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれている。これらはすべて正二十面体対称性を持ち、正十二面体と正二十面体の星型化によって得られる。

プラトン立体に次ぐ最も規則的な凸多面体は、立方体と正八面体の整列である立方八面体と、正十二面体と正二十面体の整列である正二十十二面体です（自己双対正四面体の整列は正八面体です）。これらはどちらも準正則であり、頂点と辺が均一で面が正則ですが、面はすべて合同ではありません（2つの異なるクラスがあります）。これらは、多面体対称性を持つ凸均一多面体である13個のアルキメデス立体のうちの2つを形成します。それらの双対である菱形十二面体と菱形三十面体は、辺と面が推移的ですが、面は正則ではなく、頂点はそれぞれ2種類あります。これらは13種類のカタロニア立体のうちの2つである。

一様多面体は、多面体のより広範なクラスを形成します。これらの図形は頂点が一様であり、面として1種類以上の正多角形または星型多角形を持ちます。これには、上述のすべての多面体に加え、無限個の角柱、無限個の反角柱、およびその他の53種類の非凸形状が含まれます。

ジョンソン立体は、正多面体でありながら均一ではない凸多面体である。その中には、正三角形の正多面体（すべて同じ正多面体）でありながら均一ではない8つの凸デルタ面のうち5つが含まれる。（残りの3つの凸デルタ面は、プラトン立体の正四面体、正八面体、正二十面体である。）

平面の3 つの正則テセレーションは、プラトン立体と密接に関連しています。実際、プラトン立体は球面の正則テセレーションと見なすことができます。これは、各立体を同心円状の球面に投影することによって行われます。面は、球面を完全に覆う正多角形に投影されます。球面タイリングは、 2 つの極に 2 つの頂点を持ち、三日月形の面を持つホソヘドラ{2, n } と、2 つの半球形の面を持ち、赤道上に等間隔に配置された頂点を持つ双対二面体{ n ,2} という、2 つの無限の追加正則タイリングのセットを提供します。このようなテセレーションは、真の 3 次元空間では多面体として退化します。

球面上のすべての正則テセレーションは、1/p + 1 / q > 1/2を満たす整数の組{ p , q }によって特徴付けられます。同様に、平面上の正則テセレーションは、1 / p + 1 / q = 1/2という条件によって特徴付けられます。可能性は3つあります。         

同様に、双曲平面の正則なテセレーションを考えることができる。これらは、条件 1/p + 1 / q < 1/2によって特徴付けられる。このようなテセレーションは無限に存在する。    

3次元を超える次元では、多面体は多面体へと一般化され、高次元の凸正多面体は3次元のプラトン立体に相当する。

19世紀半ば、スイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリは、プラトン立体の4次元版である凸正4多面体を発見した。これらの図形は正確に6種類あり、そのうち5種類はプラトン立体に類似している 。5セルは{3,3,3}、16セルは{3,3,4}、600セルは{3,3,5}、テセラクトは{4,3,3}、120セルは{5,3,3}であり、6つ目は自己双対の24セル{3,4,3}である。

4 次元を超えるすべての次元において、凸正多面体は 3 つしかありません。単体は {3,3,...,3}、超立方体は {4,3,...,3}、交差多面体は {3,3,...,4} です。^{[ 19 ]} 3 次元では、これらは正四面体 {3,3}、立方体 {4,3}、正八面体 {3,4} と一致します。