整数三角形

整数三角形または積分三角形は、すべての辺の長さが整数である三角形です。有理三角形は、辺の長さが有理数である三角形です。任意の有理三角形は、各辺の最小公分母で再スケールして同様の整数三角形を得ることができるため、整数三角形と有理三角形の間には密接な関係があります。

有理三角形という用語には、他の定義が使われることもあります。カーマイケル (1914) とディクソン (1920) は、この用語をヘロン三角形(辺の長さと面積が整数または有理数である三角形)の意味で使用しています。 ^{[1]コンウェイとガイ (1996) は、有理三角形を、有理数辺と度で測った有理数}角を持つ三角形と定義しています。そのような三角形は、有理数辺を持つ正三角形のみです。^[2]

正の整数の任意の３つ組は、三角不等式（最長の辺が他の２辺の合計よりも短い）を満たす限り、整数三角形の辺の長さとして使用できます。このような３つ組はそれぞれ、合同を除いて一意の整数三角形を定義します。したがって、 周囲がpである整数三角形の（合同 を除く）数は、三角不等式を満たす 3 つの正の部分にpを分割した数です。これは、 pが偶数のときに に最も近い整数で、pが奇数のときに に最も近い整数です。^{[3] [4]}これはまた、偶数の周囲を持つ整数三角形の数が奇数の周囲を持つ整数三角形の数と同じであることを意味します 。したがって、周囲が 1、2、または 4 の整数三角形は存在せず、周囲が 3、5、6、または 8 の整数三角形が 1 つ存在し、周囲が 7 または 10 の整数三角形が 2 つ存在します。から始まる、周囲がpである整数三角形の数のシーケンスは次のとおりです。 ${\displaystyle p^{2}/48}$${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$${\displaystyle p=2n}$${\displaystyle p=2n-3.}$${\displaystyle p=1,}$

0、0、1、0、1、1、2、1、3、2、4、3、5、4、7、5、8、7、10、8 ... ( OEISのシーケンスA005044 )

これをアルクイン配列といいます。

与えられた最大辺cと整数三角数を持つ整数三角形の個数（合同を除く）は、かつ となる整数三角数の数である。これは整数値^[3]である。あるいは、cが偶数の場合は二倍三角数であり、cが奇数の場合は二乗である。これはまた、最大辺cを持つ整数三角形の個数が、最大辺c − 2を持つ整数三角形の数をcだけ上回ることを意味する。 c = 1から始まる、最大辺c を持つ非合同な整数三角形の数のシーケンスは次 のようになる。 ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a+b>c}$${\displaystyle a\leq b\leq c.}$${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90 ...（OEISのシーケンスA002620）

直径cの半円上またはその内部にある、最大辺cと整数の組み合わせ ( a、  b、  c ) を持つ整数三角形 ( 合同 を除く )の数は、a  +  b  >  c  、  a ²  +  b ²  ≤  c ²、およびa  ≤  b  ≤  cとなる整数の組み合わせの数です。 これは、最大辺cを持つ整数辺の鈍角三角形または直角(鋭角でない) 三角形の数でもあります。 c = 1から始まる数列は次の とおりです。

0、0、1、1、3、4、5、7、10、13、15、17、22、25、30、33、38、42、48 ...（OEISの配列A236384）

したがって、上記の 2 つのシーケンスの差は、指定された最大辺cを持つ鋭角整数辺三角形の数 (合同まで) を示します。 c = 1から始まるシーケンスは次の とおりです。

1、2、3、5、6、8、11、13、15、17、21、25、27、31、34、39、43、48、52 ...（OEISの配列A247588）

ヘロンの公式によれば、Tが長さa、b、cの辺を持つ三角形の面積である場合、

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

式の右側の根号の下の項はすべて整数なので、すべての整数三角形は16T ^{2 を}整数として持ち、T ^{2 は}有理数になります。

余弦定理により、整数三角形のすべての角度には有理余弦が存在します。整数直角三角形のすべての角度には有理正弦も存在します(ピタゴラスの三つ組を参照)。

どの三角形の角度も等差数列を形成する場合、その角度の 1 つは 60° でなければなりません。^[5]整数三角形の場合、残りの角度も有理数余弦を持つ必要があり、そのような三角形を生成する方法は以下で示されます。ただし、正三角形の単純なケースを除けば、角度が等比数列または調和数列のいずれかを形成する整数三角形は存在しません。これは、そのような角度が有理数 の形式の有理数角でなければならないためです。ただし、整数三角形のすべての角度は有理数余弦を持つ必要があり、これは^{[6] : p.2}、つまり整数三角形が正三角形である場合にのみ発生します。 ${\displaystyle \pi p/q}$${\displaystyle 0<p/q<1.}$${\displaystyle p/q=1/3.}$

整数三角形の各内角の二等分線の平方は有理数です。これは、角Aの内角の二等分線の一般的な三角形の公式が、s が半周長である(他の角の二等分線についても同様) ためです。 ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(sa)}}{\big /}(b+c)}$

頂点から反対側の辺またはその延長線上に落とされた 高さは、その辺またはその延長線を有理数の長さに分割します。

整数三角形の任意の中線の 2 倍の 2 乗は整数です。これは、辺aの中線m _a ²の 2 乗の一般式が であり、(2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ²となるためです(他の辺の中線についても同様です)。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

整数三角形の面積の二乗は有理数なので、その外接半径の二乗も有理数であり、内接半径の二乗も有理数です。

整数三角形の内接円の半径と外接円の半径の比は有理数であり、半周sと面積Tは等しくなります。 ${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

整数三角形の内接円半径と外接円半径の積は有理数であり、${\displaystyle abc{\big }}2(a+b+c).}$

したがって、オイラーの定理によって与えられる整数三角形の内心と外心の間の距離の二乗は有理数です 。${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

ヘロン三角形は、ヘロン三角形またはヒーロー三角形とも呼ばれ、辺の長さと面積が整数の三角形です。

すべてのヘロン三角形は、各頂点が格子点にある格子上に配置できます。 ^[7]さらに、整数三角形が各頂点が格子点にある格子上に配置できる場合、それはヘロン三角形でなければなりません。

ヘロンの三角形の辺の長さは^{[8]に比例する。}

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{半周}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{面積}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

整数m、n、kに対して、次の制約が適用されます。

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

比例係数は一般に有理数で、q = gcd ( a、b、c ) は生成されたヘロン三角形をそのプリミティブに縮小し、このプリミティブを必要なサイズに拡大します。 ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p}$

ピタゴラス三角形は直角でヘロン三角形である。その3つの整数辺はピタゴラス三辺、ピタゴラス三重項、ピタゴラス三角錐として知られている。^[9]斜辺が原始的（共通因数を持たない辺）な すべてのピタゴラス三辺は、次のように生成できる。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{半周}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{面積}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

ここで、mとn は互いに素な整数であり、そのうちの 1 つは偶数で、m  >  nです。

2より大きいすべての偶数はピタゴラス三角形の脚になることができます（必ずしも原始的ではありません）。なぜなら、脚が で与えられ、もう一方の脚として を選択した場合、斜辺は だからです。^[10]これは本質的に、を1に設定し、の範囲を2から無限大に 設定した上記の生成式です。${\displaystyle a=2m}$${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$${\displaystyle c=m^{2}+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

斜辺からの高さが整数である原始ピタゴラス三角形は存在しません。これは、面積の 2 倍が、対応する高さの任意の底辺の積に等しいためです。したがって、面積の 2 倍はabとcd の両方に等しくなります。ここで、d は斜辺cからの高さです。原始三角形の 3 辺の長さは互いに素であるため、は完全に簡約された形式になります。どの原始ピタゴラス三角形でもc は1 に等しくないため、 d は整数にはなれません。 ${\displaystyle d=ab/c}$

しかし、 x、  yの辺と斜辺zを持つ任意のピタゴラス三角形は、斜辺zの長さだけ辺を拡大することで、高さが整数のピタゴラス三角形を生成できる。高さをdとすると、生成される高さが整数のピタゴラス三角形は^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

その結果、a ²  +  b ²  = c ²とを必ず満たし、辺がaとb、斜辺がc、斜辺からの高さが整数dであるピタゴラス三角形はすべて、 ^{[12] [11]}によって生成される。${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{半周}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{面積}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

互いに素な整数m、n（m  >  n ）の場合。

整数辺と整数面積を持つ三角形の辺が等差数列となるのは、 ^[13]辺が ( b – d , b , b + d ) である場合のみであり、

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

ここで gは最大公約数であり、${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

B = 2 Aのヘロン三角形はすべて^[14]によって生成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{面積}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

整数k、s、r が以下の式を満たすか、 ${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{面積}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

整数q、u、vであって、${\displaystyle v>u}$${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

B = 2 Aのヘロン三角形は、二等辺三角形や直角三角形ではありません。これは、結果として生じるすべての角度の組み合わせで非有理正弦を持つ角度が生成され、面積や辺が非有理になるためです。

すべての二等辺ヘロン三角形は分解可能である。それらは、2つの合同なピタゴラス三角形をそれらの共通辺のいずれかに沿って結合することによって形成され、二等辺三角形の等しい辺はピタゴラス三角形の斜辺であり、二等辺三角形の底辺は他のピタゴラスの辺の2倍である。したがって、どのピタゴラス三角形も、結合がどちらの辺に沿ってもよいため、2つの二等辺ヘロン三角形の構成要素となる。すべての二等辺ヘロン三角形のペアは、^{[15]の有理倍で与えられる。}

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

そして

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

互いに素な整数uとvについて、u > vかつu + v が奇数。

周囲が素数の 4 倍であるヘロン三角形は、その素数と一意に関連付けられ、その素数はと合同または を法として成り立つことが示されている。^{[16] [17]}このような素数は、一意に整数に分割でき、となることはよく知られている(オイラーのイドニア数を参照)。さらに、そのようなヘロン三角形は、三角形の最小の辺がその周囲の 4 分の 1 である素数に等しくなければならないため、原始的であることがわかっている。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

その結果、周囲が素数の4倍であるすべての原始ヘロン三角形は、次のように生成できる。

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

が素数であるような整数の場合。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

さらに、面積の因数分解はであり、 は素数です。しかし、ヘロンの三角形の面積は常に で割り切れます。このことから、 およびを与えるの場合を除き、 との他のすべての組み合わせは奇数で、そのうち 1 つだけが で割り切れるはずです。 ${\displaystyle 2mnp}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle p=3,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 3}$

ヘロン三角形において、角 の角の二等分線、角 の角の二等分線、および角 の角の二等分線が3 辺と有理数関係にある場合、 だけでなく、もヘロン角でなければなりません。つまり、角と が両方ともヘロン角である場合、 の補角もヘロン角でなければならないため、3 つの角の二等分線はすべて有理数になります。これは、次の式を掛け算すれば明らかです。 ${\displaystyle w_{a}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle w_{b}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

一緒に。つまり、これを通じて以下が得られます。

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

ここで、 は半周、 は三角形の面積を表します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle J}$

有理角二等分線を持つヘロン三角形はすべて^{[18]によって生成される。}

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

そのようなものは どこにありますか${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

ここで、任意の整数は ${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$互いに素であり、${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$そして互いに素です。${\displaystyle w}$

内接円と外接円の半径が整数である原始ヘロン三角形（非ピタゴラス三角形）は、無限個、また無限個存在する。^{[19] : 定理3と定理4}分解可能な三角形の族は次のように与えられる。

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

そして、分解不可能なものの族は次のように与えられる。

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

整数値の体積とヘロン三角形を面として持つ四面体が存在する。一例では、1辺が896、対辺が190、他の4辺が1073である。2つの面の面積は436800、他の2つの面の面積は47120で、体積は62092800である。^{[9] : p.107}

2D格子は孤立した点の規則的な配列であり、任意の 1 つの点を直交座標の原点(0, 0) として選択すると、他のすべての点は ( x, y ) にあり、xとy はすべての正負の整数の範囲にあります。格子三角形は、2D 格子内に描画され、すべての頂点が格子点上にある三角形です。ピックの定理により、格子三角形の面積は整数または半整数(分母が 2) のいずれかになります。格子三角形の辺が整数の場合、面積は整数のヘロン三角形になります。^[20]

さらに、すべてのヘロン三角形は格子三角形として描くことができることが証明されています。^{[21] [22]}したがって、整数三角形は、格子三角形として描くことができる場合にのみヘロン三角形になります。

全ての頂点、内心、および3つの外心すべてが格子点にある整数格子上に配置できる原始ヘロン三角形（非ピタゴラス三角形）は無数に存在する。そのような三角形の2つの族は、上記の#整数の内半径と外半径を持つヘロン三角形で与えられたパラメータ化を持つものである。^{[19] : Thm. 5}

自動中線三角形とは、中線が辺と同じ比率（逆の順序）になっている三角形のことである。x、y、zが直角三角形の3辺で、大きさの昇順で並べられており、2 x  <  zの場合、z、x  +  y、y  −  xが自動中線三角形の3辺である。例えば、辺の長さが5、12、13の直角三角形は、この方法で、辺の長さが13、17、7である最小の非自明な（つまり、非正三角形である）整数自動中線三角形を形成することができる。^[23]

その結果、原始ピタゴラス三角形を生成するユークリッドの公式を用いて、原始整数自動中位三角形を生成することができる。

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

とは互いに素かつ奇数であり、 (絶対値符号  内の量が負の場合) または  (その量が正の場合)三角不等式を満たします。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

自動中位三角形の重要な特徴は、その辺の平方が等差数列を形成することである。具体的には、${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

整数辺を持ち、角Aの有理二等分線を持つ三角形族は^[24]で与えられる。${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

整数で。 ${\displaystyle k>m>0}$

３辺と３つの角度のそれぞれの二等分線が整数である非相似三角形は無数に存在する。 ^[25]

3辺と3つの角度のそれぞれの2つの三等分線が整数である非相似三角形は無限に存在する。^[25]

しかし、n > 3の場合、3辺と3つの角度のそれぞれの( n  -1) nセクターが整数である三角形は存在しない。^[25]

頂点Aの1つの角度が与えられた有理余弦h / k（h < 0または> 0; k > 0）を持ついくつかの整数三角形は^[26]で与えられる。

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

ここで、pとq は、 p > qk を満たす互いに素な正の整数です。

60°の角度を持つすべての整数三角形の角度は等差数列になっている。このような三角形はすべて次の数に比例する: ^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

互いに素な整数m、nおよび 1 ≤  n  ≤  mまたは 3 m  ≤  n 。ここから、すべての原始解はa、b、c をそれらの最大公約数で 割ることで得られます。

60°の角度を持つ整数三角形は、^{[27]によっても生成できる。}

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

互いに素な整数m、n は0 <  n  <  mである（60°の角度は長さaの辺と反対である）。ここから、すべての原始解はa、b、c を最大公約数で割ることで得られる（例えば、正三角形の解はm = 2、n = 1とすることで得られるが、これはa = b = c = 3 となり、原始解ではない）。^{[28] [29]も参照。}

より正確には、 の場合は、それ以外の場合は です。2 つの異なるペアとは同じトリプルを生成します。残念ながら、2 つのペアの gcd は両方とも 3 になる可能性があるため、その場合を単にスキップするだけでは重複を避けることはできません。代わりに、まで進むだけで重複を避けることができます。gcd が 3 の場合は、やはり 3 で割る必要があります。上記の制約の下での の唯一の解は、の場合です。この追加の制約により、すべてのトリプルを一意に生成できます。 ${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle (m,m-n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m/2}$${\displaystyle n=m/2}$${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$${\displaystyle m=2,n=1}$${\displaystyle n\leq m/2}$

アイゼンシュタイン トリプルは、角度の 1 つが 60 度である三角形の辺の長さである整数の集合です。

120°の角度を持つ整数三角形は^{[30]によって生成できる。}

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

互いに素な整数m、  nで、 0 <  n  <  mである（ 120° の角度は長さaの辺と反対である）。ここから、すべての原始解はa、b、c を最大公約数で割ることで得られる。最小の解は、 m = 2 かつn = 1 の場合、辺が (3,5,7) の三角形である。^{[28] [29]も参照。}

より正確には、の場合は、それ以外の場合は です。最大の辺a は単一のペアでのみ生成できるため、各プリミティブ トリプルは正確に 2 つの方法で生成できます。1 つは gcd が 1 の直接的な方法で、もう 1 つは gcd が 3 の間接的な方法です。したがって、すべてのプリミティブ トリプルを一意に生成するには、追加の条件を追加するだけで済みます。^{[引用が必要]}${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

互いに素な正の整数hとkに対して、次の辺を持つ三角形は角、、 を持ち、したがって２つの角の比はh  : kであり、その辺は整数である: ^[31]${\displaystyle h\alpha }$${\displaystyle k\alpha }$${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

ここで、pとq は互いに素な整数です。 ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

対辺が角A、対辺が角Bの三角形は、B  = 2 Aとなるように生成される。^[32]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

整数m、n は0 <  n  <  m  < 2 nとなる。

B  = 2 A（整数かどうかに関わらず）となるすべての三角形は^{[33]を満たす。} ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

相似三角形の同値類は^[32]によって生成される。${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

となる整数で、 は黄金比です。 ${\displaystyle m,n}$${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

すべての三角形は（辺が整数かどうかに関わらず）${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

B  = 3 Aを満たす相似三角形の同値類は、 式^{[34]を使って生成できる。}

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

ここで、 およびは となる整数です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

B = 3 Aのすべての三角形（辺が整数かどうかに関係なく）は、${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

3 つの有理角（有理数の度数、またはそれと同等の 1 回転の有理数分数）を持つ唯一の整数三角形は、正三角形です。^[2]これは、余弦定理により、整数の辺は 3 つの有理余弦を意味し、ニーヴンの定理により、有理余弦が有理角と一致するのは、余弦が 0、±1/2、または ±1 に等しい場合のみであるためです。これらのうち、角度が厳密に 0° から 180° の間になるのは、角度 60° で余弦値 1/2、角度 120° で余弦値 –1/2、および角度 90° で余弦値 0 のみです。これらのうちの 3 つを複数使用して合計が 180° になる組み合わせは、3 つの 60° の角度だけです。

楕円曲線の観点から、整数三角形の外接円の半径と内接円の半径の比が整数Nとなる条件が知られています。^{[35] [36]}最小のケースである正三角形では、 N = 2です。既知のすべてのケースにおいて、つまりは8で割り切れます。 ${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$${\displaystyle N-2}$

5-Con三角形のペアは、相似だが合同ではなく、3つの角度と2つの辺の長さを共有する三角形のペアです。4つの異なる整数辺（両方の三角形にそれぞれ2辺、各三角形にもう1辺）が素因数を共有しない原始整数5-Con三角形は、辺の3つを持ちます。

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$そして${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

互いに素な正の整数xとyについて。最小の例は、 x = 2、y = 3 で生成されるペア (8, 12, 18)、(12, 18, 27) です。

• 辺と面積が連続する整数を持つ三角形は、辺が (3, 4, 5) で面積が 6 の三角形のみです。
• 高さと辺が連続する整数である唯一の三角形は、辺が (13、14、15) で、辺 14 からの高度が 12 に等しくなります。
• (2, 3, 4)三角形とその倍数は、等差数列の整数辺を持ち、補外角の性質を持つ唯一の三角形である。^{[37] [38] [39]} この性質は、角Cが鈍角で、角Bから線分を下ろしてACを垂直にPで延長した場合、∠CAB=2∠CBPとなることを意味している。
• （3, 4, 5）三角形とその倍数は、等差数列の辺を持つ唯一の整数直角三角形である。^[39]
• （4, 5, 6）三角形とその倍数は、1つの角度が他の角度の2倍であり、等差数列で整数の辺を持つ唯一の三角形である。^[39]
• （3, 5, 7）三角形とその倍数は、120°の角度を持ち、等差数列で整数の辺を持つ唯一の三角形である。^[39]
• 面積=半周長である唯一の整数三角形^[40]は辺が(3, 4, 5)です。
• 面積=周囲長となる整数三角形の辺の長さは^{[40] [41]} (5, 12, 13)、(6, 8, 10)、(6, 25, 29)、(7, 15, 20)、(9, 10, 17)の5辺のみである。これらのうち最初の2辺は直角三角形であるが、最後の3辺は直角三角形ではない。
• 3つの有理中線を持つ整数三角形が存在する。^{[9] : p. 64} 最小の三角形の辺の長さは(68, 85, 87)である。他には(127, 131, 158)、(113, 243, 290)、(145, 207, 328)、(327, 386, 409)がある。
• ピタゴラスの二等辺三角形は存在しない。^[15]
• 周囲の二乗が面積の整数倍となる原始ピタゴラス三角形は、周囲が12で面積が6で周囲の二乗と面積の比が24である(3, 4, 5)、周囲が30で面積が30で周囲の二乗と面積の比が30である(5, 12, 13)、周囲が90で面積が180で周囲の二乗と面積の比が45である(9, 40, 41)のみである。^[42]
• 同じ周長と同じ面積を持つ有理直角三角形と有理二等辺三角形の唯一の（相似を除いて）ペアが存在する。唯一のペアは、（377、135、352）三角形と（366、366、132）三角形で構成される。^[43] 三角形が原始整三角形でもある必要がある場合、そのような三角形のペアは存在しない。^[43]著者らは、2番目の主張は初等的な議論で証明できる（付録Aで行っている）のに対し、最初の主張には現代の非常に非自明な数学が必要であるという驚くべき事実を強調している。

• ブラフマグプタ三角形、辺の長さが連続する整数であるヘロン三角形
• ロビンスの五角形、整数の辺と整数の面積を持つ円五角形
• オイラーブロック、整数辺と整数面対角線を持つ直方体
• 四面体 § 整数四面体