微分可能多様体

M を位相空間とする。M上のチャート( U , φ )は、Mの開集合Uと、Uからあるユークリッド空間R ⁿの開集合への同相写像φから構成される。やや非公式な言い方をすれば、チャートφ : U → R ⁿは、 φの像がR ⁿの開集合であり、φ がその像への同相写像であることを意味する。著者によっては、代わりにφ : U → R ⁿ自体が同相写像であることを意味する場合もある。  

チャートの存在は、 M上で微分計算を行う可能性を示唆しています。たとえば、関数u : M → RとM上のチャート( U , φ )が与えられた場合、ユークリッド空間の開部分集合を定義域とする実数値関数である合成u ∘ φ ⁻¹を考えることができます。そのため、微分可能であれば、その偏導関数を考えることができます。 

この状況は、以下の理由から完全に満足できるものではありません。M上の2 番目のチャート( V , ψ )を考え、 UとV がいくつかの共通点を持つと仮定します。対応する 2 つの関数u ∘ φ ⁻¹とu ∘ ψ ⁻¹は、互いに再パラメータ化できるという意味で関連しています。 $${\displaystyle u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},}$$ 右辺の自然な定義域はφ ( U ∩ V )である。φとψは同相写像であるため、ψ ∘ φ ^−1はφ ( U ∩ V )からψ ( U ∩ V )への同相写像となる。したがって、これは双連続関数にすぎず、関数u ∘ φ ⁻¹とu ∘ ψ ^{−1の両方が微分可能であっても、} ψ ∘ φ ⁻¹が右辺に連鎖律を適用して左辺の偏微分を計算できるほど十分に微分可能であるとは限らないため、それらの微分特性は必ずしも強く結びついているわけではない。関数c  : R → Mを考えた場合も同様の問題が生じ、再パラメータ化の公式に至った 。$${\displaystyle \varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},}$$ この時点で、以前と同じ観察結果が得られる。

この問題は、遷移写像ψ ∘ φ ⁻¹がすべて微分可能なM上の写像の集合を指定する「微分可能なアトラス」を導入することで解決されます。これにより状況は非常に明確になります。u ∘ φ ⁻¹が微分可能であれば、上記の最初の再パラメータ化式により、写像u ∘ ψ ⁻¹も領域ψ ( U ∩ V )上で微分可能となり、その逆もまた同様です。さらに、これら 2 つの写像の導関数は連鎖律によって互いに結び付けられています。このアトラスに関して、定義域または値域がMである微分可能な写像の概念、およびそのような写像の導関数の概念を容易に理解することができます。

形式的には、「微分可能」という言葉は、著者によって意味が異なるため、やや曖昧です。ある時は一次導関数の存在を意味し、ある時は連続一次導関数の存在を意味し、またある時は無限個の導関数の存在を意味します。以下では、「微分可能アトラス」のさまざまな（曖昧でない）意味の正式な定義を示します。一般に、「微分可能」は、k ≥ 1の場合、これらの可能性すべてを含む包括的な用語として使用されます。

denotes and denotes ."}">

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }}$

${\displaystyle \phi _{\beta }}$

${\displaystyle \phi _{\beta \alpha }}$

${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

2つのグラフの遷移マップ。${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}$意味する${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}}$そして${\displaystyle \phi _{\beta \alpha }}$意味する${\displaystyle \phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}}$。

すべての実解析写像は滑らかであり、すべての滑らかな写像は任意のkに対してC ^kであるため、任意の解析アトラスは滑らかなアトラスと見なすことができ、すべての滑らかなアトラスはC ^kアトラスと見なすことができることがわかります。この連鎖は、 C ⁿの開部分集合間の任意の正則写像はR ^{2 n}の開部分集合間の実解析写像と見なすことができるという理解のもと、正則アトラスを含むように拡張できます。

位相空間上の微分可能なアトラスが与えられたとき、与えられた微分可能なアトラスを構成するチャートの集合にチャートを含めると微分可能なアトラスになる場合、チャートはアトラスと微分可能に適合している、または与えられたアトラスに対して微分可能であると言います。微分可能なアトラスは、与えられたアトラスと微分可能に適合するすべてのチャートからなる最大微分可能なアトラスを決定します。最大アトラスは常に非常に大きいです。たとえば、最大アトラス内の任意のチャートが与えられた場合、その定義域の任意の開部分集合への制限も最大アトラスに含まれます。最大滑らかなアトラスは滑らかな構造とも呼ばれ、最大正則アトラスは複雑な構造とも呼ばれます。

最大アトラスを直接使用せずに、同等の定義として、微分可能アトラスの同値類を考える方法がある。この同値類では、一方のアトラスのすべてのチャートが他方のアトラスと微分可能に適合する場合、2つの微分可能アトラスは同等であるとみなされる。非公式には、これは滑らかな多様体を扱う場合、少数のチャートのみからなる単一の微分可能アトラスで作業できることを意味する。その際、他の多くのチャートや微分可能アトラスも同様に正当であるという暗黙の了解がある。

領域の不変性によれば、微分可能なアトラスを持つ位相空間の各連結成分は、明確に定義された次元nを持ちます。正則アトラスの場合には、対応する次元が解析的、滑らか、またはC ^kアトラスとして考えた場合の次元の半分になるため、若干の曖昧さが生じます。このため、正則アトラスを持つ位相空間の「実数」次元と「複素数」次元は別々に扱われます。

微分可能多様体とは、ハウスドルフ空間であり、かつ第2可算な位相空間Mと、 M上の最大微分可能アトラスを合わせたものである。基礎理論の多くは、ハウスドルフ条件と第2可算条件を必要とせずに展開できるが、高度な理論の多くにおいてはこれらの条件が不可欠である。これらは本質的に、バンプ関数と単位の分割が一般的に存在することと同等であり、どちらも至るところで用いられている。

C ⁰多様体の概念は位相多様体の概念と同一です。ただし、注目すべき区別があります。位相空間が与えられたとき、それが位相多様体であるかどうかを問うことは意味があります。対照的に、与えられた位相空間が（例えば）滑らかな多様体であるかどうかを問うことは意味がありません。なぜなら、滑らかな多様体の概念は、追加の構造である滑らかなアトラスの指定を必要とするからです。しかし、ある位相空間に滑らかな多様体の構造を与えることができないと言うことは意味があるかもしれません。このような不均衡が存在しないように定義を再定式化することは可能です。位相空間Mではなく集合Mから始め、この設定で滑らかなアトラスの自然な類似物を使用して、 M上の位相空間の構造を定義できます。

上記の定義を逆算することで、多様体の構築に関する一つの視点を得ることができます。その考え方は、チャートと遷移マップの画像から始め、これらのデータのみから多様体を構築するというものです。上記の議論と同様に、「滑らかな」コンテキストを使用していますが、他の設定でも同様に機能します。

インデックスセットが与えられた場合${\displaystyle A,}$させて${\displaystyle V_{\alpha }}$開部分集合の集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そしてそれぞれについて${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$させて${\displaystyle V_{\alpha \beta }}$の開いた（空である可能性もある）部分集合である${\displaystyle V_{\beta }}$そして${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }}$滑らかな写像とする。${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }}$アイデンティティマップは、${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \alpha }}$はアイデンティティマップであり、${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \gamma }\circ \phi _{\gamma \alpha }}$は恒等写像である。次に、互いに素な和集合上に同値関係を定義する。${\textstyle \bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}$宣言することによって${\displaystyle p\in V_{\alpha \beta }}$同等である${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}$技術的な作業によって、同値類の集合に自然な位相構造を与えることができ、その際に用いられる図表が滑らかなアトラスを形成することを示すことができる。解析構造（部分集合）のパッチワークについては、解析多様体を参照のこと。

微分可能な多様体上の関数の導関数を定義する方法はいくつかありますが、最も基本的なものは方向微分です。方向微分の定義は、多様体にはベクトルを定義するのに適したアフィン構造が存在しないという事実によって複雑になります。そのため、方向微分はベクトルではなく、多様体内の曲線に着目します。

微分多様体上の微分関数層の位相的特徴の一つは、単位の分割が存在することである。この点が、一般に単位の分割を持たないより強い構造（解析的構造や正則構造など）と多様体上の微分構造を区別する特徴となっている。

MをクラスC ^kの多様体とする。ただし、0 ≤ k ≤ ∞とする。{ U _α } をMの開被覆とする。このとき、被覆 { U _α } に従属する単位分割は、 M上の実数値C ^k関数φ _iの集合であり、次の条件を満たす。

• φ _iの支持部はコンパクトで局所的に有限である。
• φ _iのサポートは、あるαに対してU _αに完全に含まれる。
• Mの各点においてφ iの合計は1_となる。$${\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.}$$

（なお、この最後の条件は、 φ _iのサポートが局所的に有限であるため、実際には各点で有限和となることに注意してください。）

C ^k多様体Mの任意の開被覆には、C ^k単位分割が存在する。これにより、 R ⁿ上のC ^k関数の位相に関する特定の構成を微分可能多様体の圏に持ち越すことができる。特に、特定の座標アトラスに従属する単位分割を選択し、R ⁿの各チャートで積分を実行することで、積分について議論することが可能となる。したがって、単位分割によって、L ^p空間、ソボレフ空間、および積分を必要とするその他の種類の空間など、他の種類の関数空間を考察することができる。

MとN をそれぞれ次元mとnの2 つの微分可能多様体とし、f をMからNへの関数とします。微分可能多様体は位相空間であるため、 fが連続であることの意味はわかっています。しかし、 k ≥ 1の場合、「 fはC ^k ( M , N )である」とはどういう意味でしょうか。fがユークリッド空間間の関数である場合、その意味はわかっています。したがって、 f をMのチャートとNのチャートで合成して、ユークリッド空間からM 、 N 、そして再びユークリッド空間へと写像する場合、その写像がC ^k ( R ^m , R ⁿ )であることの意味はわかっています。「fはC ^k ( M , N )である」とは、 fとチャートのすべての合成がC ^k ( R ^m , R ⁿ )であることを意味すると定義します。ここでも連鎖律により、微分可能性の概念は、 MとNのアトラスのどのチャートを選択するかに依存しないことが保証されます。しかし、導関数自体を定義するのはより微妙な問題です。MまたはNが既にユークリッド空間である場合、それをユークリッド空間にマッピングするための図表は必要ありません。

点の接空間は、その点における可能な方向微分から構成され、多様体と同じ次元 n を持ちます。点に局所的な(非特異) 座標x _{kの集合に対して、座標微分は}${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$接空間のホロノミック基底を定義します。すべての点における接空間の集合は、次元が 2 nである接束多様体になります。接束は接ベクトルが存在する場所であり、それ自体が微分可能な多様体です。ラグランジアンは接束上の関数です。接束は、 R (実数直線)からMへの 1-ジェットの束として定義することもできます。

U _α × R ⁿに基づくチャートからなる接束のアトラスを構築することができる。ここで、U _{α は}Mのアトラスに含まれるチャートの 1 つを表す。これらの新しいチャートはそれぞれ、チャートU _αの接束である。このアトラス上の遷移マップは、元の多様体上の遷移マップから定義され、元の微分可能性クラスを保持する。

ベクトル空間の双対空間は、そのベクトル空間上の実数値線形関数の集合です。ある点における余接空間は、その点における接空間の双対空間であり、その要素は余接ベクトルと呼ばれます。余接束は、すべての余接ベクトルと、自然な微分可能多様体構造の集合です。

接束と同様に、余接束もまた微分可能な多様体である。ハミルトニアンは余接束上のスカラーである。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持つ。余接ベクトルは、コベクターと呼ばれることもある。余接束は、 MからRへの関数の1-ジェットの束として定義することもできる。

余接空間の要素は、微小変位として考えることができます。fが微分可能な関数である場合、各点pにおいて余接ベクトルdf _pを定義できます。これは、X _pに関連付けられたfの導関数に接ベクトルX _pを転送します。ただし、すべての共ベクトル場がこのように表現できるわけではありません。このように表現できるものは、完全微分と呼ばれます。与えられた局所座標x ^kのセットに対して、微分dx ^k _{p は}pにおける余接空間の基底を形成します。

テンソル束は、接束と余接束のすべてのテンソル積の直和です。束の各要素はテンソル場であり、ベクトル場または他のテンソル場に対して多重線形演算子として作用することができます。

テンソル束は無限次元であるため、従来の意味での微分可能多様体ではありません。しかし、スカラー関数の環上の代数です。各テンソルはランクによって特徴付けられ、ランクはテンソルが持つ接線因子と余接因子の数を示します。これらのランクは、それぞれ接線ランクと余接ランクを意味する共変ランクと反変ランクと呼ばれることもあります。

フレーム（より正確には接フレーム）は、特定の接空間の順序付き基底です。同様に、接フレームは、R ⁿからこの接空間への線形同型写像です。移動接フレームは、その定義域のすべての点で基底を与えるベクトル場の順序付きリストです。移動フレームは、M 上のすべてのフレームの集合からなるGL( n , R )主束であるフレーム束 F( M )のセクションとみなすこともできます。フレーム束は、M上のテンソル場を F( M ) 上の同変ベクトル値関数とみなせるため有用です。

十分に滑らかな多様体上では、様々な種類のジェット束を考えることができる。多様体の（1次）接束は、多様体上の曲線を1次接触の同値関係で割った集合である。同様に、k次接束はk次接触の関係で割った曲線の集合である。また、余接束は多様体上の関数の1-ジェットの束であり、k-ジェット束はそれらのk-ジェットの束である。これらの例やジェット束の一般的な概念は、多様体上の微分作用素の研究において重要な役割を果たす。

フレームの概念は、高次のジェットの場合にも一般化されます。k 次フレームを、R n から M への微分同相写像の k ジェットと定義します。[ ⁶ ]すべてのk次フレームの集合^{F k (} M ) は、M 上の主 G k バンドルです。ここで、G k は k ジェットのグループ、つまり、原点を固定する R n の微分同相写像のk^ジェットからなるグループです。GL ( ⁿ , R ⁾は、自然にG 1 と同型であり、すべての G k の部分群 (k ≥ 2) であることに注意してください。特に^、 F 2 ( M )の切断は、M^上の接続の^フレーム成分を与えます。^{したがって}、商バンドルF 2 ( M ) ^/ GL ( n , R )は、 M上の対称線形接続のバンドルです。

部分多様体やその他の関連概念を適切に定式化するには、2つの多様体間の微分可能な関数が必要です。次元mの微分可能な多様体Mから次元nの別の微分可能な多様体Nへの微分可能な関数f  : M → Nの場合、fの微分は写像df : T M → T Nとなります。これはTfとも表記され、接写像と呼ばれます。Mの各点において、これはある接空間から別の接空間への線形変換です。  $${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}$$点pにおけるfの ランクは、この線形変換のランクである。

通常、関数のランクは点ごとの性質です。しかし、関数が最大ランクを持つ場合、ランクは点の近傍で一定になります。微分可能な関数は「通常」最大ランクを持ち、これはサードの定理によって厳密に定義されます。ある点で最大ランクを持つ関数は、イマージョンおよびサブマージョンと呼ばれます。

• m ≤ nであり、f  : M → N がp ∈ Mにおいてランクmを持つ場合、f はpにおける埋め込みと呼ばれます。fがMのすべての点における埋め込みであり、かつその像への同相写像である場合、 fは埋め込みと呼ばれます。埋め込みは、 MがNの部分多様体であるという概念を形式化したものです。一般に、埋め込みとは、自己交差やその他の非局所的な位相的不規則性を持たない埋め込みのことです。
• m ≥ nであり、f  : M → N がp ∈ Mでランクnを持つ場合、fはpにおける沈み込みと呼ばれます。陰関数定理によれば、f がpにおける沈み込みである場合、M はp の近傍で局所的にNとR ^{m − n}の積になります。形式的には、Nのf ( p )の近傍に座標( y ₁ , ..., y _n )が存在し、 Mのpの近傍で定義されたm − n個の関数x ₁ , ..., x _{m − n が}存在し、$${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}$$は、 pの近傍におけるMの局所座標系です。沈み込みは、ファイブレーションとファイバー束の理論の基礎を形成します。

ソフス・リーにちなんで名付けられたリー微分は、多様体M上のテンソル場の代数上の微分である。M上のすべてのリー微分のベクトル空間は、次のリー括弧に関して無限次元のリー代数を形成する。

$${\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}$$

リー微分は、ベクトル場によって表され、M上の流れ（アクティブ微分同相写像）の微小生成子として扱われます。逆に言えば、Mの微分同相写像群は、リー群論と直接的に類似した方法で、リー微分からなるリー代数構造を持ちます。

外微分法を用いることで、勾配演算子、発散演算子、回転演算子を一般化することができる。

各点における微分形式の束は、その点における接空間上のすべての完全反対称多重線形写像から構成される。これは、多様体の次元以下の各nに対して自然にn形式に分割される。n形式はn変数形式であり、次数nの形式とも呼ばれる。1 形式は余接ベクトルであり、0 形式は単なるスカラー関数である。一般に、n形式は余接ランクn 、接ランク 0のテンソルである。しかし、形式は反対称でなければならないため、そのようなテンソルすべてが形式であるとは限らない。

仮に${\displaystyle M}$位相的である${\displaystyle n}$多様体。

滑らかなアトラスが与えられた場合${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$異なる滑らかな多様体構造を定義する滑らかなアトラスを見つけるのは簡単です${\displaystyle M;}$同相写像を考える${\displaystyle \Phi :M\to M}$これは、与えられたアトラスに対して滑らかではない。例えば、局所的な非滑らかな隆起を用いて恒等写像を修正することができる。次に、新しいアトラスを考える。${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},}$これは滑らかな地図帳として容易に検証できます。しかし、新しい地図帳の図表は古い地図帳の図表とスムーズに互換性がありません。なぜなら、そのためには${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi \circ \phi _{\beta }^{-1}}$そして${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \phi _{\beta }^{-1}}$どんなものにも滑らか${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta ,}$これらの条件はまさに両者の定義である${\displaystyle \Phi }$そして${\displaystyle \Phi ^{-1}}$滑らかで、${\displaystyle \Phi }$選ばれた。

この観察を動機として、滑らかなアトラスの空間上の同値関係を定義することができる。${\displaystyle M}$滑らかなアトラスを宣言することによって${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$そして${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}$同相写像が存在する場合は同等である${\displaystyle \Phi :M\to M}$そのため${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}}$スムーズに互換性があります${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},}$そしてそのような${\displaystyle \{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}}$スムーズに互換性があります${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$

より簡潔に言えば、微分同相写像が存在する場合、2つの滑らかなアトラスは同等であると言える。${\displaystyle M\to M,}$ここでは、一方の滑らかなアトラスを定義域に用い、もう一方の滑らかなアトラスを値域に用いる。

この同値関係は、滑らかな多様体構造を定義する同値関係の改良版であることに注意してください。滑らかに適合する任意の2つのアトラスは、現在の意味でも適合します。${\displaystyle \Phi }$アイデンティティマップとなる。

次元が${\displaystyle M}$が 1、2、または 3 の場合、滑らかな構造が存在する${\displaystyle M}$そして、上記のような意味では、すべての異なる滑らかな構造は同等である。高次元では状況はより複雑になるが、その全容はまだ完全には解明されていない。

• 位相多様体の中には、滑らかな構造を持たないものもある。これは、ケルヴェール（1960）が10次元の例で最初に示した通りである。サイモン・ドナルドソンによる微分幾何学における偏微分方程式_の主要な応用は、マイケル・フリードマンの結果と組み合わせることで、多くの単連結コンパクト位相4次元多様体が滑らかな構造を持たないことを示している。よく知られた具体的な例として、E8多様体がある。
• 位相多様体の中には、上記の意味では同値ではない滑らかな構造を多数許容するものもある。これは元々、ジョン・ミルナーがエキゾチックな7球面の形で発見したものである。^{[ 7 ]}

すべての1次元連結滑らかな多様体は、${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle S^{1},}$それぞれが標準的な滑らかな構造を備えている。

滑らかな2次元多様体の分類については、サーフェスを参照してください。特に重要な結果として、すべての2次元連結コンパクト滑らか多様体は、以下のいずれかと微分同相です。${\displaystyle S^{2},}$または${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),}$または${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.}$滑らかな構造ではなく、複素微分可能な構造を考慮すると、 状況はより複雑になる。

3 次元の状況はかなり複雑で、既知の結果はより間接的です。2002 年に偏微分方程式の方法で証明された注目すべき結果は、幾何学化予想です。これは、任意のコンパクトで滑らかな 3 次元多様体は、それぞれが多くの対称性を持つリーマン計量を持つ異なる部分に分割できると大まかに述べています。また、幾何学化可能な 3 次元多様体については、モストウ剛性や双曲群の同型問題に対するセラのアルゴリズムなど、さまざまな「認識結果」があります。 ^{[ 8 ]}

3 より大きいn の n多様体の分類は、ホモトピー同値性まで含めても不可能であることが知られています。任意の有限表示群が与えられた場合、その群を基本群とする閉じた 4 多様体を構成できます。有限表示群の同型問題を判定するアルゴリズムがないため、2 つの 4 多様体が同じ基本群を持つかどうかを判定するアルゴリズムもありません。前述の構成では、群が同型である場合に限り同相である 4 多様体のクラスが得られるため、4 多様体の同相問題は判定不能です。さらに、自明群を認識することさえ判定不能であるため、一般に多様体が自明な基本群を持つかどうか、つまり単連結であるかどうかを判定することさえ不可能です。

単連結な4次元多様体は、フリードマンが交差形式とカービー・ジーベンマン不変量を用いて同相写像まで分類した。滑らかな4次元多様体の理論は、 R ⁴上の特異な滑らかな構造が示すように、はるかに複雑であることが知られている。

しかし、次元が 5 以上の単連結な滑らかな多様体の場合、状況はより扱いやすくなります。h-コボルディズム定理を使用して分類をホモトピー同値までの分類に縮小でき、手術理論を適用できます。^{[ 9 ]}これは、デニス・バーデンによって単連結な5 次元多様体の明示的な分類を提供するために実行されました。

リーマン多様体は、滑らかな多様体と、各接空間上の正定値内積から構成される。この内積の集合はリーマン計量と呼ばれ、自然に対称な2次元テンソル場となる。この「計量」は、自然なベクトル空間同型を識別します。${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M}$各${\displaystyle p\in M.}$リーマン多様体上では、長さ、体積、角度といった概念を定義できる。任意の滑らかな多様体には、様々なリーマン計量を与えることができる。

擬リーマン多様体（半リーマン多様体とも呼ばれる）は、リーマン多様体の概念を一般化したもので、内積の符号が正定値ではなく不定値であっても構いません。ただし、内積は非退化である必要があります。滑らかな擬リーマン多様体およびリーマン多様体は、リーマン曲率テンソルなど、関連するテンソル場を定義します。ローレンツ多様体は、符号が の擬リーマン多様体です。${\displaystyle (n-1,1)}$; ケース${\displaystyle n=4}$これは一般相対性理論の基本原理である。すべての滑らかな多様体に非リーマン擬リーマン構造を与えることができるわけではなく、そうすることには位相的な制約がある。

フィンズラー多様体は、リーマン多様体の別の一般化であり、内積がベクトルノルムに置き換えられています。そのため、長さは定義できますが、角度は定義できません。

シンプレクティック多様体とは、閉じた非退化2形式を備えた多様体である。この条件により、シンプレクティック多様体は偶数次元となる。これは、歪対称性によるものである。${\displaystyle (2n+1)\times (2n+1)}$行列式がすべてゼロである行列。基本的な例を2つ挙げます。

• ハミルトン力学における位相空間として現れる余接束は、自然なシンプレクティック形式を持つため、動機付けとなる例である。
• すべての向き付けられた2次元リーマン多様体${\displaystyle (M,g)}$自然な形で、形式を定義することによってシンプレクティックである。${\displaystyle \omega (u,v)=g(u,J(v))}$どのような場合でも${\displaystyle v\in T_{p}M,}$${\displaystyle J(v)}$は、次のようなベクトルを表す。${\displaystyle v,J(v)}$指向性がある${\displaystyle g_{p}}$-直交基底${\displaystyle T_{p}M.}$

リー群はC∞多様体から構成される^。${\displaystyle G}$グループ構造と共に${\displaystyle G}$積と反転マップが${\displaystyle m:G\times G\to G}$そして${\displaystyle i:G\to G}$これらは多様体の写像として滑らかである。これらの対象は、（連続的な）対称性を記述する際に自然に現れることが多く、滑らかな多様体の重要な例となる。

しかし、滑らかな多様体のよく知られた例の多くは、リー群構造を与えることができない。なぜなら、リー群が与えられた場合、${\displaystyle G}$そしてどんな${\displaystyle g\in G}$地図を考慮に入れることもできる${\displaystyle m(g,\cdot ):G\to G}$識別要素を送信する${\displaystyle e}$に${\displaystyle g}$したがって、微分を考慮すると${\displaystyle T_{e}G\to T_{g}G,}$リー群の任意の2つの接空間間の自然な同一視を与える。特に、任意の非ゼロベクトルを考慮に入れると、${\displaystyle T_{e}G,}$これらの識別を利用して、滑らかでゼロでないベクトル場を与えることができる。${\displaystyle G.}$これは例えば、偶数次元の球面はリー群構造を支持できないことを示している。同様の議論は、より一般的には、すべてのリー群は平行化可能であることを示している。

擬似群の概念^{[ 10 ]}は、多様体上にさまざまな構造を統一的に定義できるように、アトラスの柔軟な一般化を提供する。擬似群は、位相空間Sと、 Sの開部分集合からSの他の開部分集合への同相写像からなる集合Γで構成され、

1. f ∈ Γであり、Uがfの定義域の開部分集合である場合、制限f | _Uも Γ に含まれる。
2. fがSの開部分集合の和集合からの同相写像である場合、${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$Sの開部分集合に対して、f ∈ Γが${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$すべてのiについて。
3. すべての開集合U ⊂ Sに対して、 Uの恒等変換はΓ に含まれる。
4. f ∈ Γならば、f ⁻¹ ∈ Γ である。
5. Γの2つの要素の合成はΓに含まれる。

これら最後の３つの条件は、群の定義に類似しています。ただし、関数はS上で大域的に定義されていないため、Γは必ずしも群である必要はありません。例えば、 R ⁿ上のすべての局所C ^k微分同相写像の集合は擬群を形成します。C ⁿ内の開集合間のすべての双正則写像も擬群を形成します。その他の例としては、 R ⁿの向きを保存する写像、シンプレクティック写像、メビウス変換、アフィン変換などがあります。このように、擬群は多種多様な関数クラスによって決定されます。

位相空間Sの開部分集合へのU _i ⊂ Mからの同相写像φ _iのアトラス ( U _i , φ _i ) は、遷移関数φ _j ∘ φ _i ⁻¹ : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j )がすべて Γ に含まれる場合に擬群 Γ と互換性があると言われます。 

微分可能多様体は、 R ⁿ上のC ^k関数の擬群と互換性のあるアトラスである。複素多様体は、C ⁿの開集合上の双正則関数と互換性のあるアトラスである。以下同様である。このように、擬群は、微分幾何学や位相幾何学において重要な多様体上の多くの構造を記述するための単一の枠組みを提供する。

多様体にC ^k構造を与えるために、別の方法を用いると便利な場合がある。ここでk = 1, 2, ..., ∞、または実解析多様体の場合は ω である。座標チャートを考慮する代わりに、多様体自体で定義された関数から始めることができる。Mの構造層C ^kは、 ^Mの各開集合U ⊂ Mに対して、連続関数U → Rの代数C ^k ( U )を定義する一種の関手である。構造層C ^kは、任意のp ∈ Mに対して、 pの近傍Uとn個の関数x ¹ , ..., x ⁿ ∈ C ^k ( U )が存在し、写像f = ( x ¹ , ..., x ⁿ ) : U → R ⁿがR ⁿの開集合への同相写像であり、かつC ^k | _UはR ⁿ上のk回連続微分可能な関数の層の引き戻しである。^{[ 11 ]} 

特に、この後者の条件は、 Vに対してC ^k ( V )の任意の関数h は、 h ( x ) = H ( x ¹ ( x ), ..., x ⁿ ( x ))と一意に書けることを意味します。ここで、Hはf ( V ) ( R ⁿの開集合) 上のk回微分可能な関数です。したがって、層理論の観点からは、微分可能な多様体上の関数は、局所座標でR ⁿ上の微分可能な関数として表現でき、当然ながら、これは多様体上の微分構造を特徴付けるのに十分です。

C ^k多様体Mに対して、その多様体上の実数値C ^k関数の集合は、点ごとの加算と乗算に関して代数を形成し、これをスカラー場の代数、あるいは単にスカラーの代数と呼ぶ。この代数は定数関数 1 を乗法単位元として持ち、代数幾何学における正則関数環の微分可能な類似物である。

多様体は、そのスカラー代数から、まず集合として、そして位相空間として再構成することが可能です。これはバナッハ・ストーンの定理の応用であり、より正式にはC*-代数のスペクトルとして知られています。まず、 Mの点と代数準同型φ : C ^k ( M ) → Rの間には 1 対 1 の対応関係があります。なぜなら、このような準同型φはC ^k ( M )の余次元 1 イデアル(すなわちφの核) に対応し、これは必然的に極大イデアルだからです。逆に、この代数のすべての極大イデアルは、一点で消滅する関数のイデアルであり、これはC ^k ( M )の MSpec (極大スペクトル) がM を点集合として復元することを示していますが、実際には位相空間として復元しています。

スカラー代数を用いて様々な幾何学的構造を代数的に定義することができ、これらの定義はしばしば代数幾何学（環を幾何学的に解釈する）や作用素論（バナッハ空間を幾何学的に解釈する）に一般化される。例えば、 Mの接束は、M上の滑らかな関数の代数の微分として定義できる。

多様体のこの「代数化」（幾何学的対象を代数に置き換えること）は、C*-代数の概念につながります。バナッハ＝ストーンによれば、可換C*-代数はまさに多様体のスカラー環であり、非可換C*-代数を多様体の非可換な一般化として考えることができます。これが非可換幾何学の分野の基礎です。