シリンダー

単に「円筒」という言葉は、図に示すように、軸に垂直な円形の両端を持つ中実の円筒、すなわち直円柱を指すことが多い。両端のない円筒面は、開円筒と呼ばれる。直円柱の表面積と体積の公式は、古代から知られていた。

直円柱は、長方形をその一辺を中心に回転させてできる回転体と考えることもできます。これらの円柱は、回転体の体積を求めるための積分法（「円盤法」）で使用されます。^{[ 4 ]}

細長い針状の円筒は、高さが直径よりもはるかに大きいのに対し、短くて幅の広い円盤状の円筒は、直径が高さよりもはるかに大きい。

円筒断面とは、円筒の表面と平面との交線です。一般に曲線であり、平面断面の特殊なタイプです。円筒の2つの要素を含む平面による円筒断面は平行四辺形です。^{[ 5 ]}直円柱のこのような円筒断面は長方形です。^{[ 5 ]}

円筒のすべての要素と交差し、かつそれらに垂直な平面が交わる円筒断面を直断面と呼ぶ。^{[ 6 ]}円筒の直断面が円であれば、その円筒は円柱である。より一般的には、円筒の直断面が円錐曲線（放物線、楕円、双曲線）であれば、その円筒はそれぞれ放物線状、楕円状、双曲線状であると言われる。

直円柱の場合、平面が円柱と交わる方法はいくつかあります。まず、底面と最大で 1 点で交わる平面です。平面が円柱に接するのは、円柱と 1 つの要素で交わる場合です。直円断面は円であり、その他の平面はすべて円柱表面と楕円で交わります。^{[ 7 ]}平面が円柱の底面とちょうど 2 点で交わる場合、これらの点を結ぶ線分は円柱断面の一部です。このような平面が 2 つの要素を含む場合、円柱断面は長方形になりますが、そうでない場合は、円柱断面の側面は楕円の一部になります。最後に、平面が底面の 2 点より多くを含む場合、平面は底面全体を含み、円柱断面は円になります。

円筒断面が楕円である直円柱の場合、円筒断面の偏心率eと円筒断面の長半径a は、円柱の半径rと割線平面と円柱軸との間の 角度αによって次のように決まります。$${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

円柱の底面の半径がrで、円柱の高さがhの場合、その体積は次のように表されます。 $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

この式は、円柱が直円柱であるかどうかにかかわらず成り立つ。^{[ 8 ]}

この公式は、カヴァリエリの原理を用いることで確立できる。

より一般的には、同じ原理により、任意の円柱の体積は底面の面積と高さの積になります。例えば、底面の長半径がa、短半径がb、高さがhの楕円円柱の体積はV = Ahとなります。ここで、Aは底面の楕円の面積 (= π ab ) です。直円柱の場合、この結果は積分によっても得られます。この場合、円柱の軸を正のx軸とし、A ( x ) = A を各楕円断面の面積とします。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

円筒座標を用いると、直円柱の体積は積分によって計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

半径r、高さhを持つ直円柱の表面積は、軸が垂直になるように配置すると、次の3つの部分から構成されます。

• ^上部底面の面積：πr²
• 底面の面積^： πr²
• 辺の面積： 2πrh

上面と下面の面積は同じで、底面積Bと呼ばれます。側面の面積は側面積Lとして知られています。

開いた円筒には上部も下部も含まれないため、表面積（側面面積）は $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

直円柱の表面積は、上面、底面、側面の3つの要素の合計です。したがって、その表面積は $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$ ここで、d = 2 rは円形の上部または下部の直径です。

与えられた体積に対して、表面積が最小の直円柱はh = 2 rである。同様に、与えられた表面積に対して、体積が最大の直円柱はh = 2 rである。つまり、円柱は辺の長さ = 高さ ( = 底面の円の直径) の立方体にぴったり収まる。^{[ 9 ]}

円柱の 側面積Lは、必ずしも直円柱である必要はなく、より一般的には次のように表される。$${\displaystyle L=e\times p,}$$ ここで、eは要素の長さ、pは円柱の直断面の周囲長です。^{[ 10 ]}これにより、円柱が直円柱の場合の側面面積の前述の式が得られます。

直円柱（または円筒殻）とは、図に示すように、同じ軸を持つ2つの直円柱と、それらの円柱の共通軸に垂直な2つの平行な環状底面によって囲まれた3次元領域のことである。

高さをh、内半径をr、外半径をRとする。体積は、外側の円筒の体積から内側の仮想円筒（つまり中空空間）の体積を差し引くことで求められる。 $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(Rr).}$$ したがって、円筒殻の体積は2π ×平均半径×高さ×厚さに等しい。^{[ 11 ]}

上面と底面を含む表面積は、次式で与えられる。 $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$ 円筒殻は、回転体の体積を求める一般的な積分法で使用されます。^{[ 12 ]}

紀元前225年頃に書かれたこの名の論文で、アルキメデスは、球と、同じ高さと直径を持つ外接する直円柱との関係を利用して、球の体積と表面積の公式を得るという、彼が最も誇りに思っていた成果を得ました。球の体積は外接円柱の3分の2、表面積は 円柱の3分の2 （底面を含む）です。円柱の値はすでに知られていたので、彼は初めて球の対応する値を得ました。半径rの球の体積は4 / 3 π r 3 = 2 / ³（2 π r 3^）です。この球の表面積は4 π r 2 ⁼ 2 / 3 （ 6 π r 2）です^。アルキメデスの墓には、彼の要望により、彫刻された球体と円筒が置かれた。

AB > 0の場合、これは楕円柱の方程式です。^{[ 16 ]}軸の平行移動とスカラー乗算により、さらに簡略化できます。${\displaystyle \rho }$係数AおよびBと同じ符号を持つ場合、楕円柱の方程式はデカルト座標で次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$この楕円柱の式は、通常の円柱（a = b ） の式を一般化したものです。楕円柱は円筒形とも呼ばれますが、この名称は曖昧で、プリュッカー円錐面を指す場合もあります。

もし${\displaystyle \rho }$係数とは異なる符号を持つ場合、仮想的な楕円柱が得られます。 $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ それらには特に重要な点はありません。${\displaystyle \rho =0}$（実数点1つを与える。）

AとBの符号が異なり、${\displaystyle \rho \neq 0}$すると、双曲円筒が得られ、その方程式は次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

最後に、AB = 0の場合、一般性を失うことなく、B = 0およびA = 1と仮定すると、次のように記述できる方程式を持つ放物線状の円筒が得られます。 ^{[ 17 ]}$${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$