ワールドシート

弦理論において、世界面は時空における弦の埋め込みを記述する2次元多様体である。^[1]この用語は、特殊相対性理論と一般相対性理論における点粒子の世界線概念 を直接一般化したものとして、レナード・サスキンド^[2]によって造られた。

弦の種類、弦が伝播する時空の幾何学、長距離背景場（ゲージ場など）の存在は、ワールドシート上で定義された2次元共形場理論にエンコードされます。たとえば、 26次元のボソン弦には、26個の自由スカラーボソンで構成されるワールドシート共形場理論があります。一方、 10次元の超弦ワールドシート理論は、10個の自由スカラー場とそれらのフェルミオン 超パートナーで構成されます。

まず、ボソン弦の古典的な定式化から始めます。

まず、弦の 周囲空間として機能する、次元平坦時空（次元ミンコフスキー空間）を固定します。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

したがって、ワールドシート は埋め込まれた表面、つまり埋め込まれた2次元多様体であり、誘導された計量はどこでもシグネチャを持ちます。したがって、が時間的であり、が空間的である座標を局所的に定義することが可能です。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$${\displaystyle (-,+)}$${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

弦はさらに開いた弦と閉じた弦に分類されます。開いた弦の世界面の位相は です。ここで は閉区間であり、 および を持つグローバル座標チャートを許容します。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$${\displaystyle I:=[0,1]}$${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$

一方、閉じた弦の世界面の位相^[3]は であり、およびの「座標」を許容します。つまり、 はという同一視を持つ周期座標です。冗長な記述（商を使用）は、代表的な を選択することで削除できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$

ポリヤコフ作用を定義するために、世界面には世界面計量^[4] が備えられており、これもシグネチャを持ちますが、誘導計量とは独立しています。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle (-,+)}$

ワイル変換は計量構造の冗長性であると考えられるため、ワールドシートは代わりに計量の共形クラスを備えていると考えられます。次に、シグネチャ を持つ共形多様体のデータを定義します。 ${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$${\displaystyle (-,+)}$