公理

論理演繹法は、健全な議論（三段論法、推論規則）を適用することによって前提（古い知識）から結論（新しい知識）が導き出される方法で、古代ギリシャ人によって開発され、現代数学の中核原理となった。同義反復を除けば、何も仮定しなければ何も演繹できない。したがって、公理と公準は、与えられた演繹的知識体系の根底にある基本的な仮定である。これらは証明なしに受け入れられる。他のすべての主張（数学の場合は定理）は、これらの基本的な仮定の助けを借りて証明されなければならない。しかし、数学的知識の解釈は古代から現代にかけて変化しており、その結果、公理と公準という用語は、アリストテレスやユークリッドにとっての意味とは現代の数学者にとってわずかに異なる意味を持つ。^{[ 8 ]}

古代ギリシア人は幾何学を数ある科学の一つとみなし、幾何学の定理を科学的事実と同等に考えていた。そのため、彼らは誤りを回避し、知識を体系化し伝達する手段として、論理演繹法を開発し、用いた。アリストテレスの『分析論後書』は、この古典的な見解を決定的に解説したものである。^{[ 11 ]}

古典的な用語では、「公理」とは、多くの科学分野に共通する自明の仮定を指す。良い例としては、次のような主張が挙げられる。

同数の者から同数を取り出すと、結果として同数が得られる。

様々な科学の基礎には、証明なしに受け入れられたいくつかの追加的な仮説があった。このような仮説は公準と呼ばれた。公理は多くの科学に共通していたが、それぞれの科学の公準は異なっていた。それらの妥当性は、現実世界の経験によって確立されなければならなかった。アリストテレスは、学習者が公準の真偽について疑念を抱いている場合、科学の内容をうまく伝えることはできないと警告している。^{[ 12 ]}

古典的なアプローチは、ユークリッドの『原論』 ^{[ a ]}によく表れており、公理のリスト（私たちの経験から導き出された常識的な幾何学的事実）が与えられ、続いて「共通の概念」（非常に基本的で自明な主張）のリストが示されています。

公理

1. 任意の点から他の任意の点へ直線を引くことは可能である。
2. 線分は両方向に連続的に延長することが可能です。
3. 中心と半径が任意の円を描くことは可能である。
4. 確かに、すべての直角は互いに等しい。
5. （「平行線公準」）2本の直線に交わる直線が、同じ側の内角を2直角より小さくするならば、2本の直線を無限に延長すると、 2直角より小さい角が存在する側で交わる。

一般的な考え方

1. 同じものに等しいものは、互いに等しい。
2. 等しいものに等しいものを加えると、全体は等しくなる。
3. 等しいものから等しいものを引いた場合、余りは等しい。
4. 互いに一致するものは、互いに等しい。
5. 全体は部分の総和よりも大きい。

過去150年間で数学が学んだ教訓の一つは、数学的主張（公理、仮説、命題、定理）や定義から意味を切り離すことが有益であるということだ。どのような研究においても、原始的な概念、つまり未定義の用語や概念が必要であることを認めざるを得ない。このような抽象化や形式化によって、数学的知識はより一般化され、多様な意味を持ち得るようになり、したがって多様な文脈で有用となる。アレッサンドロ・パドア、マリオ・ピエリ、ジュゼッペ・ペアノは、この動きの先駆者であった。

構造主義数学はさらに進み、特定の応用を念頭に置かずに理論や公理（例えば、場の理論、群論、位相幾何学、ベクトル空間）を発展させる。「公理」と「公準」の区別はなくなる。ユークリッドの公準は、膨大な幾何学的事実を導き出すという点で有益である。これらの複雑な事実の真偽は、基本的な仮説の受容に基づいている。しかし、ユークリッドの第5公準を捨てることで、より広い文脈で意味を持つ理論（例えば、双曲幾何学）を得ることができる。そのため、「直線」や「平行」といったラベルをより柔軟に使う準備をする必要がある。双曲幾何学の発展は、公準を経験に基づく事実ではなく、純粋に形式的な記述とみなすことが有用であることを数学者に教えた。

数学者が体論の公理を用いる場合、その意図はさらに抽象的になる。体論の命題は特定の応用分野に関わるものではなく、数学者は完全に抽象的な領域で作業を行う。体には多くの例があり、体論はそれらすべてについて正確な知識を与える。

場の理論の公理を「証明なしに真とみなされる命題」と呼ぶのは正しくない。むしろ、場の公理は一連の制約である。任意の加算と乗算の体系がこれらの制約を満たすならば、その体系に関する多くの追加情報を即座に知ることができる。

現代数学は、その基礎を極めて体系的に定式化することで、数学理論を数学的対象とみなせるようになり、数学自体を論理学の一分野とみなせるようになった。フレーゲ、ラッセル、ポアンカレ、ヒルベルト、ゲーデルなどは、この発展における主要人物である。

現代数学で学んだもう一つの教訓は、いわゆる証明に隠された前提がないか、注意深く検証することである。

現代的な理解では、公理系とは、特定の明確に定義された規則を適用することによって、他の形式的に記述された主張が導き出されるような、形式的に記述された主張の集合のことである。この見方では、論理学は単なる別の形式体系となる。公理系は無矛盾でなければならない。つまり、公理系から矛盾を導き出すことは不可能でなければならない。また、公理系は冗長であってはならない。他の公理から導き出せる主張は、必ずしも公理とみなされる必要はない。

近代論理学者の初期の希望は、数学のさまざまな分野、おそらく数学全体が、一貫した基本公理の集合から導き出せるというものであった。形式主義プログラムの初期の成功例は、ヒルベルトによるユークリッド幾何学の形式化^{[ b ] [ 13 ]}と、それに関連する公理の一貫性の証明であった。

より広い文脈で言えば、数学全体をカントールの集合論に基づかせようとする試みがあった。しかし、ラッセルのパラドックスや、素朴な集合論における同様の矛盾の出現により、そのような体系は矛盾を孕む可能性があることが明らかになった。

形式主義プロジェクトは1世紀前に挫折を経験した。ゲーデルが、十分に大きな公理の集合（例えばペアノの公理）であれば、その公理の集合の真偽に依存しない命題を構成できることを示したからである。その帰結として、ゲーデルはペアノ算術のような理論の無矛盾性は、その理論の範囲内では証明不可能な主張であることを証明した。^{[ 14 ]}

ペアノ算術の一貫性は、無限ではあるが直感的に理解しやすい形式体系である自然数の体系によって満たされるため、妥当であると考えるのは妥当である。しかし、現在、集合論の現代のツェルメロ・フレンケル公理​​の一貫性を証明する方法は知られていない。さらに、強制法（コーエン）を用いると、連続体仮説（カントール）がツェルメロ・フレンケル公理​​とは独立していることを示すことができる。 ^{[ 5 ]}したがって、この非常に一般的な公理の集合でさえ、数学の決定的な基礎とはみなせない。

実験科学は、数学や論理学とは異なり、一般的な基礎となる主張から演繹的推論を構築し、特定の実験的状況に特化した、あるいはより一般的な性質を予測する命題を表現することができる。例えば、古典力学におけるニュートンの法則、古典電磁気学におけるマクスウェルの方程式、一般相対性理論におけるアインシュタインの方程式、メンデルの遺伝法則、ダーウィンの自然選択の法則などが挙げられる。これらの基礎となる主張は、数学の公理と区別するために、通常は原理または公準と呼ばれる。

実際、数学における公理と実験科学における公準の役割は異なります。数学では、公理を「証明」したり「反証」したりすることはありません。数学の公理の集合は、定理が論理的に導かれる概念領域を定める一連の規則を与えます。一方、実験科学では、公準の集合は、実験結果と一致するか一致しないかを推論することを可能にするものでなければなりません。公準が実験予測を推論できない場合、それは科学的な概念的枠組みを設定していないことになり、補完またはより正確にする必要があります。公準が実験結果の予測を推論できる場合、実験との比較によって、公準が構築する理論を反証（反証）することができます。理論は、反証されていない限り有効であるとみなされます。

数学の公理と科学の仮説の境界は、特に物理学においては常に曖昧である。これは、物理理論を支えるために数学的手法が多用されるためである。例えば、ニュートンの法則を導入する際に、それらが前提とするユークリッド幾何学や微分積分学が必ずしも前提条件として定められるわけではない。アルバート・アインシュタインが特殊相対性理論を初めて提唱した際に、このことはより明確になった。特殊相対性理論では、不変量はもはやユークリッド長ではない。${\displaystyle l}$（定義される）${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$）> しかしミンコフスキー時空間隔${\displaystyle s}$（定義される）${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$）、そして曲がった多様体上の平坦なミンコフスキー幾何学が擬リーマン幾何学に置き換えられた一般相対性理論。

^{量子物理学では、反証可能性の非常に良い例となる2組の公理が}しばらくの間共存してきました。「コペンハーゲン学派」（ニールス・ボーア、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン）は、分離可能なヒルベルト空間内のベクトル（「状態」）による量子システムの記述と、このヒルベルト空間内で作用する線形演算子としての物理量を含む、ほぼ完全な数学的形式化を伴う操作的アプローチを^開発しました。このアプローチは完全に反証可能であり、これまでのところ物理学において最も正確な予測を生み出してきました。しかし、自然に抱く疑問に答えることができないという不満な側面があります。このため、アルバート・アインシュタイン、エルヴィン・シュレーディンガー、デイヴィッド・ボームによって、しばらくの間別の「隠れた変数」アプローチが開発されました。これは、エンタングルメントなどの現象に決定論的な説明を与えようとして作られました。このアプローチは、コペンハーゲン学派の記述が不完全であると仮定し、未だ知られていない変数を理論に追加することで、理論が答えられないいくつかの疑問に答えることができると仮定した（その基礎となる要素は、 1935年にEPRパラドックスとして議論された）。この考えを真剣に受け止め、ジョン・ベルは1964年に、コペンハーゲン学派と隠れた変数のケースで異なる実験結果（ベルの不等式）をもたらす予測を導き出した。この実験は1980年代初頭にアラン・アスペによって初めて実施され、その結果、単純な隠れた変数モップは除外された。

アプローチ（複雑な隠れた変数は依然として存在する可能性があるが、それらの特性は、それらが解決しようとしている問題よりも厄介なものとなるだろう）。これは、量子物理学の概念的枠組みが現在完成していると考えることができるという意味ではない。なぜなら、いくつかの未解決の問題がまだ残っているからである（量子領域と古典領域の境界、量子測定中に何が起こるか、宇宙自体のような完全に閉じた量子システムで何が起こるかなど）。

これらは形式言語における普遍的に妥当な特定の式、すなわち、あらゆる値の割り当てによって満たされる式のことである。通常、論理公理として、その言語におけるすべての同義反復を証明するのに十分な最小限の同義反復の集合が採用される。述語論理の場合、厳密な意味での同義反復ではない論理的真理を証明するためには、それ以上の論理公理が必要となる。

非論理公理は、理論固有の仮定の役割を果たす式です。たとえば、自然数と整数という 2 つの異なる構造について推論する場合、同じ論理公理が関係することがあります。非論理公理は、特定の構造 (または群などの構造の集合) の特別な点を捉えることを目的としています。したがって、非論理公理は、論理公理とは異なり、トートロジーではありません。非論理公理の別の名前は、公準です。^{[ 6 ]}

現代の数学理論はほぼすべて、与えられた一連の非論理的な公理から出発しており、原理的には、すべての理論はこのように公理化され、論理式の基本的な言語にまで形式化できると考えられていた。

非論理的な公理は、数学の議論では単に公理と呼ばれることが多い。これは、それらが何らかの絶対的な意味で真であると主張されているという意味ではない。例えば、ある群では群演算が可換であるが、これは追加の公理を導入することで主張できる。しかし、この公理がなくても、（より一般的な）群論を十分に展開することができ、非可換群の研究においては、その否定を公理として用いることさえできる。

初期の数学者たちは、公理幾何学を物理空間のモデルとみなしており、究極的にはそのようなモデルは一つしか存在しないと考えていた。代替的な数学体系が存在する可能性は、19世紀の数学者たちにとって非常に厄介な問題であり、ブール代数などの体系の開発者たちは、それらを伝統的な算術から導き出すために多大な努力を払った。ガロアは、早すぎる死の直前に、これらの努力がほとんど無駄であったことを示した。最終的に、代数体系間の抽象的な類似性が詳細よりも重要であると認識され、現代代数学が誕生した。現代の考え方では、公理は矛盾が知られていない限り、どのような公式の集合でも構わない。