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フェリックス・クリスティアン・クライン（/ k laɪ n / ; [ 1 ]ドイツ語: [ klaɪn ] ; 1849年4月25日- 1925年6月22日）は、ドイツの数学者、数学教育者、数学史家であり、群論、複素解析、非ユークリッド幾何学、幾何学と群論の関連性に関する研究で知られています。1872年に発表したエアランゲン・プログラムは、幾何学を基本的な対称群によって分類し、当時の数学の多くを統合した影響力のあるものでした。
ゲッティンゲン大学在任中、クラインは新たな講義、教授職、研究所を設立することで、同大学を数学と科学研究の中心地へと発展させた。彼のセミナーは、当時知られていた数学のほとんどすべての分野とその応用を網羅していた。クラインはまた、数学教育にも多大な時間を費やし、ドイツ国内外のあらゆる学年における数学教育改革を推進した。1908年、ローマで開催された第4回国際数学者会議において、彼は国際数学教育委員会の初代会長に就任した。
フェリックス・クラインは、1849年4月25日にデュッセルドルフで、プロイセン人の両親のもとに生まれた。[2] 彼の父カスパー・クライン（1809年 - 1889年）は、ライン州に駐在するプロイセン政府官僚の秘書であった。彼の母は、ゾフィー・エリーゼ・クライン（1819年 - 1890年、旧姓カイザー）であった。[ 3 ]彼はデュッセルドルフのギムナジウムに通い、その後、物理学者になることを目指して、1865年から1866年にかけてボン大学で数学と物理学を学んだ。[ 4 ]当時、ユリウス・プリュッカーはボン大学の数学と実験物理学の教授であったが、クラインが1866年に彼の助手になった頃には、プリュッカーの関心は主に幾何学にあった。クラインは1868年、プリュッカーの指導の下、ボン大学で博士号を取得した。
プリュッカーは1868年に亡くなり、線幾何学の基礎に関する著書は未完のまま残された。クラインはプリュッカーの『空間の新幾何学』の第二部を完成させるのにうってつけの人物であり、こうして1868年にゲッティンゲンに移住していたアルフレート・クレブシュと知り合った。クラインは翌年、ベルリンとパリへの訪問とともにクレブシュを訪ねた。1870年7月、普仏戦争勃発時、彼はパリに滞在しており、国外退去を余儀なくされた。短期間プロイセン軍の衛生兵として勤務した後、1871年初頭にゲッティンゲン大学の私講師に任命された。
クラインは1872年、わずか23歳でエアランゲン大学の教授に任命された。 [ 5 ]この任命には、当時最高の数学者になる可能性が高いと見なしていたクレブシュの推薦があった。クラインは学生が非常に少ないエアランゲンに留まることを望まず、 1875年にミュンヘン工科大学の教授職を提示されたことを喜んだ。そこで彼はアレクサンダー・フォン・ブリルと共に、アドルフ・フルヴィッツ、ヴァルター・フォン・ダイク、カール・ローン、カール・ルンゲ、マックス・プランク、ルイージ・ビアンキ、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロなど、多くの優秀な学生に高度な講義を行った。
1875年、クラインは哲学者ゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルの孫娘アンネ・ヘーゲルと結婚した。[ 6 ]
クラインは、工科大学で 5 年間を過ごした後、ライプツィヒ大学の幾何学の教授に任命された。同僚には、ヴァルター・フォン・ダイク、ローン、エドゥアルト・シュトゥッド、フリードリヒ・エンゲルなどがいた。1880 年から 1886 年までのライプツィヒでのクラインの年月は、彼の人生を根本的に変えた。1882 年に彼の健康状態が悪化し、その後 2 年間うつ病と闘った。[ 7 ]それにもかかわらず、彼の研究は続けられ、1886 年から 1888 年の間に発表された超楕円シグマ関数に関する彼の画期的な研究は、この時期のものである。
クラインは1886年にゲッティンゲン大学の教授に就任した。それから1913年に退職するまで、彼はゲッティンゲンを世界有数の数学研究の中心地として再確立しようと努めた。しかし、幾何学の発展者としての自身の主導的な役割をライプツィヒからゲッティンゲンに移すことはできなかった。彼はゲッティンゲンで、主に数学と物理学の接点、特に力学とポテンシャル理論に関する様々な講義を担当した。
クラインがゲッティンゲンに設立した研究施設は、世界中の優れた研究施設のモデルとなった。彼は毎週の討論会を導入し、数学の閲覧室と図書館を作った。1895年、クラインはケーニヒスベルク大学からダフィット・ヒルベルトを招聘した。この任命は非常に重要なものとなり、ヒルベルトは1932年に自身が引退するまで、ゲッティンゲンの数学における優位性を高め続けた。クラインとヒルベルトは1915年にエミー・ネーターをゲッティンゲンに共同で招聘し、ネーターはアインシュタインに群論と対称性と保存原理の関係を紹介した。[ 8 ]
クラインの編集の下、『Mathematische Annalen』は世界有数の数学雑誌となった。クレブシュによって創刊されたこの雑誌は、クラインの経営のもとで成長を遂げ、ベルリン大学を拠点とするクレレの『Journal』に匹敵し、最終的には凌駕するまでになった。クラインは、定期的に会合を開き、民主的な精神で意思決定を行う少数の編集者チームを組織した。この雑誌は当初、複素解析、代数幾何学、不変式論を専門としていた。また、実解析や新しい群論にとっても重要な発表の場となった。
1893年、クラインはシカゴで開催された世界コロンビア博覧会の一環として行われた国際数学会議で主要な講演者となった。[ 9 ]クラインの尽力もあり、ゲッティンゲン大学は1893年に女性の入学を認め始めた。彼は、アーサー・ケイリーの教え子でクラインが尊敬していたイギリス人、グレース・チザム・ヤングがゲッティンゲン大学で初めて女性として執筆した数学の博士論文を指導した。1897年、クラインはオランダ王立芸術科学アカデミーの外国人会員となった。[ 10 ]
1900 年頃、クラインは学校での数学教育に興味を持ち始めた。1905 年、彼は解析幾何学、微分積分学の基礎、関数概念を中等学校で教えることを推奨する計画の策定に尽力した。[ 11 ] [ 12 ]この推奨は世界中の多くの国で徐々に実施された。1908 年、クラインはローマ国際数学者会議で国際数学教育委員会の委員長に選出された。[ 13 ]彼の指導の下、委員会のドイツ支部はドイツにおけるあらゆるレベルの数学教育に関する多くの巻を出版した。1892 年、マンチェスター文学哲学協会はクラインに同協会の名誉会員の称号を授与した。[ 14 ] ロンドン数学会は1893年にクラインにド・モルガン・メダルを授与した。彼は1885年に王立協会の会員に選出され、 1912年にコプリー・メダルを授与された。彼は翌年、健康上の理由で引退したが、その後数年間は自宅で数学を教え続けた。
クラインは、第一次世界大戦初期におけるドイツによるベルギー侵攻を支持するために書かれた文書である「93人宣言」の93人の署名者のうちの1人だった。
彼は1925年にゲッティンゲンで亡くなった。
クラインの博士論文「線幾何学とその力学への応用」では、ワイエルシュトラスの基本因子理論を用いて2次線複体を分類した。
クラインの最初の重要な数学的発見は1870年になされた。ソフス・リーと共同で、クンマー曲面上の漸近線の基本的な性質を発見した。その後、射影変換群の下で不変な曲線であるW曲線を研究した。クラインに群の概念を紹介したのはリーであり、この概念は後の彼の研究において重要な役割を果たすことになる。クラインはまた、カミーユ・ジョルダンから群について学んだ。[ 15 ]
クラインは、彼にちなんで名付けられた「クラインの壺」を考案した。これは、3 次元ユークリッド空間に埋め込むことはできないが、円筒をループさせて反対側の端と「内側」から接続することで埋め込むことができる、片面が閉じた曲面である。4 次元以上のユークリッド空間に埋め込むことができる。クラインの壺の概念は、3 次元のメビウスの帯として考案され、その構成方法の 1 つは、2 つのメビウスの帯の端を接続することである。[ 16 ]
1890年代、クラインは数理物理学の研究をより精力的に始め、アーノルド・ゾンマーフェルトと共にジャイロスコープに関する論文を執筆した。[ 17 ] 1894年には、数学とその応用に関する百科事典の構想を提唱し、それが『Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften 』となった。この事業は1935年まで続き、永続的な価値を持つ重要な標準参考書となった。[ 18 ]
1871年、ゲッティンゲン大学在学中、クラインは幾何学において重要な発見をした。彼は「いわゆる非ユークリッド幾何学について」という2つの論文を発表し、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学はケイリー＝クライン計量によって決定される計量空間とみなせることを示した。この洞察から、非ユークリッド幾何学が矛盾しないのはユークリッド幾何学が矛盾しない場合に限られるという結論が導き出され、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学に同じ地位が与えられ、非ユークリッド幾何学に関するあらゆる論争に終止符が打たれた。アーサー・ケイリーはクラインの議論を循環論法だと考え、決して受け入れなかった。
クラインが、与えられた変換群の下で不変な空間の性質を研究する学問として幾何学を体系化した「エアランゲン・プログラム」（1872年）は、数学の発展に大きな影響を与えた。このプログラムは、クラインがエアランゲン大学の教授に就任した際の講演をきっかけに始まったが、実際にその場で行われた講演内容ではない。このプログラムは、現代において広く受け入れられている幾何学の統一体系を提案した。クラインは、与えられた幾何学の本質的な性質が、それらの性質を保存する変換群によってどのように表現できるかを示した。そのため、このプログラムによる幾何学の定義は、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の両方を包含するものとなった。
現在では、クラインの幾何学への貢献の重要性は明白である。彼の業績は数学的思考に深く根付いており、発表当初の斬新さを理解することや、同時代の学者全員にすぐに受け入れられたわけではなかったという事実を理解することは難しい。
クラインは複素解析に関する自身の研究を数学への最大の貢献と捉えており、特に以下の研究を挙げている。
クラインは、モジュラー群が複素平面の基本領域を移動させて平面を敷き詰めることを示した。1879年、彼はモジュラー群の像とみなされるPSL(2,7)の作用を調べ、現在クライン四次曲面と呼ばれるリーマン面の明示的な表現を得た。彼はそれが射影空間の複素曲線であり、その方程式がx 3 y + y 3 z + z 3 x = 0であり、その対称群が位数168のPSL(2,7)であることを示した。彼の著書『代数関数とその積分に関するリーマンの理論について』 （1882年）は、ポテンシャル理論と等角写像を結びつけ、複素解析を幾何学的に扱っている。この研究は流体力学の概念に基づいている。
クラインは4次を超える方程式を考察し、特に5次の一般方程式を解くために超越法を用いることに強い関心を持っていた。シャルル・エルミートとレオポルド・クロネッカーの方法を基に、ブリオスキと同様の結果を得、後に正二十面体群を用いてこの問題を完全に解決した。この研究により、彼は楕円型モジュラー関数に関する一連の論文を発表することができた。
クラインは1884年の正二十面体に関する著書で、代数と幾何学を結びつける保型関数の理論を確立した。ポアンカレは1881年に保型関数の理論の概要を発表しており、これが二人の間の友好的なライバル関係につながった。両者とも、新しい理論をより完全に確立する大統一定理を述べ、証明しようとした。クラインはそのような定理を定式化し、それを証明するための戦略を説明することに成功した。彼は1882年3月23日午前2時30分に喘息の発作中に証明を思いついた。[ 19 ]
クラインは、保型関数と楕円型モジュラー関数に関する研究を、ロバート・フリックと共同で約20年かけて執筆した4巻からなる論文にまとめた。