構成空間（物理）

通常のユークリッド3次元空間を移動する単一粒子の位置は、ベクトルによって定義される。${\displaystyle q=(x,y,z)}$したがって、その構成空間は${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}}$記号を使用するのが一般的です${\displaystyle q}$構成空間内の点を表す記号。これは古典力学のハミルトン形式とラグランジュ力学の両方における慣例である。${\displaystyle p}$は運動量を表すために使用され、記号は$\displaystyle {\dot {q}}=dq/dt}$速度を指します。

粒子は特定の多様体上を移動するように制約されることがある。例えば、粒子が原点を中心に自由に回転できる剛体リンク機構に取り付けられている場合、実質的には球面上に位置するように制約される。その構成空間は、の座標のサブセットである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$球面上の点を定義する$\displaystyle S^{2}}$この場合、多様体は${\displaystyle Q}$球体、つまり${\displaystyle Q=S^{2}}$。

n個の互いに分離した非相互作用点粒子の場合、構成空間は次のようになります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$しかし一般的には、粒子が相互作用する場合に関心があります。たとえば、歯車、滑車、転がるボールなどのアセンブリ内の特定の場所であり、多くの場合、滑らずに動くように拘束されています。この場合、構成空間はすべての粒子ではありません。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$しかし、点が取り得る許容位置の部分空間（部分多様体）である。

3次元空間内の剛体に取り付けられた基準点の位置と座標フレームの向きを定義する座標の集合は、その剛体の構成空間を形成し、しばしば次のように表される。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$どこ$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$は、物体に取り付けられたフレームの原点の座標を表し、${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$は、このフレームの地面フレームに対する向きを定義する回転行列を表します。剛体の構成は、6 つのパラメータによって定義され、そのうち 3 つは$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$そして３人${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$、そして6つの自由度を持つと言われています。

この場合、構成空間${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$は6次元であり、点${\displaystyle q\in Q}$は、その空間内の単なる点です。${\displaystyle q}$この構成空間は一般化座標を用いて記述されます。つまり、3つの座標は剛体の重心の位置を表し、残りの3つは剛体の向きを表すオイラー角となります。座標の標準的な選択はありません。重心の代わりに剛体の先端や端点を選択することもできますし、オイラー角の代わりに四元数を使用することもできます。ただし、パラメータ化によってシステムの力学的特性が変わることはありません。異なるパラメータ化はすべて、最終的には同じ（6次元の）多様体、つまり同じ位置と向きの集合を表します。

パラメータ化の中には扱いやすいものとそうでないものがあり、座標に依存しない方法で多くの重要な主張を行うことができます。座標に依存しない主張の例としては、接空間が${\displaystyle TQ}$点の速度に対応します${\displaystyle q\in Q}$余接空間${\displaystyle T^{*}Q}$運動量に対応する。（速度と運動量は関連付けることができる。最も一般的な抽象的な場合、これはトートロジー的な一形式というやや抽象的な概念を用いて行われる。）

多数の剛体リンクで構成されるロボットアームの場合、構成空間は、各リンクの位置（上記のセクションと同様に剛体とみなす）と、リンク同士の接続方法および許容される可動範囲の制約から構成されます。したがって、${\displaystyle n}$リンクについては、全体の空間を考慮するとよいかもしれません。 $$\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}}$$ ただし、さまざまな付属物や制約があるため、この空間内のすべての点に到達できるわけではありません。したがって、構成空間は${\displaystyle Q}$は必然的に の部分空間である${\displaystyle n}$-剛体構成空間。

ただし、ロボット工学では、構成空間という用語は、さらに縮小された部分集合、つまりロボットのエンドエフェクタが到達可能な位置の集合を指す場合もあることに注意してください。^{[ 1 ]}ただし、この定義は、ホロノミーによって記述される複雑さにつながります。つまり、特定のエンドエフェクタの位置を得るためにロボットアームを配置する方法は複数あり、エンドエフェクタを静止させたままロボットアームを動かすことさえ可能です。したがって、運動学で使用するのに適したアームの完全な記述には、関節の位置と角度をすべて指定する必要があり、一部だけを指定するだけでは不十分です。

ロボットの関節パラメータは、構成を定義するための一般化座標として使用されます。関節パラメータ値の集合は、関節空間と呼ばれます。ロボットの順運動学および逆運動学方程式は、構成とエンドエフェクタの位置の間、または関節空間と構成空間の間のマッピングを定義します。ロボットの動作計画では、このマッピングを使用して、エンドエフェクタの構成空間で実現可能な経路を提供する関節空間内の経路を見つけます。