等周不等式

数学 において、等周不等式は、平面上の閉曲線の円周の2乗とそれが囲む平面領域の面積、およびそのさまざまな一般化を含む幾何学的 不等式です。等周とは文字通り「同じ周長を持つ」ことを意味します。具体的には、等周不等式は、閉曲線の長さLとそれが囲む平面領域の 面積Aについて、次のことを述べています。

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、その等式は曲線が円で ある場合にのみ成立します。

等周問題とは、境界が指定された長さを持つ、可能な限り最大の面積を持つ平面図形を決定することです。 ^[1]密接に関連するディドーの問題は、直線とその直線に属する端点を持つ曲線の弧で囲まれた最大面積の領域を求めています。これは、カルタゴの伝説的な創設者であり最初の女王であるディドーにちなんで名付けられました。等周問題の解は円で与えられ、古代ギリシャですでに知られていました。しかし、この事実の最初の数学的に厳密な証明は19世紀になって初めて得られました。それ以来、他の多くの証明が見つかっています。

等周問題は、表面上の曲線や高次元空間の領域など、さまざまな方法で拡張されてきました。3 次元等周不等式の最もよく知られた物理的表現は、おそらく水滴の形です。つまり、水滴は通常、対称的な丸い形をとります。水滴内の水の量は一定であるため、表面張力によって、水滴は水滴の表面積を最小にする形、つまり丸い球形になります。

古典的な等周問題は古代にまで遡ります。^[2]この問題は次のように述べることができます。固定された周囲長の平面にあるすべての閉曲線のうち、どの曲線（もしあれば）がその囲まれた領域の面積を最大化しますか？ この質問は、次の問題と同等であることが示されます。固定された領域を囲む平面にあるすべての閉曲線のうち、どの曲線（もしあれば）が周囲を最小化しますか？

この問題は、物理学における最小作用の原理と概念的に関連しており、次のように言い換えることができる。最大の面積を、最大の労力で囲む作用の原理とは何か？^[要出典] 15世紀の哲学者で科学者の枢機卿ニコラウス・クザーヌスは、円が生成されるプロセスである回転作用は、感覚的印象の領域における宇宙創造のプロセスの最も直接的な反映であると考えました。ドイツの天文学者で占星術師のヨハネス・ケプラーは、 Mysterium Cosmographicum (宇宙の神聖な神秘、1596年) で太陽系の形態について議論する際に等周原理を持ち出しました。

円は問題の明白な解決策のように見えますが、この事実を証明することはかなり困難です。解決策への最初の進歩は、1838年にスイスの幾何学者ヤコブ・シュタイナーによって、後にシュタイナー対称化と呼ばれる幾何学的手法を使用して達成されました。^[3]シュタイナーは、解が存在する場合、それは円でなければならないことを示し、シュタイナーの証明は後に他の数人の数学者によって完成されました。

シュタイナーは、簡単に理解できるいくつかの幾何学的構成から始めます。たとえば、完全に凸ではない領域を囲む任意の閉曲線は、凹領域を「反転」して凸にすることで、より広い領域を囲むように修正できることが示されます。さらに、完全に対称ではない任意の閉曲線は、より広い領域を囲むように「傾ける」ことができることも示されます。完全に凸で対称な唯一の形状は円ですが、これ自体は等周定理の厳密な証明にはなりません (外部リンクを参照)。

等周問題の解は、通常、閉曲線の長さLとそれが囲む平面領域の面積Aを関係付ける不等式の形で表現されます。等周不等式は、

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、この等式は曲線が円である場合にのみ成立します。半径Rの円板の面積はπR ²で、円周は 2 πRなので、この場合、不等式の両辺は 4 π ² R ²に等しくなります。

等周不等式の証明は数十件見つかっている。1902年、ハーヴィッツは任意の可曲線（滑らかであるとは仮定されない）に適用されるフーリエ級数を用いた短い証明を発表した。滑らかな単純閉曲線と適切な円との比較に基づく簡潔な直接証明は、1938年にE.シュミットによって与えられた。それは弧長の公式、グリーンの定理からの平面領域の面積の式、およびコーシー・シュワルツの不等式のみを使用している。

与えられた閉曲線について、等周商はその曲線の面積と、同じ周長を持つ円の面積の比として定義されます。これは次の式に等しくなります。

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

等周不等式によれば、Q ≤ 1 となります。同様に、等周比 L ² / Aはすべての曲線に対して 少なくとも 4 πです。

正n角形の等周商は

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

を滑らかな正凸閉曲線とする。このとき、改良された等周不等式は次のように表される。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

ここで、 はそれぞれの長さ、 で囲まれた領域の面積、 のウィグナーコースティックの向き付けられた面積を表し、が一定幅 の曲線である場合に限り等式が成立します。^[4]${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

C を半径 1 の球面上の単純な閉曲線とします。Cの長さをL、Cに囲まれた面積をAとします。球面等周不等式は、

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

そして、この等式は曲線が円である場合にのみ成立します。実際、単純な閉曲線で囲まれた球面領域を測定する方法は 2 つありますが、この不等式は補曲線を取る点に関して対称的です。

この不等式はポール・レヴィ（1919）によって発見され、彼はそれを高次元や一般曲面にも拡張した。^[5]

より一般的な任意の半径Rの場合、次のこと が知られている^[6]。

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

等周不等式は、球は与えられた体積あたりの表面積が最小であることを述べています。境界を持つ有界開集合が与えられ、表面積と体積が与えられた場合、等周不等式は次のように述べます 。${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n },}$

ここで、 は単位球です。 が内の球であるとき、等式は成り立ちます。集合に対する追加の制約 (凸性、正則性、滑らかな境界など) の下では、等式は球に対してのみ成り立ちます。 しかし、一般論として、状況はより複雑です。 Schmidt (1949、Sect. 20.7) の関連する結果 (より簡単な証明については Baebler (1957) を参照) は、Hadwiger (1957、Sect. 5.2.5) で次のように明らかにされています。 極値集合は、球と、体積にも表面積にも寄与しない「コロナ」で構成されます。 つまり、 および となる閉じた球が含まれる場合のみ、コンパクト集合に対して等式が成り立ちます。たとえば、「コロナ」は曲線である可能性があります。 ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$

不等式の証明は、集合と半径 の球体との間のブルン・ミンコフスキー不等式、すなわちから直接導かれます。ブルン・ミンコフスキー不等式を 乗し、両辺から を引き、 で割り、極限を とします(Osserman (1978); Federer (1969, §3.2.43))。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

完全に一般化すると（Federer 1969, §3.2.43）、等周不等式は、閉包が有限ルベーグ測度を持つ任意の集合に対して、${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

ここで、は ( n -1) 次元ミンコフスキー内容、L ⁿはn次元ルベーグ測度、ω _{n は}における単位球の体積です。Sの境界が修正可能であれば、ミンコフスキー内容は ( n -1) 次元ハウスドルフ測度です。 ${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

n次元等周不等式は、（十分に滑らかな領域に対して）最適定数を持つ上のソボレフの不等式と同等である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

すべてに対して。 ${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$

アダマール多様体は、曲率が正でない完全単連結多様体である。したがって、曲率ゼロのアダマール多様体であるユークリッド空間を一般化する。1970年代から80年代初頭にかけて、ティエリー・オーバン、ミシャ・グロモフ、ユーリ・ブラーゴ、ヴィクトル・ザルガラーは、ユークリッド等周不等式 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

はアダマール多様体における有界集合に対して成り立ち、これはカルタン・アダマール予想として知られるようになった。次元 2 では、これは 1926 年に当時アダマールの弟子であったアンドレ・ヴェイユによって既に確立されていた。次元 3 と 4 では、この予想はそれぞれ 1992 年にブルース・クライナーによって、1984 年にクリス・クローク によって証明された。${\displaystyle S}$

等周問題に関する研究のほとんどは、ユークリッド空間、またはより一般的にはリーマン多様体における滑らかな領域の文脈で行われてきました。しかし、等周問題はミンコフスキー内容の概念を使用して、より一般的な形で定式化することができます。を計量測度空間とします。Xは計量d を持つ計量空間であり、μ はX上のボレル測度です。Xの測定可能な部分集合Aの境界測度、つまりミンコフスキー内容は、 lim infとして定義されます。${\displaystyle (X,\mu ,d)}$

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

どこ

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

はAのε拡大である。

Xにおける等周問題は、与えられたμ ( A )に対して がどれだけ小さくなれるかを問うものです。Xが通常の距離とルベーグ測度を持つユークリッド平面である場合、この問題は古典的な等周問題を、境界が必ずしも滑らかではない平面領域に一般化しますが、答えは同じになります。 ${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$

機能

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

は計量測度空間の等周プロファイルと呼ばれます。等周プロファイルは離散群のケーリーグラフとリーマン多様体の特殊なクラス（通常は正則境界を持つ領域Aのみが考慮される）に対して研究されてきました。 ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$

グラフ理論では、等周不等式は、強い接続特性を持つ疎グラフであるエクスパンダーグラフの研究の中心です。エクスパンダー構成は純粋数学と応用数学の研究を生み出し、複雑性理論、堅牢なコンピュータネットワークの設計、誤り訂正符号の理論など、さまざまな分野に応用されています。^[7]

グラフの等周不等式は、頂点のサブセットの大きさとその境界の大きさを関連付けます。これは通常、サブセットから出る辺の数（辺の拡張）または隣接する頂点の数（頂点の拡張）によって測定されます。グラフと数の場合、次の2つの標準的なグラフの等周パラメータがあります。^[8]${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$

• エッジ等周パラメータ:$${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• 頂点等周パラメータ:$${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

ここで、は を離れる辺の集合を表し、は に隣接点を持つ頂点の集合を表します。等周問題は、自然なグラフ族に対して パラメータとがどのように動作するかを理解することです。${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Gamma (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Phi _{E}}$${\displaystyle \Phi _{V}}$

次元超立方体は、頂点がすべて長さ のブールベクトル、つまり集合であるグラフです。2 つのベクトルは、1 ビット反転を除いて等しい場合、つまりハミング距離がちょうど 1 である場合、の辺で接続されます。以下は、ブール超立方体の等周不等式です。^[9]${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q_{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \{0,1\}^{d}}$${\displaystyle Q_{d}}$

超立方体の辺等周不等式は です。この境界は厳密であり、 の任意の部分立方体の頂点の集合である各集合によって証明されます。 ${\displaystyle \Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Q_{d}}$

ハーパーの定理^[10]によれば、ハミング球は与えられた大きさのすべての集合の中で最小の頂点境界を持つ。ハミング球とは、ハミング重みが最大での点をすべて含み、ある整数より大きい ハミング重みの点を含まない集合である。この定理は、${\displaystyle r}$${\displaystyle r+1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S\subseteq V}$

${\displaystyle |S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}}$

満足する

${\displaystyle |S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.}$^[11]

特別なケースとして、フォームの サイズ設定を考える${\displaystyle k=|S|}$

${\displaystyle k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}}$

ある整数に対してである。すると、上記は正確な頂点等周パラメータが ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.}$^[12]

三角形の周長pと面積Tに関する等周不等式は^[13]

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

正三角形の場合は等式となる。これはAM-GM不等式を介して、三角形の等周不等式とも呼ばれるより強い不等式によって示唆される：^[14]

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

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• チャプリギン問題: 等周問題はチャプリギン問題の風速ゼロの場合である。
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• エキスパンダーグラフ
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• 等周寸法
• 等周点
• 三角不等式の一覧
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• 混合ボリューム

ウィキメディア・コモンズには、等周不等式に関連するメディアがあります。

• 収束における等周問題の歴史
• トレイバーグ：等周不等式のいくつかの証明
• 結び目を切る際の等周定理