定二次形式

数学において、定値二次形式とは、実ベクトル空間V上の二次形式であって、 Vのすべての非零ベクトルに対して同じ符号（常に正または常に負）を持つものを指す。その符号に応じて、二次形式は正定値または負定値と呼ばれる。

半正定値（または半正定値）二次形式は、ほぼ同じように定義されますが、「常に正」と「常に負」がそれぞれ「決して負にならない」と「決して正にならない」に置き換えられます。言い換えれば、Vの非ゼロベクトルの一部に対してゼロ値をとる可能性があります。

不定二次形式は正の値と負の値の両方を取り、等方二次形式と呼ばれます。

より一般的には、これらの定義は順序体上の任意のベクトル空間に適用されます。^{[ 1 ]}

二次形式は、同じ空間上の対称双線形形式と1対1に対応します。 ^{[ 2 ]}対称双線形形式は、関連する二次形式に応じて、正定値、半正定値などとも呼ばれます。二次形式Qとそれに関連する対称双線形形式Bは、次の式で関係付けられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

後者の式（偏光恒等式）は展開によって得られる。${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

例として、${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$二次形式を考える

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

どこ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$c ₁とc ₂は定数です。c 1 > 0 かつ c 2 > 0 の場合、二次形式_Qは正定値であるため、Q は_正の数になります。${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$定数の一方が正で他方が0の場合、Qは正定値半正定値であり、常に0または正の数に評価されます。c1 > 0かつc2 < 0の場合_、またはその逆の_場合、Qは不定値であり、正の数になる場合と負の数になる場合があります。c1 < 0_かつc2 _< 0の場合、二次形式は負定値であり、常に負の数に評価されます。${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$また、定数の一方が負で他方が0の場合、Qは負半定値であり、常に0または負の数に評価されます。

一般に、2 変数の二次形式には、 x ₁ · x ₂の交差項も含まれます。

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

この二次形式は、以下の条件を満たす場合に正定値である。${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$そして${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$負定値の場合${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$そして${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$不定の場合${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$正または負の半定値である場合${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$半定性を示す記号が、${\displaystyle \;c_{1}~.}$

この2変数二次形式は、原点を中心とする円錐曲線の文脈で現れます。上記の一般二次形式を0に等しいとおくと、二次形式が正定値または負定値の場合は楕円、不定値の場合は双曲線、正定値の場合は放物線の式が得られます。${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

n次元空間におけるユークリッドノルムの二乗は、最も一般的に使用される距離の尺度であり、

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

2次元では、これは2点間の距離が、${\displaystyle x_{1}}$軸と${\displaystyle x_{2}}$軸。

二次形式は行列を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

ここで、xは任意のn ×1デカルトベクトルである。${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$少なくとも１つの要素が0でない行列A 、 n×n対称行列A 、上付き文字^Tは行列の転置を表す。Aが対角行列の場合、これは二乗変数を含む項のみを含む非行列形式と同等である。しかし、Aに非ゼロの非対角要素がある場合、非行列形式には2つの異なる変数の積を含む項も含まれる。

この二次形式の正定値性、負定値性、半定値性、または不定値性は、Aの同じ性質と等価であり、 Aのすべての固有値を考慮するか、すべての主小行列式の符号をチェックすることによって確認できます。

確定二次形式は最適化問題に容易に適用できる。行列二次形式に線形項を追加すると、次のようになる。

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

ここで、bはn ×1の定数ベクトルである。最大値または最小値に関する一次条件は、行列の微分をゼロベクトルに設定することによって求められる。

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

贈る

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

Aが非特異行列であると仮定する。二次形式、ひいてはAが正定値行列であれば、この時点で最小値に関する二次条件が満たされる。二次形式が負定値行列であれば、最大値に関する二次条件が満たされる。

このような最適化の重要な例として、重回帰分析が挙げられる。重回帰分析では、データセット内での完全な適合からの二乗偏差の合計を最小化する推定パラメータのベクトルが求められる。

• 正定値関数
• 正定値行列

• 北岡義之（1993）二次形式の算術.ケンブリッジ数学叢書 第 106巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 . 
• ラング、セルジュ（2004）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（修正第4刷、改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、 578ページ、ISBN 978-0-387-95385-4。
• ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol.  73. スプリンガー。ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .