幾何群論

幾何学的群論は、有限生成群の研究に特化した数学分野であり、そのような群の代数的性質と、これらの群が非自明に作用できる空間の位相的および幾何学的性質との間の関連性を探求することによって行われる（つまり、問題の群が何らかの空間の幾何学的対称性または連続変換として実現される場合）。

幾何学的群論におけるもう一つの重要な考え方は、有限生成群自体を幾何学的対象として捉えることである。これは通常、群のケイリーグラフを研究することによって行われる。ケイリーグラフは、グラフ構造に加えて、いわゆるワードメトリックによって与えられる距離空間の構造を備えている。

幾何学的群論は、独立した分野としては比較的新しく、1980年代後半から1990年代初頭にかけて数学の明確な分野として確立されました。幾何学的群論は、低次元トポロジー、双曲幾何学、代数トポロジー、計算群論、微分幾何学と密接に関連しています。また、計算複雑性理論、数理論理学、リー群とその離散部分群の研究、力学系、確率論、K理論、その他の数学分野とも深い繋がりがあります。

ピエール・ド・ラ・アルプは著書『幾何学的群論のトピックス』の序文で次のように述べている。「私の個人的な信念の一つは、対称性や群への興味は、人生の限界に対する不満に対処する一つの方法であるということです。私たちは、目に見えるもの以上のものを認識させてくれる対称性を認識することを好むのです。この意味で、幾何学的群論の研究は文化の一部であり、ジョルジュ・ド・ラムが様々な場面で実践していたこと、例えば数学を教えたり、マラルメを朗読したり、友人に挨拶したりすることなどを思い出させます。」^{[ 1 ]： 3}

幾何学的群論は、群を自由群の商として記述する群表示を分析することによって離散群の性質を主に研究する組み合わせ群論から発展しました。この分野は、 1880年代初頭にフェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォン・ダイクによって初めて体系的に研究されました^{[ 2 ]。}一方、初期の形態は、1856年のウィリアム・ローワン・ハミルトンの二十面体計算に見られ、彼は十二面体の辺グラフを介して二十面体対称群を研究しました。現在、組み合わせ群論という分野は、幾何学的群論にほぼ包含されています。さらに、「幾何学的群論」という用語は、従来の組み合わせ群論の枠組みの外にある確率論的、測度論的、算術的、解析的、その他のアプローチを使用して離散群を研究することを含むようになりました。

20 世紀前半、マックス・デーン、ヤコブ・ニールセン、クルト・ライデマイスター、オットー・シュライアー、JHC ホワイトヘッド、エグバート・ファン・カンペンらの先駆的な研究により、離散群の研究に位相幾何学的および幾何学的なアイデアがいくつか導入されました。^{[ 3 ]}幾何学的群論の他の先駆者には、小消去理論とバス・セール理論があります。小消去理論は1960 年代にマーティン・グリンリンガーによって導入され^{[ 4 ] [ 5 ]} 、ロジャー・リンドンとポール・シュップによってさらに発展しました。^{[ 6 ]}この理論は、組み合わせ曲率条件を介して有限群表示に対応するファン・カンペン図を研究し、そのような分析から群の代数的およびアルゴリズム的性質を導き出します。 1977年にSerreの著書^{[ 7 ]}で紹介されたBass–Serre理論は、単体木上の群作用を研究することによって群に関する構造代数情報を導き出します。幾何学的群論の外部的先駆者には、リー群における格子の研究、特にMostowの剛性定理、クライン群の研究、そして1970年代から1980年代初頭にかけての低次元トポロジーと双曲幾何学における進歩があり、特にWilliam Thurstonの幾何化プログラムによって促進されました。

幾何学的群論が数学の独立した分野として出現したのは、通常1980年代後半から1990年代初頭に遡るとされています。これは、ミハイル・グロモフの1987年のモノグラフ「双曲群」^{[ 8 ]}によって促進されました。このモノグラフでは、有限生成群が大規模な負の曲率を持つという考え方を捉えた双曲群（ワード双曲群、グロモフ双曲群、負曲率群とも呼ばれる）の概念が導入され、その後のモノグラフ「無限群の漸近不変量」 ^{[ 9 ]}では、準等長性までの離散群を理解するためのグロモフのプログラムの概要が示されました。グロモフの研究は離散群の研究に革新的な影響を与え^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}、「幾何学的群論」というフレーズがその後すぐに使われるようになりました（例えば^{[ 13 ]}を参照）。

1990年代と2000年代における幾何学的群論の注目すべきテーマと発展には、以下のようなものがある。

• グロモフによる群の準等長特性を研究するためのプログラム。

この分野で特に影響力のある広範なテーマは、有限生成群をその大規模幾何学に基づいて分類するというグロモフのプログラム^{[ 14 ]}である。形式的には、これは準等長性まで単語距離を用いて有限生成群を分類することを意味する。このプログラムには以下が含まれる。

1. 準等長変換の下で不変な性質の研究。有限生成群のそのような性質の例には、有限生成群の成長率、有限表示群の等周関数またはデーン関数、群の端の数、群の双曲性、双曲群のグロモフ境界の同相型、 ^{[ 15 ]}有限生成群の漸近錐（例えば^{[ 16 ] [ 17 ]}を参照）、有限生成群の可換性、実質的にアーベルであること（つまり、有限指数のアーベル部分群を持つこと）、実質的に冪零であること、実質的に自由であること、有限表示可能であること、可解な単語問題を持つ有限表示可能な群であること、などがある。
2. 群に関する代数的な結果を証明するために準等長不変量を使用する定理、例えば、グロモフの多項式成長定理、スタリングスの端点定理、モストウの剛性定理など。
3. 準等長剛性定理では、与えられた群または距離空間に準等長なすべての群を代数的に分類します。この方向は、ランク 1 格子の準等長剛性に関するSchwartzの研究^{[ 18 ]}と、 Baumslag–Solitar 群の準等長剛性に関するBenson Farbと Lee Mosherの研究^{[ 19 ]}によって開始されました。

• 単語双曲群と相対双曲群の理論。ここで特に重要な発展は、1990年代のZlil Selaの研究であり、単語双曲群の同型問題の解決につながった。 ^{[ 20 ]}相対双曲群の概念は、もともと1987年にGromovによって導入され^{[ 8 ]}、1990年代にFarb ^{[ 21 ]}とBrian Bowditch [ ^{22 ]によって}改良された。相対双曲群の研究は2000年代に注目を集めた。
• 数理論理学との相互作用や自由群の1階理論の研究。特に、有名なタルスキー予想に関しては、セラ^{[ 23 ]}やオルガ・ハルランポヴィチ、アレクセイ・ミャスニコフ^{[ 24 ]}の研究により重要な進展があった。極限群の研究や非可換代数幾何学の言語と仕組みの導入が注目を集めた。
• コンピュータ科学、複雑性理論、形式言語理論との相互作用。このテーマは、有限生成群における乗算演算に特定の幾何学的および言語理論的条件を課す概念である自動群理論の発展によって例示される^{[ 25 ]}。
• 有限表示群の等周不等式、デーン関数、およびそれらの一般化の研究。これには特に、有限表示群の可能なデーン関数を本質的に特徴付ける Jean-Camille Birget、Aleksandr Olʹshanskiĭ、Eliyahu Rips、Mark Sapirの研究^{[ 26 ] [ 27 ]}、および分数デーン関数を持つ群の明示的な構成を提供する結果が含まれます。^{[ 28 ]}
• 3次元多様体のトーラル分解またはJSJ分解の理論は、もともとピーター・クロフォラーによって群論の枠組みに持ち込まれた。^{[ 29 ]} この概念は、有限表示群と有限生成群の両方について多くの著者によって発展させられてきた。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}
• 幾何解析、離散群に関連するC*-環の研究、および自由確率論との関連。このテーマは特に、ノビコフ予想とバウム-コンヌ予想に関する著しい進展、および位相的可換性、漸近次元、ヒルベルト空間への均一埋め込み可能性、急速減衰特性など、関連する群論的概念の開発と研究によって代表される（例えば、^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}を参照）。
• 距離空間上の準等角解析の理論との相互作用、特に2-球面と同相なグロモフ境界を持つ双曲群の特徴付けに関するキャノンの予想との関連。 ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}
• 有限分割規則、キャノンの予想にも関連している。^{[ 41 ]}
• さまざまなコンパクト空間および群のコンパクト化に対する離散群の作用の研究の文脈における位相力学との相互作用、特に収束群法^{[ 42 ] [ 43 ]}
• 集団行動理論の発展${\displaystyle \mathbb {R} }$-ツリー（特にRipsマシン）とその応用。^{[ 44 ]}
• CAT(0)空間およびCAT(0)立方体複体上の群作用の研究^{[ 45 ]}は、アレクサンドロフ幾何学のアイデアに触発されたものである。
• 低次元トポロジーや双曲幾何学との相互作用、特に3次元多様体群の研究（例えば、^{[ 46 ]}を参照）、曲面の写像クラス群、ブレイド群、クライン群。
• 「ランダムな」群論的対象（群、群の要素、部分群など）の代数的性質を研究するための確率的手法の導入。ここで特に重要な発展は、確率的手法を用いてヒルベルト空間に一様に埋め込むことができない有限生成群の存在を証明したグロモフの研究である^{[ 47 ]} 。その他の注目すべき発展としては、群論的アルゴリズムやその他の数学的アルゴリズムに対する一般ケース複雑性の概念の導入と研究^{[ 48 ]}、および一般群に対する代数的剛性結果^{[ 49 ]などが挙げられる。}
• 無限根付き木の自己同型群としてのオートマタ群と反復モノドロミー群の研究。特に、グリゴルチュクの中間成長群とその一般化がこの文脈で現れる。^{[ 50 ] [ 51 ]}
• 測度空間上の群作用の測度論的性質の研究、特に測度同値と軌道同値の概念の導入と発展、およびモストウ剛性の測度論的一般化。^{[ 52 ] [ 53 ]}
• 離散群のユニタリ表現とカジュダンの性質（T）^{[ 54 ]}の研究
• Out ( F _n ) (ランクnの自由群の外部自己同型群) および自由群の個々の自己同型群の研究。導入と、自由群の自己同型群に対するCuller-Vogtmann の外部空間^{[ 55 ]}およびトレイン トラック理論^{[ 56 ]}の研究が、ここでは特に重要な役割を果たしました。
• Bass–Serre理論の発展、特に様々なアクセス可能性の結果^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}と木格子理論^{[ 60 ]} 。Bass –Serre理論の一般化、例えば群の複体の理論^{[ 45 ] 。}
• 群上のランダムウォークと関連する境界理論、特にポアソン境界の概念の研究（例えば^{[ 61 ]}を参照）。可換性および可換性の状態がまだ不明な群の研究。
• 有限群理論との相互作用、特に部分群成長の研究の進展。^{[ 62 ]}
• 線形群における部分群や格子を研究する、例えば${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$、および他のリー群については、幾何学的方法（例：ビルディング）、代数幾何学的ツール（例：代数群と表現多様体）、解析的方法（例：ヒルベルト空間上のユニタリ表現）、および算術的方法によって解析されます。
• 群コホモロジーは、代数的および位相的方法を使用し、特に代数的位相との相互作用や組み合わせ論的文脈でのモース理論のアイデアの使用を含みます。大規模または粗い（例えば^{[ 63 ]}を参照）ホモロジーおよびコホモロジー的方法。
• バーンサイド問題^{[ 64 ] [ 65 ]}、コクセター群やアルティン群の研究など、伝統的な組合せ群論のトピックに関する進展（これらの問題を研究するために現在使用されている方法は、多くの場合、幾何学的および位相的である）。

幾何学群論では、以下の例がよく研究される。

• ピンポン補題は、群を自由積として示すための便利な方法です。
• 従順なグループ
• ニールセンの変革
• ティーツェ変換

• ジョン・マッカモンドの幾何学的群論ページ
• 幾何学的群論とは何か？ ダニエル・ワイズ著
• 組合せ論および幾何群論における未解決問題
• 幾何学的群論に関するarxiv.orgのテーマ