低次元トポロジー

閉曲面の分類定理によれば、連結した閉曲面は、次の3つの族のいずれかに属するものと同相である。

1. 球体;
2. gトーラスの連結和、${\displaystyle g\geq 1}$;
3. k 個の実射影平面の連結和、${\displaystyle k\geq 1}$。

最初の 2 つの族の曲面は向き付け可能です。球面を 0 個のトーラスの連結和とみなすことで、2 つの族を組み合わせると便利です。関係するトーラスの数gは、曲面の種数と呼ばれます。球面とトーラスのオイラー標数はそれぞれ 2 と 0 であり、一般にg個のトーラスの連結和のオイラー標数は2 − 2 gです。

第３の族の曲面は向き付け不可能である。実射影平面のオイラー標数は１であり、一般に、それらの連結和kのオイラー標数は2 − kである。

数学において、実位相曲面Xのタイヒミュラー空間T _{X は}、恒等同相写像に同位な同相写像の作用を除いて、X上の複雑な構造をパラメータ化する空間である。T _Xの各点は、「マーク付き」リーマン面の同型類とみなすことができ、 「マーク」とはXからXへの同相写像の同位類である。タイヒミュラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の普遍被覆オービフォールドである。

タイヒミュラー空間は、標準的な複素多様体構造と豊富な自然計量を持つ。タイヒミュラー空間の基礎となる位相空間はフリッケによって研究され、その上のタイヒミュラー計量はオズワルド・タイヒミュラー（1940 ）によって導入された。^{[ 1 ]} 

数学において、一様化定理は 、すべての単連結リーマン面が、開単位円盤、複素平面、リーマン球面のいずれかと等角的に同値であることを述べている。特に、リーマン面は一定曲率のリーマン計量を持つ。これにより、リーマン面は、その普遍被覆に応じて、楕円面（正の曲率を持つ、正確には一定の正の曲率を持つ計量を持つ）、放物面（平坦）、双曲面（負の曲率を持つ）に分類される。

一様化定理は、平面上の真の単連結開集合から任意の単連結リーマン面へのリーマン写像定理の一般化である。

結び目理論は、数学的な結び目を研究する学問です。靴ひもやロープなど、日常生活で見られる結び目に着想を得ていますが、数学者の結び目は、両端が結び合わされているため解くことができないという点で異なります。数学的な言葉で言えば、結び目は3次元ユークリッド空間R ^3への円の埋め込みです（位相幾何学を用いているため、円は古典的な幾何学的概念ではなく、その同相写像すべてに結び付けられます）。2つの数学的な結び目は、R ³をそれ自身に変形させることによって他方に変換できる場合、同等であると言えます（これを環境同位体変換と呼びます）。これらの変換は、結び目のある紐を切断したり、紐をそれ自身に通したりすることなく、紐を操作することに相当します。

結び目の補集合は、よく研究される 3 次元多様体です。穏やかな結び目Kの結び目補集合は、結び目を取り囲む 3 次元空間です。これをより正確にするために、Kが 3 次元多様体M内の結び目であると仮定します(多くの場合、Mは3 次元球面です )。NをKの管状近傍とします。つまり、Nはソリッド トーラスです。結び目補集合は、Nの補集合です。

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

関連するトピックとして、組紐理論があります。組紐理論は、日常的な組紐の概念といくつかの一般化を研究する抽象的な幾何学理論です。組紐はグループに編成でき、グループ操作は「一連の紐に最初の組紐を作り、次にねじれた紐に2番目の組紐を作る」です。このようなグループは、エミール・アルティン（1947 ）が示したように、明示的な表現で記述できます。^{[ 2 ]}このような基本的な扱いについては、組紐グループに関する記事を参照してください。組紐グループは、特定の構成空間の基本グループとして、より深い数学的解釈を与えることもできます。 

双曲3次元多様体とは、断面曲率が-1の完全リーマン計量を備えた3次元多様体のことである。言い換えれば、双曲空間を、自由かつ適切に不連続に作用する双曲等長変換の部分群で割った商空間である。クラインモデルも参照のこと。

その厚薄分解では、薄い部分は閉じた測地線や、ユークリッド曲面と閉じた半光線の積である端点からなる管状の領域で構成される。多様体は、厚い部分がコンパクトである場合に限り、有限体積を持つ。この場合、端点は閉じた半光線を横切るトーラスの形をしており、尖点と呼ばれる。結び目補空間は、最もよく研​​究されている尖点多様体である。

サーストンの幾何化予想は、特定の3次元位相空間にはそれぞれ固有の幾何学的構造があり、それを関連付けることができると述べています。これは、すべての単連結リーマン面には3つの幾何学（ユークリッド、球面、双曲）のいずれかを与えることができると述べている2次元曲面の一様化定理の類似物です。3次元では、位相空間全体に単一の幾何学を割り当てることは必ずしも可能ではありません。代わりに、幾何化予想は、すべての閉じた3次元多様体は、それぞれが8種類の幾何学的構造のいずれかを持つ断片に標準的な方法で分解できると述べています。この予想はウィリアム・サーストン（1982 ）によって提唱され、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想など、他のいくつかの予想を暗示しています。^{[ 3 ]} 

エキゾチックR ^4は、ユークリッド空間R ⁴と同相ではあるが微分同相ではない微分可能多様体である。最初の例は、1980 年代初頭にマイケル・フリードマンによって、位相的 4 次元多様体に関するフリードマンの定理と滑らかな 4 次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンの定理との対比を用いて発見された。 ^{[ 4 ]}クリフォード・トーベスによって最初に示されたように、R ⁴の微分同相ではない微分可能構造は連続体 である。^{[ 5 ]}

この構成以前には、球面上の非微分同相な滑らかな構造（エキゾチック球面）が存在することは既に知られていたが、 4次元球面の特定の場合におけるそのような構造の存在については未解決のままであった（そして今日に至るまで未解決のままである）。4以外の任意の正の整数nに対して、 R ⁿ上にはエキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えれば、n ≠ 4の場合、 R ⁿと同相な任意の滑らかな多様体はR ⁿと微分同相である。^{[ 6 ]}

多様体に関するいくつかの基本的な定理は、3次元以下の低次元手法で証明でき、5次元以上の全く異なる高次元手法で証明できるが、4次元では偽となる。以下にいくつかの例を示す。

• 4次元以外の次元では、カービー・ジーベンマン不変量がPL構造の存在を阻害します。言い換えれば、コンパクトな位相多様体は、H ⁴ ( M , Z /2 Z ) におけるカービー・ジーベンマン不変量がゼロである場合に限り、PL構造を持ちます。3次元以下の次元では、すべての位相多様体は本質的に一意のPL構造を持ちます。4次元では、カービー・ジーベンマン不変量がゼロであるにもかかわらずPL構造を持たない例が多数存在します。
• 4次元以外の次元では、コンパクトな位相多様体は、本質的に異なるPL構造または滑らかな構造を有限個しか持ちません。4次元では、コンパクトな多様体は、微分同相でない滑らかな構造を可算無限個持つことができます。
• 次元nは4のみであり、R n^は特異な滑らかな構造を持つことができる。R ⁴には数えきれないほどの特異な滑らかな構造が存在する。特異なR ⁴を参照のこと。
• 滑らかなポアンカレ予想の解は、4次元以外のすべての次元で知られています（通常、7次元以上では偽です。エキゾチック球面を参照してください）。PL多様体に対するポアンカレ予想は、4次元以外のすべての次元で証明されていますが、4次元で真であるかどうかはわかっていません（4次元における滑らかなポアンカレ予想と同等です）。
• 滑らかなh-コボルディズム定理は、コボルディズム自体とその境界のいずれも次元が4でない場合に限り、コボルディズムに対して成り立つ。コボルディズムの境界が次元4である場合は、この定理は成り立たない可能性がある（ドナルドソンによって示されている）。コボルディズムが次元4である場合、h-コボルディズム定理が成り立つかどうかは不明である。
• 次元が4でない位相多様体は、ハンドルボディ分解を持つ。次元4の多様体は、平滑化可能である場合に限り、ハンドルボディ分解を持つ。
• 単体複体と同相でないコンパクトな4次元位相多様体が存在する。次元が5以上になると、単体複体と同相でない位相多様体の存在は未解決問題であった。2013年、Ciprian ManolescuはarXivにプレプリントを投稿し、5以上の各次元において単体複体と同相でない多様体が存在することを示した。