非円筒双曲群

数学の分野である幾何群論において、非円筒双曲群は、ある測地双曲距離空間に対する非基本的な「非円筒」等長作用を許容する群である。^{[1]この概念は、}双曲群と相対双曲群の概念を一般化し、写像類群やOut( F _n )などのかなり広いクラスの例を含む。

G をある測地双曲距離空間 Xに等長作用を持つ群とする。この作用は、任意の に対してが存在し、任意のに対してが成り立つ とき、非線形作用と呼ばれる^[1]。${\displaystyle R\geq 0}$${\displaystyle N>0,L>0}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle d(x,y)\geq L}$

${\displaystyle \#\{g\in G\mid d(x,gx)\leq R,d(y,gy)\leq R\}\leq N.}$

上記の特性が特定の に当てはまる場合、 GのXへの作用はR -非対称と呼ばれます。非対称性の概念は、非適切な作用が許されるより一般的な文脈において、 適切な作用であることの適切な代替手段を提供します。${\displaystyle R\geq 0}$

測地線双曲距離空間Xへの群Gの円筒等長作用は、 G がXの2 つの独立した双曲等長変換、つまり、不動点集合とが互いに素である2 つの航程元を許容する場合、非基本的である。 ${\displaystyle g,h\in G}$${\displaystyle \{g^{+},g^{-}\}\subseteq \partial X}$${\displaystyle \{h^{+},h^{-}\}\subseteq \partial X}$

測地線双曲距離空間Xへの群Gの非線形作用が非基本的となるのは、この作用がXに無限軌道^を持ち、群GがXの斜航等長変換によって生成される巡回群の有限拡大ではない 場合のみであることが知られている（[1]の定理1.1） 。

群Gが非基本的な非円筒等長作用を何らかの測地双曲的距離空間 Xに対して許容する場合、その群Gは円筒双曲的であるという。

群Gに対して以下の条件が同値であること は知られている（^{[1]の定理1.2）。}

• 群G は円筒形双曲型である。
• Gに対して（おそらく無限の）生成集合Sが存在し、ケーリーグラフは双曲型であり、Gの自然な並進作用は非基本的な円筒形作用である。 ${\displaystyle \Gamma (G,S)}$${\displaystyle \Gamma (G,S)}$
• 群G は事実上巡回的ではなく、測地双曲距離空間Xに対するGの等長作用が存在し、Gの少なくとも 1 つの要素がWPD (「弱適切に不連続」) プロパティでXに作用します。
• 群Gには真無限の「双曲的に埋め込まれた」部分群が含まれる。^[2]

• 任意の円筒型双曲群GはSQ 普遍的である、つまり、任意の可算群はGの何らかの商群に部分群として埋め込まれます。
• 円筒型双曲群のクラスは、無限正規部分群、およびより一般的には 's-正規' 部分群 に対して閉じています。^[1]ここで、任意の に対してが存在する場合、部分群はのs-正規と呼ばれます。${\displaystyle H\leq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle |H\cap g^{-1}Hg|=\infty }$
• Gが円筒型双曲群であり、またはを満たす場合、有界コホモロジーは無限次元である。^{[3] [4] [1]}${\displaystyle V=\mathbb {R} }$${\displaystyle V=\ell ^{p}(G)}$${\displaystyle p\in [1,\infty )}$${\displaystyle H_{b}(G,V)}$
• 任意の円筒型双曲群Gは、 K(G)で表される唯一の最大正規有限部分群を許容する。^[2]
• GがK(G)={1}を満たす円筒双曲群である場合、Gは非自明な元の無限共役類を持ち、Gは内部従属的ではなく、Gの簡約C*-代数は一意のトレースを持つ単純である。^[2]
• 円筒状双曲群上の小相殺理論のバージョンがあり、所定の性質を持つそのような群の多くの商を生成することを可能にする。^[5]
• 有限生成の円筒双曲群は、その漸近錐のすべてに切断点を持つ。^[6]
• 有限生成円筒双曲群Gに対して、長さnのG上における単純ランダムウォークがG内に「一般化斜航元」を生成する確率は、指数関数的に速く1に収束する。^[7]${\displaystyle n\to \infty }$
• 有限生成の円筒型双曲群Gは指数関数的な共役増加を持ち、これはGのケーリーグラフの半径nの球から来るGの元の異なる共役類の数がnについて指数的に増加することを意味する。^[8]

• 有限群、事実上冪零群、事実上可解群は円筒形双曲群ではありません。
• 語双曲群のあらゆる非基本部分群は円筒形双曲群である。
• すべての非基本的な相対双曲群は円筒形双曲群である。
• 種数で穴のある連結有向曲面の写像類群は 、写像類群が有限である場合を除いて、円筒形双曲型である。 ^[1]${\displaystyle MCG(S_{g,p})}$${\displaystyle g\geq 0}$${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle g=0,p\leq 3}$
• 群Out( Fn ₎は円筒形双曲型である。[ ^1]${\displaystyle n\geq 2}$
• オシンの結果により、少なくとも1つの階数1の元を持つ適切なCAT(0)空間への適切な等長作用を許容するすべての非事実上巡回群Gは、円筒形双曲的である。[ 1 ]カプラセ^とサゲエフは、Gが測地完備なCAT(0)立方体複体Xに等長的に適切に不連続かつココンパクトに作用する有限生成群である場合、Xは2つの無限凸部分複体の直積として分裂するか、Gは階数1の元を含むことを証明した。^[9]
• 巡回的ではなく、直接分解不可能なすべての直角アルティン群Gは、円筒形双曲型である。
• 特殊線型群は円筒形双曲群ではない（^[1]の例7.5 ）。${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$
• バウムスラッグ-ソリター群は非円筒双曲型ではない。（^[1]の例7.4 ）${\displaystyle m\neq 0,n\neq 0}$ ${\displaystyle BS(m,n)=\langle a,t\mid t^{-1}a^{m}t=a^{n}\rangle }$
• 単体木への非自明な作用を許容する群（つまり、バス・セール理論の意味で群のグラフの基本群として非自明な分割を許容する群）の多くは非円筒的双曲的である。例えば、少なくとも3つの生成元上のすべての1関係子群は非円筒的双曲的である。^[10]
• ほとんどの3次元多様体群は円筒形双曲型である。^[10]

• コベルダ、トーマス (2018)。「非円筒群作用とは何か?」(PDF) 。アメリカ数学会の通知。65 (1): 31–34。doi : 10.1090/noti1624。